1、2.1.1 向量的概念课后篇巩固探究一、A 组 基础巩固1.给出下列命题:两个单位向量是相等向量;若非零向量 是平行向量,则 A,B,C,D 四点共线;向量 a 与 b与 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反.其中真命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3答案: A2.如图所示,在O 中,向量 是( ),A.有相同起点的向量B.有公共点的向量C.模相等的向量D.相等的向量答案: C3.若| |=| |且 ,则四边形 ABCD 的形状为 ( )=A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.等腰梯形解析: 因为 ,所以四边形 ABCD 是平行四边形.=又因为| |=| |,所以四边形 ABCD
2、 是菱形.答案: B4.下列结论中,不正确的是( )A.向量 共线与向量 意义相同与 B. ,则=C.| |=| |,则=D. ,则=解析: 根据选项要求,作出向量 ,利用数形结合,可知 C 不正确.与 答案: C5.下列说法错误的是( )A.向量 的长度与向量 的长度相等 B.零向量与任意非零向量平行C.长度相等方向相反的向量共线D.方向相反的向量可能相等解析: 向量相等指向量的大小相等 ,方向相同,故 D 错.答案: D6.在菱形 ABCD 中,DAB=60,则与向量 相等的向量为 . 解析: 所求向量与 方向相同,模相等.答案: 7.如图所示,ABC 和ABC是在各边的 处相交的两个全等
3、的等边三角形.设ABC 的边长为 a,图中列13出了长度均为 的若干个向量,在这些向量中:3(1)与向量 相等的向量有 ; (2)与向量 平行的向量有 . 答案: (1) (2), ,8.如图所示,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形,若| |=3,求 的模. 解: 在ABCD 和ABDE 中,因为 ,=,=所以 ,=所以 E,D,C 三点共线.所以| |=| |+| |=2| |=6. 9.如下图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法,如图中马可以从 A 跳到 A1,也可以跳到A2,用向量 表示马走了“一步”,试在图中画出 B,C 处走了“一步”的所有情况.1,2解:10
4、.如图,已知 ABCD 是任意四边形,边 AD,BC 的中点分别为 E,F,延长 AF 到 G,使 F 恰为 AG 的中点,连接 EF,BG,CG,DG,AC.(1)试找出与 相等的向量;(2)试找出与 相等的向量;(3)试找出与 共线的向量.解: (1)F 是 AG 和 BC 的中点,四边形 ABGC 是平行四边形 ,故 .=(2)由(1)知 .=(3)E 为 AD 的中点,F 为 AG 的中点,EF 为 ADG 的中位线,EFDG,与 共线的向量有 . ,二、B 组 能力提升1.对于以下命题:平行向量一定相等 ;不相等的向量一定不平行 ;共线向量一定相等;相等向量一定共线.其中真命题的个数
5、是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析: 两个向量共线(或平行)指两个非零向量的方向相同或相反,且规定零向量与任何向量共线,由此可知均错.答案: B2.如图,四边形 ABCD,CEFG,CGHD 都是全等的菱形,则下列关系中不一定成立的是 ( )A. 共线与 B.=C.| |=| |D. 共线与 答案: B3.如图所示,梯形 ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量 的关系是( )与 A.=B.| |=| |C.D.| |,且 同向,则, 与 C.若 ab,则 a 与 b 可能是共线向量D.若非零向量 平行,则 A,B,C,D 四点共线与 解析: 当|a|=| b|时,a,b 的长度相等 ,但
6、方向是不确定的,故 A 错误;由于向量不能比较大小,故 B 错误;共线向量只考虑方向,不考虑大小,故 C 正确; 若 ,A,B,C,D 不一定共线,故 D 错误.答案: C5.某人向正东方向行进 100 米,再向正南方向行进 100 米 ,则此人移动的方向是( )3A.南偏东 60B.南偏东 45C.南偏东 30D.南偏东 15解析: 如图所示,此人从点 A 出发,经由点 B 到达点 C,则 tanBAC= ,所以BAC= 60,即位移的方向是南1003100=3偏东 30.答案: C6.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量 是平行向量 ,与 是共线向量,则 m= . 解析: A
7、,B ,C 不共线, 不共线,又 m 与 都共线,m =0.与 ,答案: 07.圆 O 的周长是 2,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上的一点,BAC= ,CDAB 于点 D,这时| |= .6 解析: 如图,因为圆 O 的周长是 2,所以直径 AB=2.因为 C 是圆周上的一点,所以ACB 是直角三角形,ACB= .2再由BAC= ,得 BC= AB= 2=1.6 12 12所以 CD=BCsin =1 .3 32=32答案:328.如图所示,在ABCD 中,O 是两对角线 AC,BD 的交点,设点集 S=A,B,C,D,O,向量集合T= |M,NS,且 M,N 不重合 .试求集合 T 中
8、元素的个数.解: 由题可知,集合 T 中的元素实质上是 S 中任意两点连成的有向线段 ,共有 20 个,即 .,;,;,;,;,由平行四边形的性质可知,共有 8 对向量相等,即,又集合中元素具有互异=,=,=,=,=,=,=,=性,故集合 T 中的元素共有 12 个.9.导学号 73764035 甲、乙两人分别从 A 地出发,其中甲沿北偏东 60方向走了 3 km到 B 地,乙沿北偏西 30方向走了 4 km 到 C 地,如图所示 ,问 B,C 两地相距多远,B 地在 C 地的什么方向上?解: 由题图可知,| |=3,| |=4, CAB=90,则| |=5,又tanACB= ,|=34ACB=arctan .34故 B,C 两地间的距离为 5km,B 地在 C 地南偏东 +arctan . 6 34
