1、全国名校大联考 20172018 学年度高三第四次联考数学（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，集合 ，则 （ ）1,02A2|3BxyxABA B C D(0,2,1,(1,2.若方程 表示圆，则其圆心为（ ）248430xyxA B C D1(,)1(,)(1,)2(1,)23.函数 的定义域为（ ）3lnfxxA B C D(0,1,10(0,1,3104.已知直线 与圆 相交于 两点，且 关于直线2axy22()6xy,AB,对称，则 的值为（ ）xyA1 B-1 C.2 D-25.设变
2、量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）xy、 236yx4zxyA2 B5 C.15 D126.下图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D33243527.等比数列 的前三项和 ，若 成等差数列，则公比 （ ）na31S123,aqA3 或 B-3 或 113C.3 或 D-3 或 8.已知 是相异两平面， 是相异两直线，则下列命题中错误的是（ ）,mnA若 ，则 B若 ，则 /,mn,m/C.若 ，则 D若 ，则,/,n9.若点 在函数 的图像上， ，则下列点在函数 的图像上的是（ ）(,)baxye1alyxA B C. D2,(,1)b(,)b1(,)b
3、a10.“ ”是“直线： 与直线： 垂直”的（ ）1a20xay240axyA充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D即不充分也不必要条件11.已知函数 满足 ，若 在 上为偶函数，且()ygx(2)(gx()yfx2,0)(,)其解析式为 ，则 的值为（ ）2lo,0()f017A-1 B0 C. D1212.已知底面为正方形的四棱锥 ，各侧棱长都为 ，底面面积为 16，以 为OABC3O球心，2 为半径作一个球，则这个球与四棱锥 相交部分的体积是（ ）A B C. D98916943二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分.把答案填在题中的横线上.13.若 ，
4、 为第二象限角，则 sin()25tan()14.在空间直角坐标系中，已知点 ， ，点 在 轴上，且 到 与到(1,02)A,31BMyA的距离相等，则 的坐标是 BM15.已知圆 .由直线 上离圆心最近的点 向圆 引切线，22:(4)()5CxyyxC切点为 ，则线段 的长为 N16.设 是两个非零平面向量，则有：,ab若 ，则|ab若 ，则ab|若 ，则存在实数 ，使得| ba若存在实数 ，使得 ，则 或 四个命题中真命题ba|ba的序号为 （填写所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在 中， ，且 .ABC22
5、ca（1）求角 的大小；,（2）设数列 满足 ，前 项和为 ，若 ，求 的值.na|cos|nCnnS20n18.已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ， ，PABD(,14)AB(,20)AD.（1）求证： 是平面 的法向量；(,2)AP（2）求平行四边形 的面积.C19.（1）求圆心在直线 上，且与直线 相切于点 的圆的方程；2yx1yx(2,1)P（2）求与圆 外切于点 且半径为 的圆的方程.240x(2,4)520.如图所示， 平面 ，点 在以 为直径的 上， ，PABCABOA30CB，点 为线段 的中点，点 在弧 上，且 .BEM/（1）求证：平面 平面 ；/MOEPAC（2
6、）求证：平面 平面 ；B（3）设二面角 的大小为 ，求 的值.MBPCcos21.已知圆 ，点 ，直线 .2:9xy(5,0)A:20lxy（1）求与圆 相切，且与直线 垂直的直线方程；l（2）在直线 上（ 为坐标原点） ，存在定点 （不同于点 ） ，满足：对于圆 上任OBAC一点 ，都有 为一常数，试求所有满足条件的点 的坐标.PBA22.已知函数 的导函数为 ，其中 为常数.()fx1()fxaa（1）当 时，求 的最大值，并推断方程 是否有实数解；1af ln1|()|2xf（2）若 在区间 上的最大值为-3 ，求 的值.()fx(0,ea试卷答案一、选择题1-5:BDADC 6-10:
