1、 -281- 第十四章 稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述， 但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值， 在什么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。 1 微分方程稳定性理论简介 定义 1 称一个常微分方程（
2、组）是自治的，如果方程（组） =)(),(),(1tftxftxFdtdxNM （ 1） 中的 )(),( xFtxF = ，即在 F 中不含时间变量 t。 事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化为自治系统，就是说，如果定义 =txy ，=1),()(txFyG 且引入另一个变量 s ，则方程（ 1）与下述方程 )(yGdsdy= 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称为动力系统。 定义 2 系统 )(xFdtdx= （ 2） 的相空间是以 ),(1 nxx L 为坐标的空间nR ，特别，当 2=n 时，称相空间为相平面。空间nR 中的点集 ,1
3、,)2()(|),(1nitxxxxiinLL = 满足 称为系统（ 2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。 定义 3 相空间中满足 0)(0=xF 的点0x 称为系统（ 2）的奇点（或平衡点） 。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统 +=+=dycxdttdybyaxdttdx)()(（ 3） 当 0=bcad 时，有一个连续的奇点的集合。当 0bcad 时， )0,0( 是这个系统的唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理： -282- 定理 1 设 )(xF 是实解析函数，且0x 系统（ 2）的奇点。若 )(xF 在点0x 处的Jaco
4、bian 矩阵 =jixfxJ )(0是非奇异的，则0x 是该系统的孤立奇点。 定义 4 设0x 是（ 2）的奇点，称 （ i）0x 是稳定的，如果对于任意给定的 0 ，存在一个 0 ，使得如果 ， O是不稳定结点； （ iv） 021= ， O是不稳定退化结点； （ v）210 = i ， O是不稳定焦点； （ viii） 0,2,1= i ， O是不稳定中心。 定理 5 设非线性系统 +=+=),(),(yxbyaxdtdyyxbyaxdtdx（ 5） 中的 和 满足条件： （ i）在点 O的某邻域内存在连续的一阶偏导数。 （ ii）存在常数 0 ，使得 0),(lim),(lim1010
5、=+ryxryxrr， （22yxr += ） 又设系统（ 5）的一次近似系统（ 3）的特征方程的根没有零实部，则（ 5）式与（ 3）式的奇点 O的类型相同，并有相同的稳定性或不稳定性。 2 再生资源的管理和开发 渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产“竭泽而渔” ，应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益。 -284- 这是一类可再生资源管理与开发的模型， 这类模型的建立一般先考虑在没有收获的情况下资源自然增长模型，然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响。 2.1 资源增长模型 考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前，做如下的基本假设： （ i）鱼群的数
6、量本身是离散变量，谈不到可微性。但是，由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增长率是微小的。所以，可以近似地假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化。 （ ii）假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关。 （ iii）种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果。 （ iv）资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群的数量是成正比的。 记时刻 t渔场中鱼量为 )(tx ，我们可以得到 )(tx 所满足的 Logistic 模型： =0)0()1()(NxNxrxtx&（ 6） 其中 r 是固有增长率， N 是环境容许的最大鱼
7、量。由分离变量法求得方程（ 6）解为 00/)(1)(NNNeNtxrt+=（ 6）式有两个平衡点，即 01=x ， Nx =2，其中1x 是不稳定的，2x 在正半轴内全局稳定。 2.2 资源开发模型 建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 设单位时间的捕捞量与渔场鱼量 )(tx 成正比， 比例系数 k 表示单位时间捕捞率， k可以进一步分解为 qEk = ， E 称为捕捞强度， 用可以控制的参数如出海渔船数来度量；q称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率。为方便取 1=q ，于是单位时间的捕捞量为 )()(
