1、高三年级全真模拟考试数学试题一、填空题:本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1.已知集合 ， ，则 .1,24A1,02BAB2.命题:若 ，则 .其否命题是 .a3.已知直线 过点 ，且与直线 垂直，则直线 的方程为 .l(,)P35xyl4.一只口袋内装有大小相同的 4只球，其中 2只黑球，2 只白球，从中一次随机摸出 2只球，恰有 1只黑球的概率是 .5.根据如下图所示的伪代码，当输入 的值为 3时，输出的 值为 .aS6.有 100件产品编号从 00到 99，用系统抽样方法从中抽取 5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第 5
2、组抽取的产品编号为 91，则第 2组抽取的产品编号为 .7.已知 的三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为 .ABC28.已知函数 若 ，则实数 .1,0(),xf()faa9.已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 .10.在平面直角坐标系中，若不等式组 ( 为常数)所表示的平面区域的面积等10xyaa于 2，则 .a11.如果双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为 .2:1xyCab21yx12在 中， ，且 ， 为 所在平面内的一点，则AB5,4ABACPABC()P的最小值是 .13.若函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围是
3、.2()fxmcos()xR0xm14.已知数列 的首项 ， .若对 ，且 ，不等式na1a12n*nN2恒成立，则实数 的取值范围是 .1()2()n二、解答题:本大题共 6小题，共计 90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四棱柱 为长方体，点 是 中点， 是 的中点.1ABCDPCDQ1AB(I)求证: 平面 ；AQ 1PBC(l)若 ，求证:平面 平面 .1BA1PBC16.在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作角 ，角 的终边经过点 .xOyox4(2,1)P(I)求 的值；cos()求 的值.5(2)617.在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 2， 分别为其xOy
4、2:1(0)xyCab12F、左右焦点，过 的直线与椭圆交于 两点，直线 的斜率为-1.2FAB、 A(I)若直线 与椭圆的右准线交于点 且 ，求椭圆的标准方程；ABC124F()若 ，求 的取值范围.22Oa18.某市公园内的人工湖上有一个以点 为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径 ，在 的AB另一侧建有控制台 ， 和 之间均有小径连接(小径均为直路)，且 ，喷AOB34O泉中心 点距离 点 60米，且 连线恰与 平行，在小径 上有一拍照点 ，现测得CCAQ米， 米，且 .402OB20Q(I)请计算小径 的长度；AB()现打算改建控制台 的位置，其离喷泉尽可能近，在点 的位置及 大小OABC、
5、 、 AOB均不变的前提下，请计算 距离的最小值；C()一人从小径一端 处向 处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启 分钟后的水幕t是一个以 为圆心，半径 米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是 米10rat 105v/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数 的最小值.a19.已知正项数列 的前 项和为 ，其中 .nanS*()NnS(I)若 ，求数列 的通项公式；12,6(I)若 ，求证: 是等差数列.3n20.已知函数 ， .231()fxax1()n()gaxR(I)若 ，求函数 的单调区间；0ahf()若 存在极小值点 ，且 ，其中 ，求证: ；()fx0x10()fx
6、10x102x()试问过点 可作多少条直线与 的图像相切?并说明理由.,2Pg数学(附加题)21.【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，请选定其中两题，井在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-1：几何证明选讲如图，过点 的圆与 切于点 ，且与 分别交于点 .ABCDABC、 EF、已知 为 的平分.D求证: EFB.选修 4-2：矩阵与变换直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转 的变换 所对应的矩阵为 ，每个点45RM横、纵坐标分别变为原来的 倍的变换 所对应的矩阵为 .2TN(I)求矩阵 的逆矩阵 ；M1()
