1、1、 完成课本习题 3.2(a)(b), 课本中文版处理第二版的 113页。可以通过 matlab帮助你分析理解。 (a) S=T(r)=(m/r)+1 12、一幅 8灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。（图中的 8个不同灰度级对应的归一化直方图为 0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02） 由公式可知，变换函数的离散形式为 k=0， 1,2,3L -1 所以 S0=0.17 S1=S0+0.25=0.42 S2=S1+0.21=0.63 S3=S2+0.16=0.79 S4=S3+0.07=0.
2、86 S5=S4+0.08=0.94 S6=S5+0.04=0.98 S7=S6+0.02=1 因为输出图像的灰度级是等间隔的，同时该图像具有 8个灰度级 1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7,1 对之前求得的 Sk进行修正 S0=1/7 S1=3/7 S2=4/7 S3=6/7 S4=6/7 S5=1 S6=1 S7=1 最后的灰度级仅有 5个结果 S0=1/7 S1=3/7 S2=4/7 S3=6/7 S4=1 与此相对应的概率为 PS(s0)=0.17 PS(s1)=0.25 PS(s2)=0.21 PS(s3)=0.23 PS(s4)=0.14 3. (选做题 )课本习题 3
3、.6。对于离散的情况，用 matlab进行一下实验。 一样。直方图均衡化的结果一次到达极限。 对于离散的情况，设 n为图像中像素的总和，kn1为输入图像中灰度级为 kr 的像素的个数。 所以，直方图均衡化的转换公式为： kj kkj kkk nnnnrTs 0= 10= 1 1=/=)(= 由于输入图像中灰度级为 kr 的像素被映射到输出图像灰度级为 ks 的对应像素得到，所以 kk nn 21 = 那么，在第二次均衡化的过程中，转换函数为 kj kkk nnsTv 0= 21=)(= 所以，两次转换过程 kk vn = ，既结果相同。 4. 4完成课本数字图像处理第二版 114页，习题 3.
4、10。 对于作图， rrdwwdwwprTs rrr 2)22-()()( 2001 对于右图， 20022)()( zw d wdwwpzTv zz z 所以， 22 rrz 4.请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。 利用 matlab绘制幂次变换在不同 下的曲线，并分析图像产生差异的原因和不同取值对变换结果产 幂次曲线中的 的部分之吧输入的窄带暗值映射到宽带输出值上，相反，输入高值也对应成立。随着 取值的变化，我们能够得到一组变换曲线， c= =1时为正比变换， 1时图像偏暗， 1时，从
5、图中我们可以看到输出灰度级大部分被压缩在较低的水平上， 0时， g(s,t)越大， g(s,t)Q值越大，对于 g(s,t)处的加权值结果也就越大，平滑处理后的结果接近最大值，此时，焦噪声被弱化，起到了滤除焦噪声的作用。反之，当 Q0的时候， g(s,t)越大， g(s,t)Q值越小，对于 g(s,t)处的加权值结果也就越小，平滑处理后的结果接近最小值，此时，盐噪声被弱化，起到了滤除盐噪声的作用。 2、复习理解课本中最佳陷波滤波器进行图像恢复的过程，请推导出 w(x,y)最优解的计算过程，即从公式 2( , ) 0( , )xyxy 到 22( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ,
6、 ) ( , ) ( , )x y g x y g x y x yxy x y x y 的推导过程。 根据公式 5.4.19： a as b bt yxyxwyxgtysxyxwtysxgbayx 22 ),(),(),(),(),(),()12)(12( 1),( 为了简化运算，此处令 ),( yx ， ),( yxgg ， ),( yxww ， ),( yx ，)12)(12( 1 baC并对上式进行整理，可得： aasbbtaasbbtaasbbttysxwgtysxgCwtysxwgtysxgCwgtysxwtysxgC2222),(),(),(),(),(),(将 ),(2 yx 最