8、 tExxh = 。 =)(xh 常数，表示一个特定的捕捞策略，即要求捕鱼者每天只能捕捞一定的数量。这样，捕捞情况下渔场鱼量满足方程 ExNxrxtx = )1()(& （ 7） 这是一个一阶非线性方程，且是黎卡提型的。也称为 Scheafer 模型。 希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件， 即时间 t足够长以后渔场鱼量 )(tx 的趋向，并且由此确定最大持续产量。在平衡点处有 0=dtdx，方程（ 7）有两个平衡点01=x ， )1(2rENx = 。显然，它们均是方程的解。 在 rE tx& ；2xx 时， 0)( 时， 0)( 表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，对 12 可作相
9、应的理解。一般来说，21, 之间没有确定的关系，在此我们仅讨论21, 相互独立的情形。 目的是研究两个种群相互竞争的结局，即 t 时， )(),(21txtx 的趋向，不必要解方程组（ 9）和（ 10） ，只需对它的平衡点进行稳定性分析。为此我们解代数方程 -287- =0)1(),(0)1(),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf(11) 得到四个平衡点分别为 )0,(11NP ， ),0(22NP ， )1)1(,1)1(212221113 NNP ， )0,0(4P 。 为分析这些点的稳定性， 需使用相空间的技巧。 首先找出在21xx 平面上使 0)
10、( txi&或 0)( NxNxxr 时 0)(1tx& ，但要使 01x 和 0)(1tx& ，当且仅当 0,01122111 xNxNx 类似地 0)(1tx& 和 0)(1tx& ，当且仅当 0,01222112 xNxNx （ ii） 0)(2tx& 和 0)(2 xx 划分为三个区域： 0)(,0)(:211 txtxS & （ 14） 0)(,0)(:212tx& ， 即 )(11tx 一直是增加的。 若轨线从3S 出发， 由 （ 16）式可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向1P 点，或者进入2S ，而进入2S 后，根据上面的分析最终也将趋向1P 。综合上述分析可以画出轨线示意图。
11、因为直线（ 12）式上01=dx ，所以在（ 12）式上轨线方向垂直于 x 轴；在（ 13）式上 02=dx ，轨线方向平行于1x 轴。 图 1 （ ii） 1,121 ，3P 不稳定（鞍点） 。 因为轨线的初始位置不同，其走向也不同或趋于1P 或趋于2P 。根据建模过程中21, 的含义，可以说明321, PPP 点稳定在生态学上的意义： 1,121 意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙， 于是种群乙终将灭绝， 种群甲趋向最大容量，即 )(),(21txtx 趋向平衡点 )0,(11NP 。 -289- 1,121 ：留作习题。 3 Volterra 模型 意大利生物学家 DAncona 曾
12、致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了第一次世界大战期间地中海各港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鲢鱼等我们称之为捕食者的一些不是很理想的鱼占总渔获量的百分比，在 1914 1923 年期间，意大利阜姆港收购的捕食者所占的比例有明显的增加，数据见表 1。他知道，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼类的比例。 战争中捕获量大幅度下降， 当然使渔场中食用鱼 （食饵） 增加， 以此为生的鲨鱼也随之增加。 但是捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加，即对捕食者而不是对食饵有利呢？他无法解释这个现象， 于是求助于著名的意大
13、利数学家 V. Vo l t e r r a，希望建立一个食饵捕食者系统的数学模型，定量地回答这个问题。 表 1 年代 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 百分比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 10.7 3.l 形成模型 为建立这样的模型，我们分别用 )(1tx 和 )(2tx 记食饵和捕食者在时刻 t的数量。因为大海中鱼类的资源丰富， 可以假设如果食饵独立生存则食饵将以增长率1r 按指数规律增长，即有 )()(111txrtx =& 。捕食者的存在使食饵的增长率降低，设
14、降低的程度与捕食者数量成正比，于是 )(1tx 满足方程 )()(21111xrxtx =& （ 17） 比例系数反映捕食者掠取食饵的能力。 捕食者离开食饵无法生存，若设它独自存在时死亡率为2r ，即 )()(222txrtx =& ，而食饵为它提供食物的作用相当于使死亡率降低，或使之增长。设这个作用与食饵数量成正比，于是 )(2tx 满足 )()(12222xrxtx +=& （ 18） 比例系数2 反映食饵对捕食者的供养能力。 方程（ 17）和（ 18）是在没有人工捕获情况下自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，是 Volterra 提出的最简单的模型。这个模型没有引入竞争项。 3.2 模
