1、 1 开始 结束 输出 是 否 0 , 0 S S k ? 2 S k S S 2 2 k k k 开始 结束 输出 是 否 0 , 0 S S k ? 2 S k S S 2 2 k k k 东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟 数学试题（理科） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题:本大题共 12小题,每小题5 分,满分60分. 1.已知集合 2 | 16 0 A x x ， 5,0,1 B ，则 A.AB BBA C 0,1 AB DAB 2.复数 i i - 1 ) 1 ( 2 等于 A i 1 B i 1 C i 1 D i 1 3
2、.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6， 则输入的整数 0 S 的可能值为 A.5 B.6 C.8 D.15 4.已知直线 1 sin cos : y x l ,且 l OP 于P ,O为坐标原点, 则点P 的轨迹方程为 A 1 2 2 y x B 1 2 2 y x C 1 y x D 1 y x 5.函数 x e x f x ln ) ( 在点 ) 1 ( , 1 ( f 处的切线方程是 A. ) 1 ( 2 x e y B. 1 ex y C. ) 1 ( x e y D. e x y 6.“等式 ) 2 sin( ) sin( 成立”是“ 、 、 成等差数列”的 A充分而
3、不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 7.在各项均为正数的等比数列 n a 中， 2 1 a ， 5 4 2 , 2 , a a a 成等差数列， n S 是数列 n a 的前n项的和，则 4 10 S S A.1008 B.2016 C.2032 D.4032 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A90 B92 C98 D104 9.半径为4的球面上有 D C B A 、 、 、 四点， AD AC AB 、 、 两两互相垂直，则 ADB ACD ABC 、 、 面积之和的最大值为 2 A8 B16 C32 D.64 10.设等差数列 n a
4、 的前n项和为 n S ，若 0 , 0 10 9 S S ，则 9 9 3 3 2 2 1 2 2 , 2 , 2 a a a a ， 中最大的 是 A 1 2 aB 5 5 2 aC 6 6 2 aD 9 9 2 a11.已知函数 ) ( )( ( ) ( 3 2 1 x x x x x x x f ） （其中 3 2 1 x x x ）， ) 1 2 s i n ( 3 ) ( x x x g ，且函数 ) (x f 的两个极值点为 ） （ ， 设 2 , 2 3 2 2 1 x x x x ，则 A ) ( ) ( ) ( ) ( g g g g B ) ( ) ( ) ( ) ( g
5、 g g g C ) ( ) ( ) ( ) ( g g g g D ) ( ) ( ) ( ) ( g g g g 12.设双曲线 ) 0 , 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 的右焦点为F ，过点F 作x轴的垂线交两渐近线 于点 B A, 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若 ) R OB OA OP ， （ ， 8 5 2 2 ，则双曲线的离心率为（ ） A 3 3 2B 5 5 3C 2 2 3D 8 9第卷（非选择题 共 90 分） 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分 13.若 n S 是数列 n a 的前n项的和，且 7 6 2 n
6、n S n ，则数列 n a 的最大项的值 为_. 14.设 22 1 (3 2 ) a x x dx ,则二项式 26 1 () ax x 展开式中的第4项为_. 15. 已知正方形ABCD的边长为2 ，点 E 为AB的中点以A为圆心，AE为半径，作 弧交AD于点F ，若P为劣弧EF 上的动点，则 PC PD 的最小值为_. 16.已知函数 x x a x f 2 2 ) ( 1 在 3 , 2 1 上单调递增，则实数a的取值范围_. 3 三、解答题：本大题共 6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本题满分12 分） 已知函数 ) )( 12 ( sin 2 ) 6
7、2 sin( 3 ) ( 2 R x x x x f （I）求函数 ) (x f 的最小正周期； （）求使函数 ) (x f 取得最大值的x的集合 18.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥 ABCD P- 中，底面ABCD是菱 形， 60 DAB ， , 1 , AD PD ABCD PD 平面 点 , EF 分别为AB和PD 中点. ()求证：直线 PEC AF 平面 / ； ()求PC与平面PAB所成角的正弦值. 19.（本小题满分12 分） 某网站用“10 分制”调查一社区人们的治安满意度现从调查人群中随机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，