7、求曲线 先在变换 作用下，然后在变换 作用下得到的曲线方程.xyRC.选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线Ox的极坐C标方程为 ，直线 的参数方程为 ( 为参数).4cosl1cos63inxtyt(I)求曲线 的直角坐标方程;C(I)若点 在曲线 上，且 到直线 的距离为 1，求满足这样条件的点 的个数.PCPl PD.选修 4-5:不等式选讲已知 ，且 .0ab1()mab(I)试利用基本不等式求 的最小值 ；t()若实数 满足 ，求证： .,xyz224yz|2|3xyz必做题第 22、23 题，每小题 10分，计
8、 20分.请把笞案写在答题纸的指定区域内.22.如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 面 ，且 ，PABCDPABCD2PA点 分别在,MN， ， .PDC12M(I)求证： 面 ；PCAMN()求二面角 的余弦值.B23.袋中共有 8个乒乓球，其中有 5个白球，3 个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程 次后，袋中红球的个数记为 .nnX(I)求随机变量 的概率分布及数学期望 ；2X2()EX()求随机变量 的数学期望 关于 的表达式.n()n试卷答案数学一、填空题1. 2.若
9、 ，则 .1,22a243. 4. 30xy35. 9 6. 31 7. 8. 或 -12429. 10. 3611. 12. 565813. 14. 1,)21a二、解答题15.解：(1)取 中点为 ，连接 ， .ABRP1BR由已知点 是 中点， 是 的中点可以证得，PCDQ1A四边形 ， 都为平行四边形，11所以 ，所以 .,ABR 1PC因为 平面 ， 平面 ，Q1PCB所以 平面 .()因为四棱柱 为长方体， ，所以 .1ABD1C11BC因为 平面 ，所以 .1C1B因为 ， 平面 ， 平面 ，1A11A所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .1BA1PCBC1P16. 解:(1
10、)由于角 其终边经过点 ，4(2,)故 ， .25cos()45sin()4.()co()sin10()si4(2) .sini()4sin()co43()in则 ，i2ico23s524in5.5cos()s6632in61017. 解:(1) ， ，2(,1)Ca2(1()4a所以 ，椭圆的标准方程为 .24243xy(2)设 ， ， :(1)lykx1(,)A2(,)B22|OABcos22|0OAB为钝角 120OABxy联立直线与椭圆方程 ，其中 整理可得:22(1)xbab22(1)xab1c22()abx()0， .122a21xab12()y122()1x代入1212xx222
11、1abc，12xy24210a4210a解得： 舍去）.22(18.解:(I)以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 且垂直于 的直线为 轴，建立OAxOAy如图所示的平面直角坐标系，由 千米， ，可知 ，直线402B34B(0,4)的方程为 ， .所以直线 的方程为 ，令 ，得Byx(0,2)Q12yxy，所以， 千米；(40,)A5A() 三点共圆，可求圆的方程为 ， ，则OAB、 、 22(0)(6)40xy(2,40)C距C离最小值为 (此时点 为直线 与点 及坐标原点之间劣弧的交点)；201OA()因为 在 的正西方向，且 千米，所以 .人从 行驶到 所需要的B60CB(20,4CB时
12、间为 (分钟)，假设在 时刻人所在的位置为 ，则 千4510(4)tM105At米，所以，则 .(24,)Mtt22(0)CMt2(10)t2(56)t又在 时， ，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在01ra，使得(,)t，即 成立，所以存在 ，使得2rC20(560)tt(0,4)t成立，45()16at当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号.(0,4)t45()1652t416t4t2t所以 ，即实数 的最小值为 4.aa19.解:(1)根据题意，有 ，解得 ，2=+62=4故 ，当 时有 ，21=8nSa()*,nN2118nnSa()两式相减得 ，11()na4()又 恒成立，则
