1、凉山州 2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得： ，故选：C2. 若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选：D3. 已知命题 ： ， ，则 为（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】命题 ： ， ，故选：C4. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选：A5. 某校在教师交流活动中，决定派 名语文教师， 名数学教师到
2、甲乙两个学校交流，规定每个学校派去 名老师且必须含有语文老师和数学老师，则不同的安排方案有（ ）种A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 2名语文教师为 A，B，第一步，先分组，与 A同组的 2名数学老师公有 种，另两名数学老师与 B同组有 种方法，第二步，再安排到两个学校交流，有 种方法，由分步计数原理可得，共有 =12种，故答案为：126. 展开式中 项的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 （ 展开式为 Tr+1= ，令 r=1得，T 2=5x，令 r=0，则 T1=1， 展开式中一次项系数为 5，常数项系数为 1，欲求 的展开式中，含 x项的系数利用（1+x）
3、5展开式的一次项与 1x 的常数项相乘，常数项与 1x 的一次项相乘，即51+1（1）=4，即 的展开式中，含 x项的系数为 4故选：A7. 设函数 （ ）的图像是曲线 ，则下列说法中正确的是（ ）A. 点 是曲线 的一个对称中心B. 直线 是曲线 的一条对称轴C. 曲线 的图像可以由 的图像向左平移 个单位得到D. 曲线 的图像可以由 的图像向左平移 个单位得到【答案】D【解析】对于 A， ，错误；对于 B， ，错误；对于 C， 的图像向左平移 个单位得到 ，错误；对于 D， 的图像向左平移 个单位得到 ，正确。故选：D8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出 的值是（ ）A. B. C.
4、 D. 【答案】D【解析】执行程序， ,符合判断，返回，符合判断，返回，符合判断，返回，符合判断，返回，符合判断，返回，符合判断，返回，符合判断，返回，符合判断，返回，不符合判断，输出故选：D9. 若实数 ， 满足 ，且使 取到最小值的最优解有无穷多个，则实数 的取值是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】作出可行域，如图，当直线 平行直线 AB，或平行直线 BC时，满足题意， ，或 或故选：C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中
5、的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. 已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为 ） ，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥 ，该几何体的体积为故选：B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.11. ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 是双曲线的右顶
6、点，以 ，为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 、 两点，且 ，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，A（a，0） ，由已知条件知圆的方程为：x 2+y2=c2；由 得：M（a，b） ，N（a，b） ； ， ；又MAN=150； ；12a 2=b2；12a 2=（c 2a 2） ；13a 2=c2； ；即双曲线的离心率为 故选：B12. 设函数 ，若 的图像上有四个不同的点 、 、 、 同时满足： 、 、 、 、 （原点）五点共线；共线的这条直线斜率为 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题过 、 、 、 、 的直线 ，当 时，记
7、 ，则在 上单调递增， 单调递减，与 有两个交点 、 。故当 时与 在第二象限 有两个交点即可，联立可得 ，由得故选：A点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 在 中， ， ， 为角 ， ， 所对的边，
8、若 ， ，且，则 _【答案】【解析】 ， ，且 ， ，即由余弦定理可得：cos故答案为：14. 设 ，若 ，则 _【答案】【解析】 为奇函数，故答案为：15. 已知离散型随机变量 服从正态分布 ，且 ，则_【答案】【解析】随机变量 X服从正态分布 ，=2，得对称轴是 x=2 ，P（23）= =0.468，P（13）=0.468 = 故答案为： 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P( X )， P( 2 X 2 )， P( 3 X 3 )的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x轴之间面积为 1.16. 设函数 ， 是整数集.给出以下四个命题： ；是 上的偶函数；若 ，则 ； 是周
9、期函数，且最小正周期是 .请写出所有正确命题的序号_.【答案】【解析】函数 ， 是整数集. ,正确；由偶函数定义分 x为整数和非整数可知正确；取 而 ，不满足，故不正确；由周期性定义和图象可得最小正周期是 1,故正确.故答案为：三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列 的前 项和是 ，且 是等差数列，已知 ， .（1）求 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到 的通项公式；（2） ，利用裂项相消法求出数列 的前 项和 .试题解析：（1）记 ， ，