15、型分析 这是一个非线性模型， 不能求出其解析解， 所以我们还是通过平衡点的稳定性分析，研究 )(),(21txtx 的变化规律。容易得到方程（ 17）和（ 18）的平衡点为 )0,0(1P , ),(11222rrP (19) 当然，平衡解 )0,0(1P 对我们来说是没有意义的。这个方程组还有一族解treCtx111)( = ， 0)(2=tx 和 0)(1=tx ，treCx222= 。因此，1x 轴和2x 轴都是方程组-290- （ 17） ， （ 18）的轨线。这意味着：方程（ 17） 、 （ 18）在0tt = 由第一象限 0,021 xx出发的每一个解 )(),(21txtx ，
16、在以后一切时间0tt 都保持在第一象限内。 当 0,21xx时，方程（ 17） 、 （ 18）的轨线是一阶方程 )()(1222211121xrxxrxdxdx+= 的解曲线。用分离变量方法解得 cexexxrxr=)(21112221(20) c是任意常数。因此，方程（ 17） ， （ 18）的轨线是由式（ 20）定义的曲线族，我们来证明这些曲线是封闭的。 引理 1 当 0,21xx 时，方程（ 20）定义了一组封闭曲线。 证明 我们首先来确定当 0,21xx 时函数 12211)(xrexx= 和 21122)(xrexx= 的性状。利用微积分方法可以作出 和 的图形。如图 2 所示。 图
17、2 若它们的极大值分别记作m 和m ，则不难确定0201xx 、 满足 mx =)(01，2201rx = （ 21） mx =)(02，1102rx = （ 22） 显然，仅当（ 20）式右端常数mmc 时相轨线才有定义。 当mmc = 时，011xx = ，022xx = ， 将式 （ 21） 和 （ 22） 与 （ 19） 式比较可知 ),(0201xx正是平衡点2P ，所以2P 是相轨线的退化点。 为了考察mmc c 轨线的形状，我们只需考虑mc = 的情况，其中m = 。因此，当11xx 时，方程 -291- mxrxrexexx =122211122)( 没有解2x 。当11xx
18、= 或11xx = 时，这个方程具有唯一的解022xx = ，而对于111 xxx x ， 0)0(2x 的所有的解 )(1tx ， )(2tx 都是时间的周期函数。也就是说， （ 17）和（ 18）的具有初始条件 0)0(1x ， 0)0(2x 的每一个解 )(1tx ， )(2tx 都具有这样的性质： )()(11txTtx =+ ， )()(22txTtx =+ ，其中 T 是某一正数。 图3 DAncona 所用的数据实际上是捕食者的百分比在每一年中的平均值。因此，为了把这些数据同方程组 （ 17） 和 （ 18） 的结果进行比较， 对于 （ 17） 和 （ 18） 的任何解 )(1t
19、x ，)(2tx ，我们必须算出 )(1tx 和 )(2tx 的“平均值” 。值得注意的是，即使还没有准确地求得 )(1tx 和 )(2tx ，我们仍然能够算出这些平均值。 引理 2 设 )(1tx ， )(2tx 是（ 17）和（ 18）的周期解，其周期 0T ， )(1tx 和 )(2tx的平均值定义为 =TdttxTx011)(1，=TdttxTx022)(1这时，011xx = ，022xx = 。换句话说， )(1tx 和 )(2tx 的平均值是平衡解。 证明 把（ 17）的两端除以1x ，得到 21111)(xrxtx=&，于是 =TTdttxrTdttxtxT0211011)(1
20、)()(1&由于 =TxTxdttxtx011110)0(ln)(ln)()(&因此， -292- =TTrdtrTdttxT0101211)(1 ， 于是，112rx = 。 类似地， 把 （ 18） 的两端除以 )(2tTx ， 由 0 到 T 积分， 我们得到221rx = 。 下面，我们考虑渔业对于上述数学模型的影响。注意到渔业使得食饵总数以速率1x 减少，而使得捕食者的总数以速率2x 减少。常数 反映渔业的水平；即反映了海上的渔船数和下水的网数。因此，真实的状态由下列修正的微分方程组来描述： +=+=2122221222221111121111)()()()()()(xxxrxxrx
21、txxxxrxxrxtx&（ 23） 这个方程组同（ 17） ， （ 18）完全一样（当 01r 时） ，只是其中1r 换成 1r ，而2r换成 +2r 。因此，现在 )(1tx 和 )(2tx 的平均值是 221+=rx ，112=rx 平均说来，中等捕鱼量 )(1r 实际上会增加食饵的数目，而减少捕食者的数目。相反，捕鱼量的降低，平均说来，会增加捕食者的数目，而减少食饵的数目。这个值得注意的结果称为 Volterra 原理，它解释了 DAncona 的数据。 值得注意的是 Volterra 模型是非常粗糙的，有兴趣的读者可以作进一步的探讨。 习 题 十 四 1. 单棵树木的商品价值 V 是
22、由这棵树能够生产的木材体积和质量所决定的。显然)(tVV = 依赖于树木的年龄 t。假设曲线 )(tV 已知， c为树木砍伐成本。试给出砍伐树木（更确切地说砍伐相同年龄的树木）的最优年龄。如果考虑到森林轮种问题，即一旦树木从某一处砍掉，这块土地便可以种植新树，假定各轮种周期具有相等的长度，试建模讨论最优砍伐轮种的森林管理策略的问题。 2. 如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，试建立种群依存模型并讨论平衡点及稳定性，解释稳定的意义。 3. 如果两个种群都不能独立生存，但共处时可以相互提供食物，试建模以讨论共处的可能性。 4. 如果在食饵捕食者系统中，捕食者掠夺的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。在适当的假设下建立这三者之间关系的模型，求平衡点。
