1、1,第7章 离散傅里叶变换：性质与应用,1.在数字信号处理器上，对离散时间信号做频率分析是件普通且十分方便的事情。 2.数字信号处理器可以是通用数字计算机，也可以是特定的数字硬件。 3.为了对数字信号做频率分析，必须将时域序列转换成等效的频域表示。 4.序列 的傅里叶变换 就是 的频域等效表示，然而， 是频率的连续函数，从计算角度上讲， 作为序列的频域表示是不方便的。 5.考虑利用 的样本表示 。导出DFT。DFT是实现离散时间信号分析的一种高效的计算工具。,2,内 容,7.1 频域取样:离散傅里叶变换 ； 7.2 DFT的性质 ； 7.3 基于DFT的线性滤波方法 ； 7.4 用DFT做信号
2、频率分析； 7.5 小结。,3,1 离散时间信号的频域取样和重构 2 离散傅里叶变换（DFT） 3 DFT与线性变换的关系 4 DFT与其他变换的关系,7.1 频域取样:离散傅里叶变换,4,1. 频域取样和离散时间信号重构 考虑非周期有限能量离散时间信号 ,它的傅里叶变换可表示为在区间 内取 个等间隔样本,取样间隔,5,对信号 周期性重复可得信号,6,7,.,8,假如 ，则有限时宽为 的非周期离散时间信号的谱可以从它在频率 的样本完全重构。,9,10,内插函数,11,内插公式精确地给出了在 的样本值 。在所有其他频率点, 提供了一个恰当的原谱样本的加权线性组合.,例: 序列长度 L 小于采样点
3、数 N,DFT,连续,周期化,采样,No time aliasing,LN,DFT,连续,周期化,采样,time aliasing,LN,例: 序列长度 L 大于采样点数 N,DFT采样的图解说明（重叠）,14,15,16,2 离散傅里叶变换,一般说来，当 具有无限时宽时，等间隔频率样本 ，不一定能惟一地表示原序列 。而频率样本，对应于周期为N的周期序列 ，其中， 为 程度的混叠形式.,17,长度为 的有限时宽序列 具有傅里叶变换：,18,例: 矩形序列:,DFT(N=L):,当 时, 求N点DFT.,解:,19,的幅值和相位,DFT的幅值和相位,20,DFT的幅值和相位,21,DFT与线性变
4、换的关系将DFT和IDFT分别视为序列 上的线性变换:,22,例7.1.3 计算4点序列 的DFT .DFT和IDFT是一对计算工具，在信号的频率分析、功率谱估计和线性滤波等许多应用中扮演着非常重要的角色。,23,4 DFT与其他变换的关系,(1)与周期序列傅里叶级数系数的关系 基本周期为 的周期序列 ,它的DFS表示式为,具有DFT的形式,具有IDFT的形式,点DFT提供了基本周期为 的周期信号的精确的线谱,24,DFT 和 DFS的关系,N=10,DFT 和 DFS:图解说明,(2)与非周期序列傅里叶变换的关系,27,(3)与 变换的关系,如果 的时宽 ，则它的 变换可以由它的 点DFT惟
5、一确定。,28,通过序列的DFT表示有限时宽序列的傅里叶变换,29,4. 与连续时间信号傅里叶级数系数的关系,为IDFT公式的形式,序列 是序列 的混叠形式。, 非周期离散时间或有限长序列x(n)的Fourier 变换,若 0n N1 离散Fourier变换 (DFT),主要思想:, 周期离散时间序列的DFS,频谱连续,非周期,频谱离散,非周期,频谱连续,周期,频谱离散, 周期,31,5.2 DFT的性质1 周期性、线性性和对称性 2 两个DFT的积和循环卷积 3 DFT另外的性质,32,1 周期性、线性性和对称性,(1)周期性,33,(2)线性性,34,(3)序列的循环对称性,35,序列的循