7、BCDCD 11、12：BC二、填空题13. 14. 15. 16.34(0,1)3三、解答题17.解：（1）由已知 ，又 ，所以 .又由 ，2BACB3B2ca所以 ，所以 ，2 24cos3baa 22cab所以 为直角三角形， ， .AC6（2） .|cos|2cs|nna0,2n为 奇 数为 偶 数所以 ， 由21nkkS2420k 224(1)43kk*N，得43，所以 ，所以 ，所以 或 .26k6k2k4n518.解：（1） ，(1,)(,)0APB.(,2)4,0APD ， ，又 ， 平面 ，ADPABCD 是平面 的法向量.BC（2） ， ，22|(1)4A122|405 ，
8、,06D ，6105cos(,)32ABD故 ， .3sin(,)5ABCDS|sin,86ABD19.解：（1）过点 且与直线 垂直的直线为 ，(2,1)P1yx30xy由 .30yxy即圆心 ，半径 ，(1,2)C|2rCP所求圆的方程为 .2()xy（2）圆方程化为 ，得该圆圆心为 ，半径为 ，故两圆连心线斜21)5(1,2)5率 .设所求圆心为 ，42k(,)ab， ，|1|3513a4， .2| 26bb8b .(4)(8)0xy20.（1）证明：因为点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，EPBOAB所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ./OEPAACEPC/EPAC因为
9、，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 .MCMM因为 平面 ， 平面 ， ，O所以平面 平面 ./EPA（2）证明：因为点 在以 为直径的 上，所以 ，即 .CBA90CBAC因为 平面 ， 平面 ，所以 .PACP因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 .PP因为 平面 ，所以平面 平面 .BCAB（3）解：如图，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立xCy空间直角坐标系 .xyz因为 ， ，所以 ， .30CBA2PB2cos30C1AC延长 交 于点 .因为 ，MOD/OMA所以 ， ， .13212B所以 ， ， ， .(1,02)P(,0)C(,0)B3(,0)所
10、以 ， .,3设平面 的法向量 .B(,)mxyz因为 ，所以 ，即 .0CP1,02(,)3)z203xzy令 ，则 ， .1z2xy所以 .(,0)m同理可求平面 的一个法向量 .PMB(1,3)n所以 .由图可知 为锐角，所以 .cos,5|n1cos521.解：（1）设所求直线方程为 ，即 ，2yxb0yb直线与圆相切， ，得 ，2|31b5所求直线方程为 5yx（2）方法 1：假设存在这样的点 ，(,0)Bt当 为圆 与 轴左交点 时， ；PCx(3,|3|2PtA当 为圆 与 轴右交点 时， ，,0)|8依题意， ，解得， （舍去） ，或 .|3|28tt5t95t下面证明点 对于
11、圆 上任一点 ，都有 为一常数.9(,0)5BCPBA设 ，则 ，(,)Pxy22x ，2295()yAx2218950xx18(57)92从而 为常数.3BP方法 2：假设存在这样的点 ，使得 为常数 ，则 ，(,)BtPA(0)22PBA ，将 代入得，22()(5xtyxy229x，即29105)x对 恒成立，2(5)34txt3, ，解得 或 （舍去） ，209t59t1t所以存在点 对于圆 上任一点 ，都有 为常数 .(,)5BCPBA3522.解：（1） ， .1fxa()lnfxa当 时， ， .a()ln1 x当 时， ；当 时， .01x0fx()0f 在 上是增函数，在 上
12、是减函数， . .()f,(1,max()(1)ff|()|1fx又令 ， ，令 ，得 .ln2xg2ln)xg()0ge当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在0e(0(,ex()0gx()上单调递减，(,) ， ， ，即 ，max1()2ge()1gx|()|fxgln1|()|2fx方程 没有实数解.ln|f（2） ， ， .1()xa(0,xe,)xe若 ，则 ， 在 上为增函数， 不合题1ae()0fx()f,emax()()10ffe意.若 ，则由 ，即 ，由 ，即e()fx10ax1xa()0fx.1xa从而 在 上为增函数，在 上为减函数，()f10,)a1(,)ea.maxln()令 ，则 ， ，即 .1ln()312a21ea2e ， 为所求. 2e2e