8、小数点后 的一位数字为叶） （I）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全” ，求从这 16 人中随机选取3人，至多有 1人是“极安全”的概率； （II）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多） 任选3人，记 表示抽到“极安全”的人数，求 的分布列及数学期望 20.（本小题满分12 分） 如图，已知直线 1 : my x l 过椭圆 1 : 2 2 2 2 b y a x C 的右焦点F ，抛物线： y x 3 4 2 的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l 交椭圆C 于 B A、 两点，点 B F A 、 、 在直线 4 x g： 上的射影依次为点
9、 E K D 、 、 F E B D C A P 4 （）求椭圆C的方程； （） 若直线l 交 y 轴于点M ，且 BF MB AF MA 2 1 ， ， 当m变化时， 探求 2 1 的值是否为定值？若是，求出 2 1 的值，否则，说明理由. 21.（本小题满分12 分） 设xm 和xn 是函数 2 1 ( ) ln ( 2) 2 f x x x a x 的两个极值点,其中 mn ,aR . () 求 ( ) ( ) f m f n 的取值范围; () 若 1 2 ae e ,求 ( ) ( ) f n f m 的最大 值. 22.（本小题满分10 分）选修41：几何证明选讲 如图所示，已知O
10、 的半径长为 4，两条弦 BD AC, 相交于点E ，若 3 4 BD ， DE BE ，E 为AC的中点， AE AB 2 . () 求证：AC平分 BCD ； ()求 ADB 的度数. 23 （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C 的参数方程为 sin 3 cos 2 y x （其中 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为 0 1 sin cos . () 分别写出曲线 1 C 与曲线 2 C 的普通方程； ()若曲线 1 C 与曲线 2 C 交于 B A, 两点，求线段AB的长. 24.（本小题满分10分）
11、 选修 45：不等式选讲 已知函数 | 1 2 | ) ( x x f . ()求不等式 2 ) ( x f 的解集； ()若函数 ) 1 ( ) ( ) ( x f x f x g 的最小值为a，且 ) 0 , 0 ( n m a n m ，求 n n m m 1 2 2 2 的最小值. . A B C D E O . A B C D E O 5 东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5 分,满分 60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12
12、.A 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分 13.12 14. 3 1280 x 15.5 2 5 16.1，1 三、解答题：本大题共 6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.() f(x)= 3sin(2x 6 )+1cos2(x 12 ) = 2 3 2 sin2(x 12 ) 1 2cos2(x 12 )+1 =2sin2(x 12 ) 6 +1 = 2sin(2x 3 ) +1 T= 2 2= ()当f(x)取最大值时, sin(2x 3 )=1, 有 2x 3=2k+ 2即x=k+ 5 12(kZ) 所求 x的集合为xR|x= k+ 5 12, (kZ)
13、. 18.解：()证明：作FMCD 交PC于M. 点F为PD中点， CD FM 2 1 . 2分 2 1 k ， FM AB AE 2 1 ， AEMF为平行四边形，AFEM， 4 分 AF PEC EM PEC 平面 ， 平面 ， M F E B A C D P 6 直线AF/平面 PEC. 6分 () 60 DAB ， DE DC . 如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E( 3 2 ,0,0), A( 3 2 ， 1 2 ，0)， 31 ( , ,0) 22 B ， 31 , ,1 22 AP ， 0,1,0 AB . 8分 设平面PAB的一个法向量为 , n
