1、模块综合测评(一)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知 a=sin 2,b=lo 2,c=lo ,则( )13 1213A.abc B.cab C.acb D.cba解析: 1, cab,故选 B.2 13 1213答案: B2.已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项,又是 的等差中项,则 的值是( )1与 1 +2+2A.1 或 B.1 或-12 12C.1 或 D.1 或-13 13解析: 由条件知 a2b2=1,且 =2,得 从而有 =1 或- .1+1
2、=1,+=2或 =-1,+=-2. +2+2= +(+)2-2 13答案: D3.等差数列a n的前 n 项和为 Sn(n=1,2,3,),若当首项 a1 和公差 d 变化时,a 5+a8+a11 是一个定值,则下列选项中,为定值的是( )A.S17 B.S18 C.S15 D.S14解析: 由 a5+a8+a11=3a8 是定值,可知 a8 是定值,所以 S15= =15a8 是定值.15(1+15)2答案: C4.已知ABC 中,内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若A= ,且 b=2acos B,c=1,则ABC 的面积等于3( )A. B. C. D.34 32 36 38
3、解析: 由正弦定理知,b=2acos B 可以化为 sin B=2sin Acos B,即 tan B=2sin A,又因为A= ,所以 tan B=3,又知B (0,),所以B= ,故 ABC 为等边三角形,所以ABC 的面积为 c2= ,故选 A.33 34 34答案: A5.已知公比为 q 的等比数列a n,且满足条件|q|1,a 2+a7=2,a4a5=-15,则 a12=( )A.- B.- C.- D.2725 253 2725或 253 253解析: 由已知得 a4a5=a2a7=-15,又 a2+a7=2,故 a2=5,a7=-3,或 a2=-3,a7=5,又公比的绝对值大于
4、1,故只能取 a2=-3,a7=5.所以 q5= =- ,所以 a12=a2q10=(-3) =- .故选 B.7253 259 253答案: B6.如图,已知两灯塔 A,D 相距 20 海里,甲、乙两船同时从灯塔 A 处出发,分别沿与 AD 所成角相等的两条航线 AB,AC 航行,经过一段时间分别到达 B,C 两处,此时恰好 B,D,C 三点共线,且ABD= ,ADC= ,则乙船航行的距离 AC 为( )3 712A.(10 +10 )海里 B.(10 -10 )海里6 2 6 2C.40 海里 D.(10 +10 )海里6 3解析: ABD= ,ADC= , BAD= =CAD, ACD=
5、 .在ABC 中,由正弦定理可得3 712 4 6,712=206 AC=(10 +10 )海里,故选 A.6 2答案: A7.(2017 安徽合肥高二质检)已知点 M 在不等式组 所表示的平面区域内,点 N 在曲线-20,3+44,-30 x2+y2+4x+3=0 上,则|MN|的最小值是( )A. B.1 C. -1 D.12 2103 2103解析: 如图,画出平面区域(如图阴影部分所示),由圆心 C(-2,0)向直线 3x+4y-4=0 作垂线,圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y-4=0 的距离为=2,又圆的半径为 1,所以可求得|MN|的最小值是 1,故选 B.|3(-2)+40
6、-4|32+42答案: B8.ABC 的内角 A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,且 b2=ac.若 sin B= ,cos B= ,则 a+c=( )513 12A. B. C.3 D.237 13 7 6解析: sin B= ,cos B= 0,513 12 cos B= , ac=13.1213 cos B= ,2+2-22=(+)2-32 =1213 (a+c)2= ac+3ac=24+39=63.2413又 a+c0, a+c=3 ,故选 C.7答案: C9.若两个正实数 x,y 满足 =1,且不等式 x+ 4,得 m4.答案: B10.数列a n的通项公式为 an= ,其前
7、n 项和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=01(+1) 910在 y 轴上的截距为( )A.-10 B.-9 C.10 D.9解析: an= ,1(+1)=1 1+1 Sn= + =1- ,(1-12)+(12-13) (1- 1+1) 1+1=+1令 ,得 n=9,+1=910 直线方程为 10x+y+9=0,其在 y 轴上的截距为-9.答案: B11.若 x,y 是正数,则 的最小值是 ( )(+12)2+(+12)2A.3 B. C.4 D.72 92答案: C12. 导学号 93924101 已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f =f(x),f(-2
8、)=-3,(32-)若数列a n满足 a1=-1,且 =2 +1(其中 Sn 为 an的前 n 项和),则 f(a5)+f(a6)=( ) A.-3 B.-2 C.3 D.2解析: 由 f =f(x),可知函数的对称轴为直线 x= .又函数为奇函数, 有 f =f(x)=-f , f(32-) 34 (32-) (-32)=-f(x),即 f(x-3)=f(x),函数的周期为 3.由 =2 +1 得 Sn=2an+n, 当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2an+n-(-32) (2an-1+n-1)=2an-2an-1+1,即 an=2an-1-1.又 a1=-1, a2=-3,a3=-7
9、,a4=-15,a5=-31,a6=-63, f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0). 函数为奇函数, f(0)=0,由 f(-2)=-3,可得 f(-2)=f(1)=-3, f(a5)+f(a6)=3.故选 C.答案: C二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在题中的横线上)13.已知数列a n为等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 1+ 0 的 n 的最大1110值为 . 解析: 因为 Sn 有最大值,所以数列 an单调递减,又 0,a110,S20=20 =10(a10+a11)0 的 n 的最大值为
