1、用好法向量，巧解高考题为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向 量的应用将会更加广泛，这在 2004 年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够， 特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概念：如果非零向量 ，那么 叫做平面 的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即
2、。(2003 全国（理）18 题) 如图，直三棱柱 中，底面是等腰直角 三角形, ，侧棱 ， 分别是 与 的中点，点在平面 上的射影是 的重心 ，（）求 与平面 所成角的大小（结果 用反三角函数值表示）；（）求点 到平面 的距离。（）解：以 为坐标原点，建立如 图所示的坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， ， , ， ， ，由 得， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ， ，由 ， 得，令 得， ，平面 的一个法向量为 ， 与 的夹角 的余弦值是 ， 与平面 所成角为 。当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为 ，此时直线的方向向 量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行
3、。（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。（2004 年高考湖南（理）19 题）如图，在底面是菱形的 四棱锥中， , ， ，点 在 上，且，（I）证明： ；（II）求以 为棱， 与 为面的二面角 的大小；（）在棱 上是否存在一点 ，使 ？证明你的结论。（）解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴、 轴，过 点垂直平面 的直线为 轴，建立空间直角坐 标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为 ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则由题意可知， ，由 得 ， 令 得， ，平面 的一个法向量为 设点 是棱 上的点， ，则，由 得， ， 当 是棱 的中点时， 。
4、同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为 ，此时直线的方向向 量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。（三）设二面角 的两个半平面 和 的法向量分别为 ，设二面角 的大小为 ，则二面角的平面角 与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时，。我们再来看 2004 年高考湖南（理）19 题：（）解：由题意可知， , , 为平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，则由题意可知， ,由 得 ， 令 得， ，平面 的一个法向量为 ，向量 与 夹角 的余弦值是 ， ，由题意可知，以 为棱， 与 为面的二面角 是锐角，所求二面角的大小为 。我们知道当两
5、个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我 们可用这一特征来证明两个平面垂直。（四）设两个平面 和 的法向量分别为 ，若 ，则这两个平面垂 直。（1996 年全国（文）23 题）在正三棱柱 中， ， 分别是 上的点，且 ，求证：平面 平面。证明：以 为坐标原点，建立如 图所示的坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则由题意可知， ，由 得 ， 令 得， ，平面 的一个法向量为 ，由题意可知，平面 的一个法向量为 平面 平面 （五）设平面 的法向量为 ， 是平面 外一点， 是平面 内一点，则点 到平面 的距离 等于 在法向量 上的投影的绝对
6、值， 即。我们再来看 2003 年全国（理）18 题：（）解：设 ，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ， ，由 ， 得，令 得， ，平面 的一个法向量为 ，而 ，点 到平面 的距离 。我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平 面、两个平行平面的距离。（六）设向量 与两异面直线 都垂直（我们也把向 量 称为两异面直线 的法向量）， 分别为异面直线 上的点，则两异面直 线 的距离 等于 法向量 上的投影的绝对值， 即 。（1999 年全国（理）21 题）如图，已知正四棱柱 中，点在棱 上，截面 ，且面 与底面 所成的角为 ，求异面直线 与 之间的距离。解：以 为坐标原点，建立如 图所示的坐标系 ，连结 交 于 ，连结 ，则 就是面 与底面 所成的角的平面角， = ， 又截面 ， 为 的中点， 为 的中点， ，则 ， ， ， ， ， ，设向量 与两异面直线 都垂直，由 ，得， ， ，异面直线 与 之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何 证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法 向量较为有效。