14、x y z . 0 n AB ， 0 n AP ， 0 0 2 1 2 3 y z y x ，取 1 x ，则 3 2 z ， 平面PAB的一个法向量为 3 (1,0, ) 2 n . 10 分 设向量n PC 与 所成角为 ， (0,1, 1) PC ， 3 42 2 cos 14 7 2 4 n PC n PC ， PC平面PAB所成角的正弦值为 42 14 . .12分 19. F E B A C D y z x P 7 20.解： （）易知椭圆右焦点 F（1，0）， c=1， 抛物线 的焦点坐标 ， b 2 =3 a 2 =b 2 +c 2 =4椭圆 C的方程 （）易知 m0，且 l与
15、y轴交于 ， 设直线l交椭圆于 A（x1，y 1 ）， B（x2，y2） 由 =（6m） 2 +36（3m 2 +4）=144（m 2 +1）0 又由 8 同理 所以，当m变化时，1+2的值为定值 ； （）证明：由（）知A（x1，y1 ）， B（x2，y2 ）， D（4，y1 ）， E（4，y2） 方法1） 当 时， = 点 在直线 lAE上， 同理可证，点 也在直线lBD上； 当 m变化时，AE与BD相交于定点 9 方法2）= kEN=kANA、N、E 三点共线， 同理可得B、N、D 也三点共线； 当 m变化时，AE与BD相交于定点 解:函数 () fx的定义域为(0, ) , 2 1 (
16、2) 1 ( ) ( 2) x a x f x x a xx . 依题意,方程 2 ( 2) 1 0 x a x 有两个不等的正根m,n(其中mn ).故 2 ( 2) 4 0 0 20 a a a , 并且 2, 1 m n a mn . 所以, 22 1 ( ) ( ) ln ( ) ( 2)( ) 2 f m f n mn m n a m n 22 11 ( ) 2 ( 2)( ) ( 2) 1 3 22 m n mn a m n a 故 ( ) ( ) f m f n 的取值范围是( , 3) ()解:当 1 2 ae e 时, 2 1 ( 2) 2 ae e .若设 ( 1) n t
17、t m ,则 2 22 ( ) 1 1 ( 2) ( ) 2 2 mn a m n t e mn t e . 于是有 1 1 1 ( )(1 ) 0 t e t e t e t e te 2 2 2 2 11 ( ) ( ) ln ( ) ( 2)( ) ln ( ) ( )( ) 22 nn f n f m n m a n m n m n m n m mm 10 22 22 1 1 1 ln ( ) ln ( ) ln ( ) 2 2 2 11 ln ( ) 2 n n n m n n m nm m m mn m m n tt t 构造函数 11 ( ) ln ( ) 2 g t t t t
18、 (其中te ),则 2 22 1 1 1 ( 1) ( ) (1 ) 0 22 t gt t t t . 所以 () gt在 , ) e 上单调递减, 1 ( ) ( ) 1 22 e g t g e e . 故 ( ) ( ) f n f m 的最大值是 1 1 22 e e 22.（本小题满分10 分） 解： （1）由E 为AC的中点， AE AB 2 得 AB AC AE AB 2 又 CAB BAE ABE ACB ACB ABE 又 ABE ACD ACB ACD 故AC平分 BCD 5分 （2）连接OA，由点A是弧BAD 的中点，则 BD OA ， 设垂足为点F ，则点F 为弦B
19、D 的中点， 3 2 BF 连接OB ，则 2 ) 3 2 ( 4 2 2 2 2 BF OB OF ， 2 2 4 OF OA AF ， 60 , 2 1 4 2 cos AOB OB OF AOB 30 2 1 AOB ADB 10 分 11 . A B C D E O F . A B C D E O F23.（本小题满分10 分） 解： （1）曲线 1 C 1 3 4 : 2 2 y x ，2分 曲线 2 C ： 0 1 y x 4 分 （2）联立 1 3 4 0 1 2 2 y x y x ，得 0 8 8 7 2 x x ， 设 ) , ( ), , ( 2 2 1 1 y x B
20、y x A ，则 7 8 , 7 8 2 1 2 1 x x x x 于是 7 24 4 ) ( 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x AB . 故线段AB的长为 7 24 .10分 24.（本小题满分10 分） 解： （1）由 2 ) ( x f 知 2 | 1 2 | x ，于是 2 1 2 2 x ，解得 2 3 2 1 x ，故不 等式 2 ) ( x f 的解集为 2 3 , 2 1 ；3分 （2）由条件得 2 | ) 3 2 ( 1 2 | | 3 2 | | 1 2 | ) ( x x x x x g ，当且仅当 2 3 , 2 1 x 时，其最小值 2 a ，即 2 n m 6分 12 又 2 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 1 1 2 n m m n n m n m n m ，8分 所以 n n m m 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 2 n m n m 2 2 2 7 ， 故 n n m m 1 2 2 2 的最小值为 2 2 2 7 ，此时 2 2 2 , 2 2 4 n m .10分 12分
