1、第1章 矢量场,1.1 矢量及其矢量场,1.4矢量场的散度,1.2 三种常用坐标系中的矢量场,1.3 梯度,1.5 矢量场的旋度,物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。,1.1 矢量及其矢量场,1.矢量的表示方法,a矢量的概念,b矢量的特点,两个变量确定：大小，方向,c矢量的表示方法,几何表示：,代数表示：,单位矢量,（表示矢量的方向）,（模为1，可以在空间中指向任意方向）,直角坐标系：,表示三个坐标轴方向的单位矢量,2.矢量的代数运算法,a.加减法：法则和规律,平行四边形法则：,三角形法则：,b.标积：,满足乘法交换律：,c.矢积,的方向
2、：满足右手法则,例如：,矢积满足反交换律：,d.混合积（三个矢量乘积）,混合积中既有矢积（叉积）又用标积（点积），最后结果是标量！,混合积要用到矢积（叉积）和标积（点积）的运算规则,（1）,几何意义：,满足：,（2）,最后结果为矢量,3.标量场与矢量场,温度场,电场，流速场，重力场,时变场 如：,静态场 如：,场在空间的分布形式取决于：场源和周围物质环境,1.直角坐标系 2.圆柱坐标系 3.圆球坐标系,12 三种常见坐标系中的矢量场,场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用
3、的坐标系。,共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。,直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；,圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。,一：位置矢量（位矢）,o,p,位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。,有向线段 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与参考点选择有关，与坐标系选择无关。,二：正交坐标系,1：直角坐标系,单位矢量：,（常矢量）,矢量场在p点对应矢量 分别在本地三个坐标轴上的投影值物理量投影分量。,即：,2：圆柱坐标系,单位矢量：,（不都是常矢量）,坐标变量：,p点到z轴的距离,过p点和z轴的平面与XZ平面的夹角,p点在Z轴上的投影
4、值,单位矢量：,与,之间的关系：,圆柱坐标系三个单位矢量不全是常矢量,矢量场在同一空间位置点上圆柱坐标系中坐标分量与直角坐标系中坐标分量的关系（p6）,3：圆球坐标系,坐标变量：,p点到坐标原点的距离，即p点所在位置矢量的长度,p点位矢与Z轴的夹角,过p点和Z轴平面与XZ平面的夹角,单位矢量：,（都不是常矢量）,与,之间的关系：,矢量场在同一空间位置点上圆球坐标系中分量与直角坐标系中分量的关系（p12）,三种坐标系下坐标变换及坐标分量变换（p250）,1.3 梯度,变矢量,一元变矢 如：矢性函数,多元变矢,也可以类似于多元函数进行微积分运算。但在直角坐标系下最为简便。,场 论,标量场的梯度,矢
5、量场的散度,矢量场的旋度,1梯度的定义,等值面：标量场中量值相等的点构成的面。,方向导数,表示标量场,为一任意给定的方向,为该方向上的单位矢量,即求：,的最大值,标量场沿哪个方向（ ）变化最为剧烈？,标量场在p点沿 方向的方向导数，大小与方向与 有关。,直角坐标系下：, 可知：沿等值面法线 的方向导数最大。,即有：,且沿其方向，,有最大值,梯 度：,2.圆柱坐标系和圆球坐标系下的标量场梯度,3.梯度运算法则,C=0 (C)=C (+)=+ ()=+ (/)=(-)/ F()=F(),1.4 矢量场的散度,矢量场的通量,一、通量,若S 为闭合曲面,二、散度,直角坐标系中散度的计算公式,如果包围点
6、P 的闭合面S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场在P 点的散度。即,拉普拉斯算符,三、散度的物理意义, 散度代表矢量场的通量源的分布特性。, 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。,散度的在不同坐标系下的表示, A = 0 (无源）,在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。, A = 0 (负源),= 0 (正源),六、高斯定理(散度定理),式中S为 的外表面,该公式表明了区域 中场 与边界S上的场 之间的关系。,1.5 矢量场的环量 旋度,一、环量,二、旋度,1. 环量强度, 过
7、点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋关系。当S 收缩至P 点附近时,存在极限, 该极限值与S 的形状无关，但与S的方向n 有关。称为矢量场 A 在P 点沿n 方向的环量强度,2. 旋度,旋度是一个矢量，模值等于环量强度的最大值；方向为最大环量强度的方向。用 表示,它与环流强度的关系为,举例,在直角坐标系下,三、旋度的物理意义, 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。, 点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。, 点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。,四、斯托克斯定理,反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系,1.6无旋场与无散场,矢量场的唯一性定理,
