1、第三章 离散傅里叶变换 （DFT）,主要内容,1、DFT的定义及性质 2、频域抽样定理 3、序列的抽取与插值 4、离散傅里叶变换的应用(卷积和频谱计算),3.1 离散傅里叶变换的定义与性质,一、四种不同傅里叶表示,傅里叶级数(FS) 傅里叶变换(FT) 周期序列傅里叶级数(DFS) 序列的傅里叶变换(DTFT),1、傅里叶级数(FS),周期连续时间信号 非周期离散频谱函数。 周期为T0的连续时间函数x(t)可展成傅里叶级数X(jk0)，是离散非周期性频谱，表示为：,FS,通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应。(频域采样，时域
2、周期延拓),2、傅里叶变换(FT),非周期连续时间信号通过连续傅里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。,以下变换对可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。,3、周期序列的傅里叶级数(DFS),.,以下变换对可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的周期性造成频域是离散的谱。,4、序列的傅里叶变换(DTFT),非周期离散的时间信号(单位圆上的Z变换(DTFT)得到周期性连续的频率函数。,时域的离散造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续。,二、DFT引入,对于有限长序列，引入DFT。 DFT是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 DF
3、T变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法FFT，因而使DFT得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。,1、由DFS引出DFT的定义,周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列。 具体而言： 时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓; 把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓; 这样我们只要把DFS的定义式两边（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对。 这就是数字信号处理课程里最重要的变换 - 离散傅里叶变换(DFT)。,2、由D
4、TFT引出DFT的定义,有限长序列的傅里叶变换在频域是周期连续函数，通过频域抽样可得DFT。 具体而言： 把有限长序列X(k)看做频域函数的N点抽样； 这样我们只要把DTFT的定义式两边（时域、频域）的数字角频率离散，就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对。,3、DFT定义,正变换反变换X(k)、x(n)为有限长序列的离散傅里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。,4、DFT涉及的基本概念,1）主值(主值区间、主值序列) 2）移位(线性移位、圆周移位) 3）卷积(线性卷积、圆周卷积) 4）对称(序列的对称性、序列的对称分量),1）主值(主值区间、主值序列),2）移位,线性移位：序列沿
5、坐标轴的平移。 圆周移位：将有限长序列x(n)以N为周期，延拓为周期序列，并加以线性移位后，再取 它的主值区间上的序列值。 m点圆周移位记作:,其中(.)N表示N点周期延拓。,例：,2,1,3,1,0.5,(1)周期延拓：N=5时,n,x(n),2,1,3,1,x(n),0.5,2,1,3,1,0.5,1,1,2,0.5,n,(2)周期延拓：N=6 时，补零加长,2,1,3,1,x(n),0.5,2,1,3,1,0.5,1,1,2,3,n,3,2,1,3,1,0.5,n,x(n),(3)M=1时，左移(取主值),1,3,1,x(n),0.5,2,(4)M=-2时，右移(取主值),2,1,3,1
6、,n,x(n),0.5,n,3）卷积,线性卷积圆周卷积圆周卷积与线性卷积的性质对比,(1) 线性卷积,线性卷积定义：有限长序列 x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN2-1，则线性卷积为,注意：线性卷积结果长度变为N1+N2-1 。,(2) 圆周卷积,令则圆周卷积结果长度不变,为N。,圆周卷积的实现步骤,用图表求解圆周卷积,例：x(n)=5,4,3,2,1，h(n)=1,2,3，同上求N=7点的圆周卷积。 解： （1）将x(n)补零加长为x(k)=5,4,3,2,1,0,0, （2）将h(n)补零加长至N=7，并周期延拓， （3）反折得到:h(-k)=1,0,0,0,0,3,2 （4）
