1、河北武邑中学 2018 届高三下学期第五次模拟考试数学试题（理)第卷 选择题 （共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 将正确答案填涂在答題卡上.1.已知全集 ， ，则 ( )3|128UxZx,45,6nACBABA B C D5,6,422342.欧拉公式 ( 为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域cosinixex扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 表示的复数的模为( )3ieA B C.1 D12323.执行如图所示的程序框图，
2、输出的 值为-4 时，则输入的 的值为 ( )S0SA. 7 B. 8 C. 9 D. 104. 是表示空气质量的指数， 指数值越小，表明空气质置越好，当 以指数值不AQIAQI AQI大于 100 时称空气质量为“优良”.如图是某地 4 月 1 日到 12 日 指数值的统计数据，I图中点 表示 4 月 1 日的 指数值为 201.则下列叙述不正确的是 ( )IA.这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B.这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日C.这 12 天的 指数值的中检数是 90 D.从 4 日到 9 日，空气质置越来越好AQI5.非零向量 满足： ， ，则 与 夹角的大小
3、为 ( ),ab|a()0babA. B. C. D. 135 12064562018 年武邑中学髙三第四次模拟考试结束后，对全校的数学成绩进行统计，发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布 的密度曲线非常拟合.据此统计：在全校随机2(95,8)N抽取的 4 名高三同学中，恰有 2 名同学的数学成绩超过 95 分的概率是 ( )A B C. D16113387.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于 的个数是 ( )6A1 B2 C. 3 D48.己知 为等差数列， 为其前 项和，若 ， ( )nanS572a13SA49 B91 C. 98 D1829.球 与棱长为 2
4、 的正方体 的各个面都相切，点 为棱 的中点，则O1ACDM1平面 截球 所得截面的面积为 ( )CMA B C. D4323310.函数 在 内的值域为 ，则 的取值范围是 ( )()cos)(06fx,1,A B C. D5,2353,25,65,6311.己知双曲线 的离心率 ，对称中心为 ，右焦点为2:1(0,)xyCab23eO，点 是双曲线 的一条渐近线上位于第一象限内的点， ， 的F AFAF面积为 ，则双曲线 的方程为 ( )3A B C. D216xy213xy2193xy214xy12.设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是 ( )0me2n0mxeA B
5、C. D e3e第卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应的位置.13. 若函数 的值域为 ，则 的取值范围是 4,2()1xafogRa14. 已知向量 ，且变量 满足 ，则 的最大值(,3)(,)bxy,xy03xZab为 15. 己知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 ，2:(0)Cxpy,FO(4,)(1,)2pMN射线 分别交抛物线 于异于点 的点 ，若 三点共线，则 的值为 ,MONAB,16. 设 是函数 的导数，若 是 的导数，若方程方 有实()fx()yfx()fxf ()0fx数解 ，则称.0点 为函数
6、 的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，(,)xf()yfx且拐点就是对称中心.设 ，数列 的通项公式为 ，3218()fxxna107na则 2017()ifa三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，在 中，点 在 边上， ， .ABCP60,2PAC 4APC(I)求 ；ACP()若 的面积是 ，求 .B32sinBAP18. 质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取 100 桶检测 某項质量指标，由检测结果得到如图的頻率分布直方图：(I)写出頻率分布直方图(甲）中 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶
7、样本的貭量指标的方差a分别为 ，试比较 的大小（只要求写出答案） ；21,S21,S()佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取 1 桶，恰有一个桶的质量指标大于 20，且另个桶的质量指标不大于 20 的概率；()由頻率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 服从正态分布 .其中Z2(,)N近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，设 表示从乙种食用油中随机抽取 10 桶，x22SX其质量指标值位于（14.55， 38.45)的桶数，求 的数学期望.注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 ：214.75.9若 ，则 ，2(,)ZN()0.68PZ.(2)0954PZ19.如图，在四棱锥 中，
8、底面 为菱形， 平面 ，PABCDABPABCD， 分别是 的中点.,6AB,EF,P(1)证明： ；AEPD(2)设 为线段 上的动点，若线段 长的最小值为 ，HEH5求二面角 的余弦值.FC20.在平面直角坐标系 中， 是 轴上的动点，且 ， 过点xOy,MNx22|8OMN分别作斜率为 ， 的两条直线交于点 ，设点 的轨迹为曲线 .,MN32PE(I)求曲线 的方程；E()过点 的两条直线分别交曲线 于点 和 ，且 ，求证直线 的(1,)QE,AC,BDAC AB斜率为定值.21.设函数 .2()1nfxx2()(1)aax(I)讨论 的单调性；()当 时，讨论 的零点个数.2a()fx
