1、2018 年河南省普通高中毕业班高考适应性练习文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由一元二次不等式的解法可化简集合 ，又因为，所以 ，故选 C.2. 若复数 （ 是虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据复数除法的运算法则可得 ，所以可得其共轭复数 ，故选 B.3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”C. 命题“ 或 ”为真命题，则命
2、题“ ”和命题“ ”均为真命题D. 已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于选项 A,逆命题为“若 ”，当 m=0 时，不成立，所以是假命题；对于选项 B，特称命题的否定是正确的；对于选项 C，命题“ 或 ”为真命题，则命题“ ”和命题“ ”至少有一个是真命题，不是全都是真命题，所以是假命题；对于选项 D，“ ”是“ ”的必要不充分条件,所以是假命题.故选 B.4. 在一组样本数据 ， ， （ ， ， ， 不全相等）的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A. -3 B. 0 C. -1 D. 1【答案】C【解析】因为所有样本点 都在直
3、线 上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点 ，都在直线上，则有 相关系数 ，故选 C.5. 已知函数 在点 处的切线为 ，动点 在直线 上，则 的最小值是（ ）A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】由题得 所以切线方程为 即，故选 D.6. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）A. 14 B. 13 C. 12 D. 11【答案】B【解析】运行程序:n=1,s=1,s=1,n=3,1 s= n=5, s= n=7, ;s= ,n=9, ;s= ,n=11, ;s= ,n=13,sn=13.故选 B.7. 函数 的图象
4、与函数 的图象（ ）A. 有相同的对称轴但无相同的对称中心B. 有相同的对称中心但无相同的对称轴C. 既有相同的对称轴也有相同的对称中心D. 既无相同的对称中心也无相同的对称轴【答案】A【解析】试题分析：函数 的对称轴为函数 的对称轴为 ；当 时，二者有相同的对称轴 ；同理，由三角函数的性质可得函数 的对称中心为 ，函数的对称中心为 ，二者没有相同的对称中心考点：三角函数的对称轴，对称中心视频8. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小
5、的锐角 满足 ，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得 设直角三角形较短的直角边为 3a,较长的直角边为 4a,斜边为 5a，则小正方形的边长为 4a-3a=a,所以飞镖落在小正方形内的概率是，故选 A.9. 已知四棱锥 的三视图如图所示，则四棱锥 的五个面中面积的最大值是（ ）A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C【解析】因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为 ，后面是等腰三角形，腰为 ，所以后面的三角形的高为 ，可得后面三角形的面积为 ，两个侧面面积
6、为 ，前面三角形的面积为，底面矩形的面积是 ，四棱锥 的五个面中面积最大的是前面三角形的面积 ，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10. 设 ， 是双曲线 ： 的两个焦点， 是 上一点，若 ，且 的最小内角的大小为 ，则双曲
7、线 的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】假设点 P 在双曲线的右支上，由题得，所以最短边是 最小角为 .由余弦定理得，所以双曲线的渐近线方程为 ，故选 B.11. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，若数列 为递增数列，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在等差数列 中，由 ，得 ， ，其对称轴方程为 ，要使数列 在内为递增数列，则 ，即 ，故选 D.12. 定义域为 的函数 的图象的两个端点分别为 ， ， 是 图象上任意一点，其中 ，向量 .若不等式 恒成立，则称函数 在 上为“ 函数”.若函数 在 上为“ 函数” ，则实数 的取值范
8、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 恒成立，即 ，因为向量 ，所以 在 线段上，由函数可得 ， 直线 的方程为 ，由 是 图象上任意一点，其中 ，由向量 ，可得 .所以， ，且 ，即 的最大值为 ，故选 B.【方法点睛】本题考查平面向量基本定理的应用、基本不等式求最值以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照
9、章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“ 函数”达到考查平面向量基本定理的应用、基本不等式求最值的目.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最小值为_【答案】【解析】由约束条件 作可行域,如图， 由 ，得 ，平移 ，由图可知，当直线 过可行域内的点 时，直线 轴上的截距最大，即 最小，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形
10、后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 已知点 ， ，向量 ，则 _【答案】【解析】设 ， 点 ，向量 ，解得 ， ， ，故答案为 .15. 已知点 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上两点， ，则线段 的中点的横坐标为_【答案】2【解析】 抛物线 准线方程为 ，由 ，可得 ，即， 的中点的横坐标为 ，故答案为 .16. 设函数 的定义域为 ，若对于任意 ，当 时，恒有 ，则称点 为函数 图象的对称中心.研究函数 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 的值为_【答案】【解析】当 时， ， 的对称中心为， ，故答案为 .