7、作图表,(3) 圆周卷积与线性卷积的性质对比,4）对称,序列的对称性: x(n) 序列的对称分量: xo(n), xe(n),(1) 序列的对称性,(a) 奇对称(序列)和偶对称(序列) (b) 圆周奇对称(序列)和圆周偶对称(序列) (c) 共轭对称(序列)和共轭反对称(序列) (d) 圆周共轭对称(序列)和圆周共轭反对称(序列),(a) 奇对称(序列)和偶对称(序列),满足xe(n)=xe(-n) 的序列xe(n)称为偶对称序列。,x(n)与-x(-n)互为奇对称。,满足xo(n)=-xo(-n)的序列xo(n)称为奇对称序列。,x(n)与x(-n)互为偶对称;,(b) 圆周奇对称(序列)
8、和圆周偶对称(序列),长度为N的有限长序列x(n)与y(n)=-x(-n)NRN(n) 互为圆周奇对称。,长度为N的有限长序列x(n)与y(n)=x(-n)NRN(n) 互为圆周偶对称。,x(n),y(n)=-x(-n)NRN(n),x(n)与y(n)互为圆周奇对称.,圆周奇对称,圆周偶对称,周期延拓,判断序列的圆周奇偶对称性的简便方法,在n=N处补上与n=0处相同的序列值： （1）如果此新的序列对n=N/2是偶对称，则原序列一定为圆周偶对称序列。 （2）如果此新的序列对n=N/2是奇对称，则原序列一定为圆周奇对称序列。,(c) 共轭对称(序列)和共轭反对称(序列),共轭对称序列：一个序列xe
9、(n)，其满足xe(n)=x*e(-n)，即称此序列为共轭对称序列。 对于实序列来说，这一条件变成xe(n)=xe(-n)，即为偶对称序列。 共轭反对称序列：若一序列xo(n),其满足xo(n)=-x*o(-n)，称此序列为共轭反对称序列，对于实序列来说，即为xo(n)=-xo(-n)奇对称序列。任一序列x(n)总能表示成: x(n)=xe(n)+xo(n)。,(d) 圆周共轭对称(序列)和圆周共轭反对称(序列),N点有限长序列x(n)与x*(-n)NRN(n)互为圆周共轭对称。 圆周共轭对称序列满足：xep(n) =xep*(-n)NRN(n)即xep(n)的模是圆周偶对称，辐角圆周奇对称(
10、或说实部圆周偶对称，虚部圆周奇对称)。即把xep(n)看成分布在 N等分的圆上，在n=0的左半圆与右半圆上，序列是共轭对称的。,圆周共轭对称(序列)的例子,实部圆周偶对称, 虚部圆周奇对称,N点有限长序列x(n)与-x*(-n)NRN(n)互为圆周共轭反对称。 圆周共轭反对称序列满足 ：xop(n) = -xop*(-n)NRN(n) 即xop(n)的模是圆周奇对称，辐角是圆周偶对称(或说实部圆周奇对称，虚部圆周偶对称)。把xop(n)看成分布在N等分的圆上，在n=0的左半圆与右半圆上，序列是共轭反对称的。,圆周共轭反对称(序列)例子,实部圆周奇对称, 虚部圆周偶对称,(2) 序列的对称分量,
11、(a) 奇对称分量和偶对称分量 (b) 圆周奇对称分量和圆周偶对称分量 (c) 共轭对称分量和共轭反对称分量 (d) 圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量,(a) 奇对称分量和偶对称分量,(b) 圆周奇对称分量和圆周偶对称分量,x(n)是长度N的有限长序列，可表示成一个圆周奇对称序列xop(n)和一个圆周偶对称序列xep(n)之和，即：x(n)=xep(n)+xop(n)。,其中xop(n)称为 x(n)的圆周奇对称分量;xep(n)称为 x(n)的圆周偶对称分量.,(c) 共轭对称分量和共轭反对称分量,x(n) 可表示为一个共轭对称序列xo(n)和一个共轭反对称序列xe(n)之和，即：x(n
12、)=xo(n)+xe(n),其中，xo(n)又称为x(n)的共轭反对称分量；xe(n)又称为x(n)的共轭对称分量。,(d) 圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量,x(n)是长度为N的有限长序列，可表示成一圆周共轭反对称序列xop(n)加一圆周共轭对称序列xep(n)。 即 ：x(n)=xep(n)+xop(n),其中：xop(n)又称为x(n)的圆周共轭反对称分量; xep(n)又称为x(n)的圆周共轭对称分量。,x(n)是长度为N的有限长序列，可表示：,5、相关,(1) 线性相关 (2) 圆周相关,(1) 线性相关,注：第一，相关和卷积的计算相似，但没有反褶这步。第二，相关函数不满足交换律
13、。,信号x(n)与y(n)的相关函数rxy(n)称为互相关函数 信号x(n)与自身的相关函数rxx(n)称为自相关函数,互相关函数的频谱：,自相关函数的频谱：,维纳辛钦定理： 自相关函数与信号功率谱互为傅里叶变换对。,(2) 圆周相关,注：圆周相关结果长度不变为N。,5、DFT的性质和定理,1）线性 2）时间移位 3）频率移位 4）圆周卷积定理 5）圆周相关定理 6）对称性质 7）DFT形式的帕赛瓦尔定理能量计算公式 8）DFT的奇,偶,虚,实关系,x1(n)，x2(n)的线性组合有：其中a，b为任一常数，本性质可由定义直接证明。 证：,1）线性,线性特性说明：,如果x1(n)和x2(n)长度