10、 19.1+192 1+202答案: 1914.若直线 y=3x 上存在点(x,y)满足约束条件 则实数 m 的取值范围是 . +40,2-+80, 解析: 由题意得 所以- 1x 8,又因为 xm,所以 mx min,即 m- 1,所以+3+40,2-3+80,解得 -1,8, 实数 m 的取值范围是-1,+).答案: -1,+).15.如图,在ABC 中,D 是 BC 上一点,已知B= 60,AD=2,AC= ,DC= ,则 AB= . 10 2解析: 在ADC 中,cosADC= =- ,又因为 01,令 bn=an+1(n=1,2,),若数列bn有连续四项在集合- 53,-23,19,
11、37,82中,则 q= . 解析: 由题意知,数列b n有连续四项在集合 -53,-23,19,37,82中,说明 an有连续四项在集合- 54,-24,18,36,81中,由于a n中连续四项至少有一项为负, q1, an的连续四项为-24,36,-54,81, q= =- .36-2432答案: -32三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分) 已知关于 x 的不等式 1+ .+2 -52(1)当 m0 时,解这个不等式 ;(2)若此不等式的解集为x|x 5,试求实数 m 的值.解: (1)原不等式可化为 m(x+2)m2+x-
12、5,(m-1)xm2-2m-5,若 01,则不等式的解集为.|2-2-5-1 (2)由题意和(1)知,m1 且满足=x|x5,|2-2-5-1 于是 =5,解得 m=7.2-2-5-118.(12 分) 在ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边长 .已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,求A 的大小及 的值.解: (1) a,b,c 成等比数列, b2=ac.又 a2-c2=ac-bc, b2+c2-a2=bc.在ABC 中,由余弦定理,得 cos A= ,2+2-22=12 A=60.(2)法一:在ABC 中,由正弦定理得 sin B= . b2=ac,A=60
13、 , =sin 60= . =260 32法二:在ABC 中,由三角形面积公式得 bcsin A= acsin B,12 12 b2=ac,A=60 , bcsin A=b2sin B, =sin A= . 3219.(12 分) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,数列 bn满足 an=4log2bn+3.(1)求 an,bn;(2)求数列a nbn的前 n 项和 Tn.解: (1)由 Sn=2n2+n,可得当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(2n2+n)-2(n-1)2+(n-1)=4n-1,当 n=1 时,a 1=3 符合上式,所以 an=4n-1,由 an=
14、4log2bn+3,可得 4n-1=4log2bn+3,解得 bn=2n-1.(2)anbn=(4n-1)2n-1,所以 Tn=3+721+1122+1523+(4n-1)2n-1,2Tn=321+722+1123+1524+(4n-1)2n. - 可得-T n=3+4(21+22+23+24+2n-1)-(4n-1)2n=3+4 -(4n-1)2n2(1-2-1)1-2=-5+(5-4n)2n,所以 Tn=5+(4n-5)2n.20.(12 分)(2017 黑龙江鹤岗高三模拟 )已知函数 f(x)=2cos2x-sin .(2-76)(1)求函数 f(x)的最大值 ,并写出 f(x)取最大值
15、时 x 的取值集合 ;(2)在ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f(A)= ,b+c=2,求实数 a 的最小值.32解: (1)f(x)=2cos2x-sin(2-76)=(1+cos 2x)-(276-276)=1+ sin 2x+ cos 2x=1+sin .32 12 (2+6) 函数 f(x)的最大值为 2.要使 f(x)取最大值,则 sin =1,(2+6) 2x+ =2k+ (kZ ),解得 x=k+ ,kZ .6 2 6故 x 的取值集合为 .|=+6, (2)由题意知,f(A)=sin +1= ,(2+6) 32化简得 sin .(2+6)=12 A(
16、0,), 2A+ ,6(6,136) 2A+ , A= .6=56 3在ABC 中,根据余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc.3由 b+c=2,知 bc =1,即 a21.(+2)2 当 b=c=1 时,实数 a 的最小值为 1.21. 导学号 93924103(12 分)设函数 f(x)= (x0),数列 an满足 a1=1,an=f ,nN +,且23+1 ( 1-1)n2.(1)求数列a n的通项公式;(2)对 nN +,设 Sn= + ,若 Sn 恒成立 ,求实数 t 的取值范围.112+123+134 1+1 34解: (1)由 an=f 可得 an-
17、an-1= ,n2 且 nN +,(1-1) 23所以a n是首项为 1,公差为 的等差数列,23所以 an=1+(n-1) ,nN +.23=2+13(2)因为 an= ,所以 an+1= ,2+13 2+33所以1+1= 9(2+1)(2+3)= .92( 12+1- 12+3)则 Sn= +112+123+134 1+1= .92(13- 12+3)=32+3Sn 恒成立等价于 ,34 32+334即 t 恒成立.422+3又当 n=1 时, 取最小值 ,422+3 45所以 t ,45即 t 的取值范围是 .(-,4522. 导学号 93924104(12 分)(2017 广东东莞月考
18、)小王在年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格为(25-x) 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) .(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出 ?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大 (利润= 累计收入+销售收入-总支出)?解: (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元,则 y=25x- -50(00,解得 10-5 x10+5 ,2 2而 210-5 3,2故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出.(2)因为利润=累计收入+销售收入- 总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为 y+(25-x)= (-x2+19x-25)=19- ,而 19-=1 1 (+25)19-2 =9,(+25) 25当且仅当 x=5 时取得等号,即小王应当在第 5 年年底将大货车出售,才能使年平均利润最大.