13、 ，0nn所以数列 是等差数列，故 ，a2n(2)根据题意，有 ，12213()13()a因为 ，所以可设 ，132a21aad(2)-(1)得 (4)，12()(3)-(2)得 (5)33(5)-(4)得 ，当 时 故舍，则有 ，2d0d2a21d代入(4)式得 ，41代入(1)式得 ，2a所以 ，2nnS218ndad当 时有 .*,N111S两式相减得 ，整理得 .2()nnad()n11()()0nnaad又 恒成立，则 ，所以 是等差数列.0n1ada20. 解:(1) ， 21()()hxx所以 的单调减区间为 单调增区间为 ；()hx1(0,)a1(,)a(2) ， 存在极小值点
14、 ，则 .2fafx0x20x，则 ，10()fxf232310a所以 代入 所以2101(ax20)x201x2101()x，20)x则 ，又 ，所以 ；110()x10x102x(3) 时，有 1条切线； 时，有 2条切线.aa设切点坐标是 ，依题意：0(,)xf002()faxx即 ，化简得：00011n2a0021n设 ，()Fxxa故函数 在 上零点个数，即是曲线切线的条数.(,)22()xx当 时， ，在 上恰有一个零点 1；0a()F(0,)当 时， 在 上恒成立，2ax在 上单调递减，且 ，()x,)(1)a2()0Fe故 在 上有且只有一个零点，F1e当 时， 在 上恰有个零
15、点；0a()x0,) 时， 在 上递减，在 上递增，2a2(,)a故 在 至多有两个零点，且()Fx,)10Fa又函数 在 单调递增，且值域是 ，1ny( (0,)故对任意实数 ，必存在 ，使 ，此时a0(1,)x02nax002()1nFx002)由于 ，a函数 在 上必有一零点；()x01,()2aaFee1()2a12(3)ae先证明当 时， ，即证012()an()若 ， ，而 ，由于(,2)a3n142163若 ，构建函数，1()x2n()x2(1x32()x2()0x在 为增函数， )3an40综上 时， ，所以0a12()ae，故122()e3(5)a23a1()0aFe又 ，
16、，所以在 必有一零点.)F1ae1,e当 时， 在 上有两个零点0()x0,)综上： 时，有 1条切线； 时，有 2条切线.aa数学(附加题)21. 【选做题】A. 选修 4-1:几何证明选讲证明:如图，连接 .ED因为圆与 切于 ，所以 .BCDBEAD因为 平分 .所以 .AC又 ，所以 .EFF所以 .B.选修 4-2:矩阵与变换解：（） ， ， .2 M|11|M2 2 （） ， ，2 0N2 1 N代入 中得： .xy2xy1x24yx故所求的曲线方程为: .24yC.选修 4-4:坐标系与参数方程解:(I)由 得 ，故曲线 的直角坐标方程为： ，4cos2cosC24xy即 ；2(
17、)xy()由直线 的参数方程消去参数 得 ，即 .lt3(1)yx340y因为圆心 到直线 的距离为 ， 恰为圆 半径的 ，(2,0)Cl|204|ddC12所以满足这样条件的点 的个数为 3个.PD.选修 45:不等式选讲解:(I)由三个数的均值不等式得：()mab13()b1()3()ab(当且仅当 即 时取“=”号)，故有 .,2t（） ，由柯西不等式得：3xyz22()222(1)()xyz（当且仅当 即 时取“=”号）z63,5整理得： ，即 .2()9xy|2|xyz22. 解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系.又 ，2PAD， ，(0,2)P(,0)D(2,)B， . ， .,
18、1M,C,P(0,1)AM， .02AC设 ，求得 .(,)Nxyz1N24(,)3， .483PCAP又 且 ， 面 .AMCMN()设平面 的法向量为 ，BN(,)nxyz，0nA(,21是平面 的法向量， ， .(2,)PCAMNcosn15=|PC二面角 的余弦值为 .BANM1523. 解:(1)由题意可知 .23,4X当 时，即二次摸球均摸到红球，其概率是 ；23X 213289()64CPX当 时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率 ；24 2()113548836C当 时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是 .25X 15428()6PXC所以随机变量 的概率分布如下表：2(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望 .29()346EX526714()设 ， .nPkp0,3,则 ， .0123p45012()5nEXp345678p， ， ，0()8nX104(8n12()nP，1236Pp， .47()n 1458()nPXp所以， .+1EX00135=4()88pp125()6823()78p342()8p5()01229633457p0127(3458p3450678)pp12345p.)nEX由此可知， .+1(8()nEX又 ，所以 . 135) 13578()n