6、环移位,点序列的循环移位等价于该序列周期性外延的线性移位，反之亦然的结论。,36,N=15,DFT 的性质: 圆周移位,37,N=15,DFT 的性质: 圆周移位(续),38,排列在圆周线上的序列的偶对称、奇对称及反转的定义,序列为循环偶对称序列: 序列为循环奇对称:圆上零点反转序列:偶序列、奇序列,反转序列相当于按顺时针方向绘制在一个圆周上。,39,DFT 的性质: 对偶性,40,(4) DFT 的性质: 对称性,41,(5) 实序列,(6)实偶序列,42,(7) 实奇序列,(8) 纯虚序列,43,2 两个DFT的积和循环卷积,44,45,46,循环卷积,两个序列的DFT的乘积等效于这两个序
7、列在时域的循环卷积,循环卷积基本上包含与普通卷积相同的四步。两类卷积之间的基本区别：在循环卷积中，折叠和移位(旋转)操作是通过对一个序列的序号做模N运算按照周期方式实现的，而在线性卷积中，不存在模运算。,在两个序列中任选其一，然后对它做折叠或旋转不会改变循环卷积的结果，因此，也有,47,例7.2.1 实现下面两个序列的循环卷积：解:,将每一序列按逆时方向逐点绘制在一个圆上,这就建立了一个序列相对于另一序列旋转的参考方向。,折叠序列 就是按顺时针方向绘制的序列 。,48,49,例7.2.1 利用DFT和IDFT确定下面两个序列的循环卷积：解: 首先，计算 的DFT计算两个DFT的乘积: 计算 的
8、IDFT,50,51,3 DFT另外的性质 (1) 序列的反转,反转点序列等效于反转DFT的值。,52,(2) 序列的循环时移证明：,53,(3)循环频移 (4)复共轭性质(5)循环相关,54,(6)两个序列的积 (7)Parseval定理,55,7.3 基于DFT的线性滤波方法,已经证实：系统的输出谱 ,输出序列可以利用傅里叶反变换从它的谱中得到。但计算机只能存储和处理离散频率上量，这些计算不能在数字计算机上完成。 DFT非常适宜在数字计算机上计算，基于DFT的频域方法在计算上比时域卷积方法更加有效。 DFT为有限时宽序列在频域提供了离散频率表达方式，研究它作为计算工具用于线性系统分析，特别
9、是用于线性滤波是很有意义的。主要内容1. DFT在线性滤波中的应用2 长数据序列的滤波,56,1. DFT在线性滤波中的应用 已经证明，两个DFT的积等效于它们对应的时域序列的循环卷积。遗憾的是，假如目标是对一个给定的输入序列确定线性滤波器的输出，那么循环卷积是没有用的，必须寻找一个等效于线性卷积的频域方法。 有一个长度为 的有限时宽序列 ，利用该序列激励一个长度为 的FIR滤波器 在时域，FIR滤波器的输出序列等效的频域表示为,57,58,例 设FIR滤波器的冲激响应 和输入序列 分别为: 利用DFT和IDFT确定FIR滤波器对输入的响应。 解: , 因此,DFT的长度必须至少是6。 计算8
10、点DFT:,59,60,8点IDFT为最后两个值为零, 是因实际所要求的最小点数为6时, 却利用了8点DFT和IDFT的缘故。虽然两个DFT的积对应于时域的循环卷积,给序列和补上足够数目的零可以使它们的循环卷积产生与线性卷积相同的输出序列。 设序列6点循环卷积产生与线性卷积所得序列完全相同。当DFT的长度小于 时,在时域将引起混叠现象.,61,例 在上例中利用4点DFT确定序列。 解:,与4点循环卷积产生的序列相同,时域混叠效应很明显,前两点被混叠效应所损坏.,62,线性与圆周卷积时域分析：,63,线性与圆周卷积频域分析：,64,Left- linear convolution; right-