14、皆为N, 即0nN-1范围有值, 则aX1(k)+bX2(k)的长 度也是N; 若x1(n)和x2(n)长度不等, 设x1(n)长度为N1, x2(n)长度为N2,则ax1(n)+bx2(n)的长度应为N=maxN1,N2, 故DFT必须按长度N计算。若N1N2，则N=N2, 那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变成长度为N序列, 然后都 作N点的 DFT。,2）时移,设N点有限长序列x(n)，DFTx(n)=X(k)则DFTx(n+m)NRN(n)=WN-mkX(k) 说明：(1)本性质描述了有限长序列时域移位后频域的变化规律；(2)只有采用圆周移位这一能体现 DFT的隐含周期性的移位
15、方式，才能得到本性质所描述的结果。,复习（平移）,3）频移,设频域N点有限长序列X(k)则,4）圆周卷积定理,时域卷积-频域相乘频域卷积-时域相乘,说明,时域卷积对应于频域相乘，而时域相乘对应于频域卷积。 这与我们曾学过的其他变换（FT/L/Z)的卷积定理是相似的。但注意，由于DFT隐含的周期性，卷积必须是圆周卷积才有此性质。 注意第二个关系中的系数，不要忽略。,5）圆周相关定理,有限长序列的相关运算可分为圆相关（循环相关)与线相关两种形式，通常可借助于圆相关求线相关。,复习：时域抽样定理,奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于信号最高频率的两倍。,或,3.2
16、 抽样Z变换频率抽样理论,抽样内插公式,由抽样值xa(mT)经此公式而得到连续信号xa(t)。,一、Z、DTFT变换与DFT关系,DFT看作是DTFT在频域抽样后的变换对。 而DTFT是单位圆上的Z变换。 所以对DTFT进行频域抽样时，自然可以看作是对单位圆上的 Z变换进行抽样。,1、引入,2、推导,是单位圆上各点的数字角频率。,Z变换的定义式(正变换) :,取z=ej代入,得到单位圆上Z变换为,则这正是离散傅里叶变换 (DFT)正变换定义式。,再抽样在单位圆上N等分，抽样间隔为2/N，则N点值为2k/N, 0kN-1。考虑x(n)是N点有限长序列，n只需0N-1即可。将=2k/N代入并改变上
17、下限， 得:,3、结论,有限长序列x(n)的DFT的X(k)序列的各点值等于x(n)的Z变换在单位圆上N等分抽样的各点处所得的Z变换值，即这就是Z变换与DFT的关系。,有限长序列补零加长（N增加），求其DFT。发现频谱包络不变，只是抽样点更密。原因:即N补零加长并不改变有限长序列本身，因而其 Z变换不变，而只是增加了N值。 根 据 每个X(k)仍等于X(ejw) 这一包络。由于0kN-1，X(k)值的个数增加了，谱线变密。,二、频率抽样理论 （频域抽样不失真条件）,是否任何一序列(或说任何一个频率特性) 都能用频域抽样的办法去逼近呢? 其限制条件是什么?,1、引入,2、分析,频域按每周期N点抽
18、样，时域便按N点周期延拓。,3、结论,长度为M的有限长序列，频域抽样不失真的条件: 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M，即满足NM。此时可得到,表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示。,4、抽样后序列能否无失真恢复原时域信号,5、例子,频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化。,解：频域抽样，按N=5点频域抽样，时域延拓相加，时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。,按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度为M=5，NM，
19、时域延拓后产生混叠现象。(原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为兰色)。,三、频域内插公式,从频域抽样不失真条件可以知道：N个频域抽样X(k)能不失真的还原出长度为N的有限长序列x(n)。那么用N个X(k)也一定能完整地表示出X(z)以及频率响应即单位圆上的X(z)。 过程很简单，先把N个X(k)作IDFT得到x(n),再把x(n)作Z变换便得到X(z)。,1)内插公式,2)内插函数,1、系统函数的内插公式,3)内插公式和内插函数的推导,2、频域响应的内插公式,1)内插公式,2）内插函数,从公式中看出: 在每个抽样点上X(ej)就精确地等于X(k)(因为其他的内插函数在这一点上的值为零,无影响), 即各抽样点之间的X(ej)值由各抽样点的加权内插函数在所求点上的值的叠加而得到。 频率响应的内插函数()具有线性相位。,