7、小化，解 0),( ),(2 yxw yx可得： w2 = ),(),( 2 aasbbt tysxwgtysxgCw由于 ),(),( yxyxg 与 ),( yxw 无关，所以上式可以化简为： 0),(),(),(2),(),( 2 tysxtysxwgtysxgCwtysxwgtysxgCaasbbtaasbbt 可得： ),(),(),(),(0),(),(),(tysxtysxggCtysxgtysxgCwtysxtysxwgtysxgaasbbtaasbbt ),(),( ),(),(),( tysxyx tysxgyxgCyxwaasbbt ),(),( ),(),(),( ty
8、sxyx tysxgyxgCyxwaasbbt 为了将求和号放入分子分母中，并打开，可以在分子分母中均乘 ),(),( tysxyx ),(),(),(),( ),(),(),(),(),( tysxyxtysxyx tysxyxtysxgyxgCyxwaasbbt ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(22 tysxyxtysxtysxgyxtysxgtysxyxgyxyxgC aasbbt 将求和号放到分子和分母中 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(22 tysxyxyxyxgyxyxgyxyxgyxyxg ),(),(),(),(),(),
9、(),(),(),(),(),(),(2222 yxyxyxyxgyxyxgyxyxyxyxgyxyxg 得证。 3、请证明带通与带阻的频域关系公式，即课本中的关系公式 Hbp(,) = 1Hbr(,) 根据数字信号处理的知识可知，空间域的信号可以经过一个双通道滤波器波实现信号的隔离与重建。这种思路同样可以运用到图像的空间域处理中。 带阻滤波器在空间域的函数为 hbr(x,y)，带通通滤波器在空间域的函数为 hbp(x,y)，原始信号为f(x,y)。则： f(x,y)=f(x,y)* hbr(x,y)+f(x,y)* hbp(x,y) 对空间域的表达两边同时做傅里叶变换，可得： F(u,v)=
10、F(u,v) Hbr(u,v)+F(u,v) Hbp(u,v) F(u,v)=F(u,v) (Hbr(u,v)+ Hbp(u,v) 1= Hbr(u,v)+ Hbp(u,v) 原式得证。 1考虑在 x方向均匀加速导致的图像模糊问题。如果图像在 t = 0静止，并用均匀加速 x0(t) = at2/2加速，对于时间T, 找出模糊函数 H(u, v), 可以假设快门开关时间忽略不计。 令 ),( yxf 为原图像， ),( yxg 为变换后的图像，设 T为曝光时间 则： T tyytxxfyxg0 0)(),(),( 经过傅里叶变换可得： T tvytuxj dtevuFvuG0)()(2 00)
11、,(),( 令 T tvytuxj dtevuF vuGvuH 0 )()(2 00),( ),(),(根据题意： x0(t)=at2/2,y0(t)=0 带入上式： T atuj dtevuF vuGvuH 0 22 2),( ),(),( 利用 matlab-mupad求解，得到结果为 4、已知一个退化系统的退化函数 H(u,v), 以及噪声的均值与方差，请描述如何利用约束最小二乘方算法计算出原图像的估计。 原始图像在频域的估计为： ),(|),(|),(| ),(),( 22 * vuGvuPvuH vuHvuF 。其中， P(u,v)是函数 p(x,y)的傅里叶变换 010141010
12、),( yxp 参数向量 fHgr 由于 ),( vuF 是 的函数，所以 f ， r也是 的函数，即： 2|)( rrr T 这是 的单调递增函数，这里要做的事调整 以实现 ar 22 | ，其中 a是一个精确的参数。 在这里设：噪声的均值、方差分别为： m， 2 步骤如下： 1指定初始的 的值 2计算 2|r 3 ar 22 | 如果成立，则停止，如果 ar 22 | 就增加 ，如果大于，就减小 ，返回第二部 4使用 新值，重新计算最 佳估计值 ),( vuF 3. 请列举出课堂讲授的各种颜色空间，并指出每个通道的含义。 RGB Red红色 Green绿色 Blue蓝色 YCbCr Y为颜
13、色的亮度成分、而 CB和 CR则为蓝色和红色的浓度偏移量成份 HSV Hue色调 Saturation饱和度 V表示色彩的明亮程度 V为 RGB中 max CMY Cyan青色 Magenta洋红 Yellow黄色 CMYK Cyan青色 Magenta洋红 Yellow黄色 K打印黑色 HIS Hue色调 Saturation饱和度 Intensity亮度 I为 RGB的 Average 1、 r,g,b是 RGB彩色空间沿 R,G,B轴的单位向量，定义向量 u = + + 和 v = + + ，, , 定义为这些向量的点乘： = uu = uu = |2+|2+|2 = v v = vv
