1、第二章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在数列 1,2, ,中 ,2 是这个数列的第( )项.7, 10, 13 19A.16 B.24 C.26 D.28解析: 设此数列为a n,则 a1=1= ,a2=2= ,a3= ,a4= ,a5= ,所以 an= .令 an=1 4 7 10 13 3-2=2 ,得 n=26.故选 C.3-2 19=76答案: C2.在等差数列a n中,a 5,a7 是函数 f(x)=x2-4x+3 的两个零点,则 a3+a9 等于(
2、)A.-4 B.-3 C.3 D.4解析: a5,a7 是函数 f(x)=x2-4x+3 的两个零点, a5,a7 是方程 x2-4x+3=0 的两根,则 a5+a7=4,由等差数列的性质可得 a3+a9=a5+a7=4.故选 D.答案: D3.数列a n定义如下:a 1=1,当 n2 时,a n= 若 an= ,则 n 的值等于( )1+2(为 偶数 ),1-1(为 奇数 ), 14A.7 B.8 C.9 D.10解析: 因为 a1=1,所以 a2=1+a1=2,a3= ,a4=1+a2=3,a5= ,a6=1+a3= ,a7= ,a8=1+a4=4,a9=12=12 14=13 32 16
3、=23,所以 a9= ,n=9,故选 C.18=14 14答案: C4.在等比数列a n中,S n 是它的前 n 项和,若 a2a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 17,则 S6=( )A. B.16 C.15 D.634 614解析: 由等比数列的性质知 a2a3=a1a4=2a1,即 a4=2. a4+2a7=217=34, a7= (217-a4)= (217-2)=16.12 12 q3= =8,即 q=2.74=162由 a4=a1q3=a18=2,得 a1= ,14 S6= .14(1-26)1-2=634答案: A5.已知数列a n中,a 1=1,2nan+1=(n
4、+1)an,则数列 an的通项公式为( )A. B. C. D.2 2-1 2-1 +12解析: 2nan+1=(n+1)an, .+1+1=12 数列 是等比数列,首项为 =1,公比为 . 11 12 , an= .故选 B.=(12)-1 2-1答案: B6.等差数列a n的公差不为 0,其前 23 项和等于其前 10 项和 ,若 a8+ak=0,则正整数 k=( )A.24 B.25 C.26 D.27解析: 由 S23=S10,得 a11+a12+a23=0, a11+a23=a12+a22=a16+a18=2a17=0, a11+a23=a8+ak, 11+23=8+k, k=26.
5、故选 C.答案: C7.已知数列a n满足 a1=1,an+1=2an+3(nN +),则 a11=( )A.210-3 B.211-3C.212-3 D.213-3解析: a1=1,an+1=2an+3(nN +), an+1+3=2(an+3)(nN +), an+3是公比为 2,首项为 4 的等比数列,因此 a11=212-3,故选 C.答案: C8.(2017 河北高三质检) + 的值为( )122-1+ 132-1+ 142-1 1(+1)2-1A. B.+12(+2) 34+12(+2)C. D.3412( 1+1+1+2) 32 1+1+1+2解析: 1(+1)2-1= 12+2
6、= 1(+2)= ,12(1- 1+2) +122-1+ 132-1+ 142-1 1(+1)2-1=12(1-13+12-14+13-15+1- 1+2)= .12(32- 1+1- 1+2)=3412( 1+1+1+2)答案: C9.(2017 广西南宁高二期末)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 S2 0160,S2 0170,2 016(1+2 016)2 a1 008+a1 0090,同理,由 S2 0170,a1 009|a1 009|. 对任意正整数 n,都有|a n|a k|, k 的值为 1 009.故选 D.答案: D10.已知数列a n的前 n 项和 Sn=2
7、an-1,则满足 2 的正整数 n 的集合为( )A.1,2 B.1,2,3,4C.1,2,3 D.1,2,4解析: 因为 Sn=2an-1,所以当 n2 时,S n-1=2an-1-1,两式相减得 an=2an-2an-1,整理得 an=2an-1,所以a n是公比为 2 的等比数列,又因为 a1=2a1-1,解得 a1=1,故a n的通项公式为 an=2n-1.而 2,即 2n-12n,所以有 n=1,2,3,4.答案: B11.已知数列a n,bn满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时,都有 ai+bj=ak+bl,则 (ai+bi)
8、的值为( )12 0172 017=1A.2 016 B.2 017 C.2 018 D.2 019解析: 由条件可知 a1=1,b1=2;a2=2,b2=3;a3=3,b3=4;a2 017=2 017,b2 017=2 018, (ai+bi)=12 0172 017=1(1+2 018)2 017=2 019.12 017答案: D12. 导学号 93924041 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)单调递减,若数列a n是等差数列,且 a30.因为数列a n是等差数列,所以 a1+a5=2a30.由当 x0 时,f(x) 是单调递减,可知 f(x)在 R
9、上单调递减 .因为 a1f(-a5)=-f(a5),即 f(a1)+f(a5)0,故 f(a1)+f(a3)+f(a5)0.答案: C二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在题中的横线上)13.(2017 江苏高考,9)等比数列a n的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn.已知 S3= ,S6= ,则 a8= . 74 634解析: 设该等比数列的公比为 q,则 S6-S3= =14,即 a4+a5+a6=14. 63474 S3= , a1+a2+a3= .74 74由 得(a 1+a2+a3)q3=14, q3= =8,即 q=2.1474 a1+2a1+4
10、a1= ,a1= ,74 14 a8=a1q7= 27=32.14答案: 3214.设关于 x 的不等式 x2-x0, a1=1,d=2, an=2n-1.(2)由(1)知 bn=2n22n-1=n4n, Tn=141+242+n4n, 4Tn=142+243+(n-1)4n+n4n+1,两式相减,得-3T n=41+42+4n-n4n+1= -n4n+1=4(1-4)1-44n+1- ,1-33 43 Tn= 4n+1+ .3-19 49=4+(3-1)4+1922. 导学号 93924044(12 分)设函数 f(x)= (x0),数列a n满足2+33a1=1,an=f (nN +,n2
11、).(1-1)(1)求数列a n的通项公式.(2)是否存在以 a1 为首项,公比为 q(0q5,qN +)的数列 ,kN +,使得数列 中每一项都是数 列a n中不同的项? 若存在,求出所有满足条件的数列 nk的通项公式;若不存在,说明理由.解: (1)因为 an=f =an-1+ (nN +,且 n2),所以 an-an-1= .因为 a1=1,所以数列a n是( 1-1)=21-1+331-1 23 23以 1 为首项,以 为公差的等差数列.23所以 an= .2+13(2)由 an= ,知数列 an中每一项都不可能是偶数.2+13 如果存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 ,kN +,那么此时 中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以 a1 为首项,公比为偶数的数列 . 当 q=1 时,显然不存在这样的数列 .当 q=3 时,若存在以 a1 为首项 ,公比为 3 的数列 ,kN +,则 =1,n1=1, =3k-1= ,nk= .1 2+13 3-12所以满足条件的数列n k的通项公式为 nk= .3-12