11、 circular convolution,( P=11,L=15 ),线性与圆周卷积,65,N=L=15,线性与圆周卷积,66,线性与圆周卷积,67,线性与圆周卷积,68,2 长数据序列的滤波,主要思想：将信号分成长度为L的数据块.由于滤波是线性的, 可以利用DFT每次处理相继数组中的一个,然后将输出数组衔 接在一起,最终形成总的输出序列。 重叠相加法(Overlap-add method) 重叠保留法(Overlap-save method) (1). 重叠保留法 输入数据组的长度, DFT和IDFT的长度为,N=L+M-1,69,70,由于混叠的原因,抛弃前 个数据,余下 的 个数据构成
12、了来自线性卷积所应有的结果。,71,2.重叠相加方法 输入数据组的长度为 , DFT和IDFT的长度 。对每一数组,附加 个零并计算点DFT,数组可表示为,72,73,7.4 用DFT做信号频率分析 在实践中,只能用有限数据记录来近似表达信号的谱。,N=2048,74,因泄漏效应, 加窗不仅扭曲了谱估计,而且也降低了谱分辨率,窗的主瓣宽度限制了分辨不同频率的谱线的能力。,窗函数的长度对分辨率的影响,减少泄漏，可选择一个与矩形窗相比在频域旁瓣较小的数据窗,可通过增加窗的主瓣宽度为代价来减少旁瓣数目.,75,7.5 离散余弦变换,1. FDCT 2. IDCT 3. DCT是正交变换,找一个 的正
13、交变换，以余弦序列线性组合的形式来表示一个实序列 。 通过对序列作偶延拓，再计算 点DFT，可推导出使用任何N点是序列的离散余弦变换（DCT）。,76,1. Forward DCT,令 是 点的 的偶对称延拓，定义为序列 关于半采样点 偶对称。,77,的2N点DFT为,将第二个球和变量换成,78,如果定义DCT为：,很容易证明：,是实数，而 是复数。,79,2 IDCT,的逆DFT为,从偶延拓序列 的逆DFT推导出IDCT,实数，,80,给定 ，先计算 ，再进行 点逆DFT变换，由逆DFT变换的实部得到 ，求得 。,81,3 DCT是正交变换,序列 的DCT和IDCT定义为：,矩阵形式表示：,
14、82,矩阵形式表示：,是实数正交矩阵，满足：,来表示 的列，则逆DCT就可写成：,信号表示为DCT余弦基序列的线性组合。系数 的值度量了信号与第 个基矢量的相似度。,利用正交特性，可证明：,83,例7.5.1 已知离散时间正弦信号,图7.5.2画出了 时的序列 ， 点DFT变换 系数的绝对值，以及 点DCT系数。与DFT相比，DCT虽然在出游一个明显的峰值，但是它在其他频率处也呈现了大量的波纹。由于这个原因，DCT对信号与系统的频率分析并没有什么用途。,正交变换保存了信号的能量，或 维空间中的矢量 的长度。所有正交变换都是矢量 在 维空间中的旋转。大多数正交变换取向将能量的大部分转移到相对较少
15、的变换系数分量上。,能量积聚特性,84,85,例题75.2 利用斜升信号 ，比较DFT和DCT的能量积聚特性。,DCT系数比DFT有更好的“能量积聚” ，意味着可以用更少数目的DCT系数来表示序列 。从统计角度来看，用于信号压缩的最优正交变换是Karhunan-Loeve（KL）变换和Hotelling变换。KL变换有两个最优特点：1）它可以是任何数目的保留系数的重建误差大到最小；2）它会产生一组不相关的变换系数。 KL变换是由输入序列的协方差矩阵的特征矢量定义的。 对于符合差分方程的信号 ，DCT提供了该信号KL变换得很好的近似。,86,87,7.6 小结与参考文献 主要介绍DFT及它的性质与应用,另外,通过对序列的谱做取样导出了DFT。 对离散时间信号谱做频域取样是相当重要的。DFT具有特殊意义。已经证明, DFT在频域可惟一表示有限时宽序列。 对DFT, 存在有效算法使得在频域用数字计算方法处理信号远快于在时域所进行的处理。 特别适宜DFT的处理方法包括线性滤波、相关分析和谱分析。 DCT。Strang(1999)从线性代数的角度研究。,
