1、人教A版高中数学必修五第三章,3.4基本不等式,学习目标,学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题,创设情景，揭示课题,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,互动交流 研讨新知,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积之和S =,、S与S有什
2、么样的不等关系？,探究：,SS即,问：那么它们有相等的情况吗？,猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,思考：你能给出不等式 的证明吗？,1.重要不等式：当且仅当a=b时，等号成立,替换后得到：,即：,即：,若a0，b0，则,当且仅当a=b时取等号,基本不等式,正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数；,适用范围：,a0,b0,变形,均值不等式,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直
3、径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,问题二,a=b,a=b,a,bR,a0,b0,填表比较：,质疑答辩，排难解惑，发展思维,2,,例3：（1）用篱笆围成一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为 m，宽为 m，,则 ，篱笆的长为 m.,所以，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,一正,二定,三相等,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜
4、园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为 m，宽为 m，,矩形菜园的面积为 m2,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2,9,一正,二定,三相等,例4:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z
5、元. 根据题意,有:容积为4800m3,得3xy=4800xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得即当x=y,即x=y=40时, 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,x,y,3,成立,巩固深化，反馈矫正,已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？,则,分析：设三角形的两条直角边为,当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条 直角边的和最小为20,？,10,2.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？,解：,设矩形的长为 m，宽为 m，则,5, 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面
6、积最大，为25,3.做一个体积为32 ,高为2m的长方体纸盒，底面的 长与宽取什么值时用纸最少？,解：,则,Z=2,+4x+4y,体积为32,2xy=32,即xy=16,z32+48=64,x,y,2,设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z,=32+4(x+y),当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4,当x=y=4时，用纸最少为64,由不等式的性质得，,归纳整理，整体认识,用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值,即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。,布置作业：,P101 习题3.4 A组 第1、2、4题,