9、请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.选修 4-4;坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 ( 为参数， )，以坐标原点为极点， lcos1inxtyt2轴正半轴为极轴建立级坐标系，圆 的级坐标方程为 .xCcos(I)讨论直线 与圆 的公共点个数；lC()过极点作直线 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹与圆 相交所得弦长.PC23.选修 4-5:不等式选讲已知 .()|,fxaR(I)当 时，求不等式 的解集；1()|25|6fx()若函数 的值域为 ，且 ，求 的取值范国 .()|3|gxA1,2a
10、高三数学五模答案一、选择题1-5: DCDCA 6-10: DCBDD 11、12：CD二、填空题13. 14. 15. 2 16.403432a152三、解答题17.(I)在 中，因为 ， ，APC60,APC 4A由余弦定理得 ，22cos所以 ，2(4)(4)60整理得 ，0AP解得 .所以 .2C所以 是等边三角形. 所以 .60PA()由于 是 的外角，所以 .APBC120APB因为 的面积是 ，所以 .321sin3所以 .中， APB22APBcosAPB，23cos109所以 .9中，由正弦定理得 ，APBsinsiABP所以 .sin31205738918.【解答】解:(1
11、) ；21.,aS()设事件 ：在甲种食用油中随机抽取 1 捅，其质量指标不大于 20，A事件 ：在乙种食用油中随机抽取 1 捅，其质量指标不大于 20，B事件 ：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一个桶的质量指标大于 20，且另一个不C大于 20，则 ，()0.210.3PA，B；()()C().42PAB（）计算得: ，由条件得26.5x(6.5,17)ZN从而 ，(.19P1.9)08从乙种食用油中随机抽取 10 桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是 0.6826，依题意得 ， .(0,.682)XB.62EX19.(1) 底面 为菱形， ， ， .ACD0AB
12、CEBCADE又 面 ， ， 面 . .PPPD(2)如图， 为 上任意一点，连接 .HPD,AHE当线段 长的最小时， .由(I)知 .EHEPDAEP平面 平面 ，故PD,AH在 中， ，Rt3,52在 中， ， .tPAD,4PA2由(1)知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的的空间直角,E坐标系，又 分别为 的中点.F,BC可得 ， .(0,)(3,10)A(3,)(0,2)D， .,2,PE,2所以 ， .(3,0)A31(,)AF设平葡 的一法向量为 ，E1,nxyz则 因此 ，0nAF113=0+2xyz取 ，则 ，1z(,)因为 ， ，BDCPAC所以 平面 ，F故 为平
13、面 的一法向量.又 ， (3,0)BD所以 .cos,|mBDn2315易得二面角 为锐角，故所求二面角的余弦值为 .EAFC520.解(1)设 ，直线 ，令 ，得(,)Pmn3:()2Mynxm0y23(,0)Mmn直线 ，令 ，得 .3:()2Nyx03(,)Nn.22()OMmn 23()nm228143n曲线 的方程是 ；E2143xy() ，设 ， ，ABCD ,QCBD(0),(),()ABxy，(,)(,)xy则 ，11,)ACxy即 ， ，同理 ， xAC1BDxx1BDyy将 ，代入椭圆方程得 ，(,)(,)AByx2431AByx化简得 3()AB()()Ayy把代入的，得
14、 (2)3CDx()()CDxx4(2)4CDy将yy，代入椭圆方程，同理得(,)(,)CDx代入上式得 .3x4()()CDyy3()4()CDCDxy即 ，34CDyx直线 的斜率为定值 .AB21.解:(I) .()21)fx(n)0xa当 时， ，当 时， ，0a 1x()0fx当 时， ，当 时， . 在 递增1x()fx()f,当 时，令 ，得 ，此时 .012,axea易知 在 递增， 递减， 递增()fx,)ae()ae(,)当 时， .易知 在 递增， 递减， 递增0fx1ae(,)ae()当 时，由(I)知 在 上递增， 上递减， 上递增，2a()0,1(,)且 ，将 代入
15、 ，1()(fa32axefx得 )xe22)()x()21()a，2,(0aaf下面证明 当 时存在 ，使 .,1)x0x0()f首先，由不等式 ， ， .n1nx11n,nxx考虑到 ，2(2)x()1fx2(1)aax22()()xa.21a3()再令 ，可解出一个根为 ，2()0x312xa， ，就取 .3,01aa32a00,(,1)x则有 .由零点存在定理及函数 在 上的单调性，可知 在 上有唯0()fx()fx,1f,一的一个零点.由 ，及 的单调性，可知 在 上有唯一零点.(1)0,()affe()fx()fx1,)ae下面证明在 上，存在 ，使 ，就取 ，则 ，,x110f1
16、2axe，211()(fa2()()xax1a由不等式 ，则 ，即 .xee(f根据零点存在定理及函数单调性知 在 有一个零点.()fx,)ae综上可知， 当 时，共有 3 个零点.()fx2a22.解:(I)直线 是过定点 ，倾斜角在 内的一条直线， l(0,1)A,)2圆 的方程为 ， 当 时，直线 与圆 有 1 个公共点；C2()xylC当 时，直线 与圆 有 2 个公共点.2lC()依题意，点 在以 为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为 .POAsin(0)2联立 ，得 .cosin(0)25点 的轨迹与圆 相交所得弦长是 .PC523.解:(I)当 时，不等式即为 .1a|1|2|6x当 时，不等式可化为 ， ；x()0x当 时，不等式可化为 ， ；512(5x当 时，不等式可化为 ， .x(1)2)64x综上所述:原不等式的解集为 或 ，|0x() ，|3|xa(3)|a.()|f|x|,|a函数 的值域 ，gx|,|A， ，1,2A|3|12a解得 或 ， 的取值范围是 . a5(,5,)
