1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征【选题明细表】 知识点、方法 题号众数、中位数、平均数的理解与计算 2,3,7,8应用频率分布直方图求众数、中位数、平均数 5,12方差(标准差)的理解与计算 1,3,4,6,10综合应用 9,111.(2017全国卷)为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位:kg)分别为 x1,x2,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( B )(A)x1,x2,xn的平均数(B)x1,x2,xn的标准差(C)x1,x2,xn的最大值(D)x1,x2,xn的中位数解析:标准差衡量样本的稳定程度,故选
2、 B.2.(2017湖北荆州中学月考)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的平均数为 17,乙组数据的中位数为 17,则 x,y 的值分别为( D )(A) 2,6 (B) 2,7 (C) 3,6 (D) 3,7解析:由题可知 =17,所以 x=3,由乙组数据的中位数为 17 可得 y=7,选 D.3.(2017四川三台中学月考)为了了解某同学的数学学习情况,对他的 6 次数学测试成绩进行统计,作出的茎叶图如图所示,则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( C )(A)中位数为 83 (B)众数为 85(C)平均数为 85 (D)方差为 1
3、9解析:由茎叶图可知,该同学的 6 次数学测试成绩分别是78,83,83,85,91,90,由这些数据可求得该同学数学成绩的众数为 83,中位数为 84,平均数为 = =85,方差为 s2= (78-85)2+(83-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(91-85)2+(90-85)219.7,故选C.4.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为( B )分数 5 4 3 2 1人数 20 10 30 30 10(A) (B) (C)3 (D)解析:因为 = =3.所以 s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2=(2022+
4、1012+3012+1022)= = ,所以 s= .故选 B.5.(2018山东临沂期中)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是( C )(A)31.6 岁 (B)32.6 岁 (C)33.6 岁 (D)36.6 岁解析:根据所给的信息可知,在区间25,30)上的数据的频率为 1-(0.01+0.07+0.06+0.02)5=0.2.故中位数在第 3 组,且中位数的估计为 30+(35-30) =
5、33.6(岁).6.样本 a,3,5,7 的平均数是 b,且 a,b 是方程 x2-5x+4=0 的两根,则这个样本的方差是 . 解析:x 2-5x+4=0 的两根是 1,4.当 a=1 时,a,3,5,7 的平均数是 4;当 a=4 时,a,3,5,7 的平均数不是 1.所以 a=1,b=4.则方差 s2= (1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2=5.答案:57.(2018河南商丘二模)世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,
6、相关部门随机抽取了某市的 1 000 名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:组别 0,20) 20,40) 40,60) 60,80) 80,100频数 2 250 450 290 8则所得样本的中位数是 (精确到百元). 解析:设样本的中位数为 x,则 + + =0.5,解得 x51,所得样本中位数为 51(百元).答案:518.(2017山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为( A )(A)3,5 (B) 5,5 (C) 3,7 (D) 5,7解析:甲组数据
7、的中位数为 65,由甲、乙两组数据的中位数相等得y=5,又甲、乙两组数据的平均值相等,所以 (56+65+62+74+70+x)= (59+61+67+65+78),所以 x=3.故选 A.9.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a,b 的值分别为( A )(A)0.27,78 (B)0.27,83(C)2.7,78 (D)2.7,83解析:由题意,4.5 到 4.6 之
8、间的频率为 0.09,4.6 到 4.7 之间的频率为 0.27,后 6 组的频数成等差数列,设公差为 d,则 60.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,所以 d=-0.05.所以 b=(0.274+6d)100=78,a=0.27.故选 A.10.(2017广东珠海月考)在一次区域统考中,为了了解各学科的成绩情况,从所有考生成绩中随机抽出 20 位考生的成绩进行统计分析,其中数学学科的频率分布直方图如图所示,据此估计,在本次考试中数学成绩的方差为 . 解析:根据频率分布直方图,得该组数据的平均数是=550.01010+650.02010+750.03510+850.03010+9
9、50.00510=75;方差是 s2=(55-75)20.1+(65-75)20.2+(75-75)20.35+(85-75)2 0.3+(95-75)20.05=110.答案:11011.(2018贵州贵阳高一检测)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取 6 株麦苗测量麦苗的株高,数据如下(单位:cm):甲:9,10,11,12,10,20乙:8,14,13,10,12,21(1)绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.解:(1)茎叶图如图所示.(2)
10、= =12,= =13,= (9-12)2+(10-12)2+(11-12)2+(12-12)2+(10-12)2+(20-12)213.67,= (8-13)2+(14-13)2+(13-13)2+(10-13)2+(12-13)2+(21-13)216.67.因为 ,所以乙种麦苗平均株高较高,又因为 ,所以甲种麦苗长的较为整齐.12.(2018四川内江期中)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125频数 6 26 38 22 8(1)作出这些数
11、据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定?解:(1)频率分布直方图如图所示.(2)质量指标值的样本平均数为=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(80-100)20.06+(90-100)20.26+(100-100)20.38+(110-100)20.22+(120-100)20.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品80%”的规定.