14、= |2+|2+|2 = uv = uv = + + 推导出最大变换率方向 和 (x,y)点在 方向上变化率的值 F() 利用数学知识，可知，函数在某点处的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即梯度是在坐标 P(x,y)处指向 f最大变化率方向的向量。 设函数 f=f(x,y) 同时注意到 bxBgxGrxRuxf ， byBgyGryRvyf 需要注意到我们所求的最大变化率是指 RGB三个空间中的在彩色图像坐标上值的和的最大变化率方向。 根据梯度定义可以：函数 f在 P(x,y)点处的梯度（假设沿着方向 l ）为 Grad PfPflf yx
15、yxP c o s)(c o s)(),( ，在 x-y平面内， 2 所以： )2c o s ()(c o s)(),( PfPflf yxyxP = PfPf yx s in)(c o s)( = vu sincos 求梯度方向，可以转化为求满足 | vu sincos |2的最大的 2|sincos| vu = vuvu 2222 s ins inc o s2c o s = 2 2c o s12s i n2 2c o s1 gggyyxyxx = gggggxyyyxxyyxx 2s i n)(2 2c o s)(21 对上式求的 偏导数，并令偏导数为 0 可得： 02c o s)(2s
16、in ggg xyyyxx =yyxxxygg g 2tan21 1 对应的 212s i n22c o s)()(21)( gggggF xyyyxxyyxx2、 请根据课本中 Z变换的定义，证明如下结论。 (1) 若 ()的 Z变换 为 ()，则 ()() 的 Z变换 为 () (2) 若 ()的 Z变换 为 ()， () 的 Z变换 为 () (3) 若 ()的 Z变换 为 ()，课本 280页公式 7.1.2 （ 1） Z变换的定义为： nznxzX )()( 那么 )()1( nxn 的 z变换 nn znx )()1( = nn znx )1)( = nznx )( ，既 z变换为
17、 X(-z) （ 2） )(nx 的 z变换为 nznx )( =mzmx )( = mzmx )( 1 = nznx )( 1 既 z变换为 )( 1zX （ 3） nznx )2( = 2)( mzmx 此时 m为偶数 取 )()1(1(21)( mxmx m 所以当 m为偶数时， 2)( mzmx = mmm zmx 2)()1(1(21= mmmmm zmxzmx 22 )()1(21)(21= mmmm zmxzmx )(21)(21 212 = )()(21 2121 zXzX 3、若 G1(z) = z2K+1G0(z1)成立，请证明 g1(n) = (1)ng0(2K1n) 已
18、知一下 z变换： )()( 1 zXnx ， )()( zXzknx k ， )()(1( zXnxn )()( 11 zGng 我们从 )()( 00 zGng 出发 )()12( 0120 zGznKg K )()12( 10)12(0 zGznKg K )()()12()1( 10)12(0 zGznKg Kn )()()12()1( 10120 zGznKg Kn = )(1zG 所以： )()12()1( 10 ngnKgn 4. 假设课本中给出完美重建滤波器的正交族对应的三个滤波器间的关系式是正确的，并以此为基础，推导 01,hh的关系。 根据输入的无失真重建，经过整理和变换可以求
19、得： )( )(|)(| 2)( )(0110 zH zHzHZG zGm对于 FIR滤波器，调制矩阵的行列式是一个纯延时，既 |Hm(z)|= )12( kaz ,因此，交叉调制的准确形式是 a的函数，)12( kz 可以被认为是任意的，因为他只会改变滤波器的群延时。当 a取 2或 -2是进行下述讨论 a=2： )()1()( 10 nhng n ， )()1()( 011 nhng n ， )12()1()( 01 nKgng n 所以： )()1()( 011 nhng n = )12()1( 0 nKgn = )()1(1( 112 nhnKn )12()1()( 120 nKhnh nK = )12()1( 1 nKhn a=-2： )()1()( 110 nhng n ， )()1()( 01 nhng n ， )12()1()( 01 nKgng n 所以： )()1()( 01 nhng n = )12()1 0 nKgn = )()1()1( 12 nhnKn )12()1()( 120 nKhnh nK = )12()1( 1 nKhn 所以 )(0nh = )12()1( 1 nKhn