11、三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ，已知 .（1）求角 ；（2）若 ， ，求角 .【答案】 （1） ；（2） 或【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，直接把 和余弦定理代入已知等式化简即得A 的值. (2)第（2）问，直接利用正弦定理先求出 或 ，再求 C 的值.试题解析：（1） ，由余弦定理，得 ，整理得 .又 ， .（2）在 中，由正弦定理，得 ，即 . ， ， 或 ， 或 .18. 如图，在四棱锥 中，底面
12、 是正方形， 底面 ， ， 分别是 ，的中点，且 .（1）求证： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取 中点 ，连接 ， ，因为 ， 是 ， 的中点，先证明平面 ， 平面 ，可得 平面 ，从而得 平面 ；（2）先证明平面 ，可得 是直角三角形，得到其面积 ，利用“等积变换” ，由 可得 ，从而可得结果.试题解析：（1）取 中点 ，连接 ， ，因为 ， 是 ， 的中点，在 与正方形 中， ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，所以 平面 .（2）解：设点 到平面 的距离为 ， ， . 平面 ， . ， 平面 ， ， .又 ， ，
13、， .19. 进入 12 月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了 220 名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的 列联表：赞同限行 不赞同限行 合计没有私家车 90 20 110有私家车 70 40 110合计 160 60 220（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关；（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽
14、取 6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 名进行电话回访，求 3 人中至少抽到 1 名“没有私家车”人员的概率.附： .0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由公式可得 的观测值 ，与临界值比较，即可得结论；（2）根据分层抽样方法可得从“没有私家车”中抽取 人，从“有私家车”中抽取 人，利用列举法可得，再从这 人中随机抽出 名共有基本事件共 个，其中 人中至少抽到 名“没有私家车”人员的事件有 个，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（1
15、） 的观测值 .所以不能在犯错误概率不超过 0.001 的前提下，认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关.（2）设从“没有私家车”中抽取 人，从“有私家车”中抽取 人，由分层抽样的定义可知，解得 ， .在抽取的 6 人中， “没有私家车”的 2 名人员记为 ， ， “有私家车”的 4 名人员记为 ， ， ，则所有的抽样情况如下：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .共 20 种.其中至少有 1 名“没有私家车”人员的情况有 16 种.记事件 为至少抽到 1 名“没有私家车”人员，则 .【方法点睛】本题主要考查分层抽样法的应用、古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.
16、独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）20. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， ， 分别为左、右焦点，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 的周长为 8.（1）求椭圆 的方程；（2）设过点 的直线交椭圆 于不同两点 ， . 为椭圆上一点，且满足（ 为坐标原点） ，当 时，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1 的周长为 可得 ，由离心率 ，结合性质 可得，从而可得椭圆 的方程
17、是 ；（2） 的方程为 ，由 ，整理得 .根据判别式大于零得 ，由，求出 代入椭圆方程化简得 ，再利用弦长公式及 可得 ，综上可得结果 .试题解析：（1） ， .又 ， ， ，椭圆 的方程是 .（2）设 ， ， ， 的方程为 ，由 ，整理得 .由 ，得 . ， ， ，则 ， .由点 在椭圆上，得 ，化简得 . 又由 ，即 ，将 ， 代入得 ，化简，得 ，则 ， ， . 由，得 ，联立，解得 . 或 ，即 .21. 已知函数 .（1）若 在 处取得极值，求 的值；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1） ，由 在 处取到极值，可得 ， .经检验，
18、 时， 在 处取到极小值；（2） ，令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当 时，不满足 在 上恒成立， 时再分两种情况讨论可得 时，在 上恒成立，当 时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.试题解析：（1） ， 在 处取到极值， ，即 ， .经检验， 时， 在 处取到极小值.（2） ，令 ，当 时， ， 在 上单调递减.又 ， 时， ，不满足 在 上恒成立.当 时，二次函数 开口向上，对称轴为 ，过 .a.当 ，即 时， 在 上恒成立， ，从而 在 上单调递增.又 ， 时， 成立，满足 在 上恒成立.b.当 ，即 时，存在 ，使 时， ， 单调递减；
19、时， ， 单调递增， .又 ， ，故不满足题意.当 时，二次函数 开口向下，对称轴为 ， 在 上单调递减， ， 在 上单调递减.又 ， 时， ，故不满足题意.综上所述， .22. 已知直线 ： ，曲线 ： .（1）求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程；（2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，若 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，利用极坐标和直角坐标互化的公式把直线 l 的极坐标方程化成直角坐标方程，利用消参法把曲线 C 的参数方程化为普通方程.(2)第（2）问，先计算出弦长 AB，再解不等式 ，即得实数 m 的取值范围.试题解析：（1）直线 ： ，展开可得 ，化为直角坐标方程为 ，曲线 ： 可化为 .（2）曲线 是以 为圆心的圆，圆心到直线 的距离 ， ， ，解得 .实数 的取值范围为 .23. 已知函数 ， .（1）解不等式 ；（2）对于 ，使得 成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，利用分类讨论解双绝对值不等式.(2)第（2）问，所以求出 ，再解不等式即可.试题解析：（1）由 或 或 ，解得 或 ， 的解集为 .（2）当 时， ； .由题意，得 ，即 ，即 ， ，解得 . 的取值范围是 .