10、又 为等差数列，公差记为 ， ，得 ， ，得时， ， 时也满足.综上（2）由（1）得 ，点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为 ，求前 项和： ；（2）已知数列的通项公式为 ，求前 项和：；（3）已知数列的通项公式为 ，求前 项和:.18. 为了解男性家长和女性家长对高中学生成人礼仪式的接受程度，某中学团委以问卷形式调查了 位家长，得到如下统计表：（1）据此样本，能否有 的把握认为“接受程度”与家长性别有关？说明理由；（2）学校决定从男性家长中按分层抽样方法选出 人参加今年的高中学生成人礼仪式，并从中选 人交流发言，设 是发言人中持“赞成”态度的人数
11、，求 的分布列及数学期望.参考数据参考公式【答案】(1) 没有 的把握认为“接受程度”与家长性别有关(2) 【解析】试题分析：（1）计算卡方 ，根据表中数据作出判断（2）根据分层抽样所得 名男性家长中持“赞成”态度的有 人，持“无所谓”态度的有 人.所以 可以取值为 、 、 ，计算相应的概率值，得到分布列及期望.试题解析：（1）由题： ， ， ， ， ，所以，没有 的把握认为“接受程度”与家长性别有关.（2）根据分层抽样所得 名男性家长中持“赞成”态度的有 人，持“无所谓”态度的有 人.所以 可以取值为 、 、 ， ，分布列：期望点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取
12、值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np
13、)求得.19. 如图，四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 是平行四边， ， ， 是 中点，点 在线段 上.（1）证明： ；（2）试确定点 的位置，使直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1)利用题意证得 平面 ，然后利用线面垂直的定义得(2)建立空间直角坐标系， ,利用题意得到关于 的方程，求解方程即可求得.试题解析：（）证明：在平行四边形 中，连接 ，因为 ， ， ，由余弦定理得 ，得 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，又 ， ，所以 ， ，所以 平面 ，所以 （）侧面 底面 ， ，所以 底面 ，所以直线 两两互相垂直，以 为原点，直线 为坐
14、标轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，则，所以 ， ，设 ，则 ， ，所以 ，易得平面 的法向量 设平面 的法向量为 ，由 ， ，得 ，令 ，得 因为直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等，所以 ，即 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 点睛：利用已知的面面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键20. 设 点是椭圆 ： （ ）上一点， ， 是椭圆 的左、右焦点，且， ，且 .（1）求椭圆 的 方程；（2）若点 是椭圆 上一点， 是 关于原点 的对称点，过 的任意直线（但该直线不过原点 ）与椭圆 交于另一点 ，求 的面积的最大值
15、.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)利用椭圆定义得到 ，从而得到椭圆 的 方程；（2）点 到直线 ： 的距离为高，作与直线 平行且与椭圆相切的直线：，联立方程得到 ，由 ，解得 值，从而求得 的面积的最大值.试题解析：（1）由题 ， 中， ，椭圆方程为：（2）法一： ， ，点 到直线 ： 的距离为高，作与直线 平行且与椭圆相切的直线： ，联立椭圆 得， 得 ，法二：设椭圆山动点 到直线 ： 的距离为， ，21. 设函数 ，（1）若直线 是 （ ）图像的一条切线，且 在 上单调递增.求 的取值范围；（2）若 ，且 有两个极值点 ， .求证： ；（3）若 ，且对任意 ， 恒成立，求
16、的取值范围.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）由直线 与 的图象相切得到 ，即 在 恒成立 ， （2）由 有两个极值点 ， 可得：，即 ， ， ， ，代入 ，即可证明不等式；（3） ，原问题等价于 恒成立，转求最值即可.试题解析：得 ， 或 （舍）其中（ ） 在 恒成立，分子中， ， ，（2） ， 得 ， ， （ ）有两根 ， ，即：，得又 ， ，（3）由题： ， ， （ ）恒成立，即 恒成立，记令， 在 单调递减， ， 在 单调递减， ，而 恒成立，得 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在
17、直角坐标系中，曲线 的参数方程是 （ 为参数）以原点为极点， 轴正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的单位长度，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .（1）求曲线 ， 的直角坐标方程；（2）若 、 分别是曲线 和 上的任意点，求 的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1) （1）根据 sin2+cos 2=1 消去曲线 C1的参数 可得普通方程；根据 cos=x，sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得曲线 C2的普通方程；(2) 设出点 P的坐标，求出曲线 C2的圆心，计算点 P到圆心的距离 d，即可得出|PQ|的最小值 dr试题解析：（1）曲线 中，由题 曲线 中， ， ， ，即：（2）设 上任意点 ， 到圆 圆心 距离 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .（1）解不等式 ；（2）对于 ，有 ， ，求证： .【答案】(1) (2) 见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）通过讨论 x的范围，解不等式，取并集即可；（2）根据绝对值的性质证明即可试题解析：（1） 时， ，得 （舍）时， ，得时， ，得综上：(2) ，(3) ，
