1、1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系【选题明细表】知识点、方法 题号四种命题的概念 1,2,3,6,9四种命题的真假判断 4,5,7,10,12等价命题的应用 8综合应用 11,13【基础巩固】1.设 a,b是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( D )(A)若 a-b,则|a|b|(B)若 a=-b,则|a|b|(C)若|a|b|,则 a-b(D)若|a|=|b|,则 a=-b解析:将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得原命题的逆命题.故选 D.2.命题“若 AB=A,则 AB=B”的否命题是( A )(A)若 ABA,则 ABB(B)若 AB=B,则
2、 AB=A(C)若 ABB,则 ABA(D)若 ABA,则 AB=B解析:命题“若 p,则 q”的否命题为“若非 p,则非 q”,故 A正确.3.(2018贵阳高二月考)命题:“若 x21,或 x1(D)若 x1,或 x-1,则 x21解析:-1-3,则 a-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题.因为逆命题为“若 a-6,则 a-3”,所以逆命题为假命题,所以否命题为假命题.从而真命题的个数是 2.故选 B.5.(2017马鞍山二中期末)下列说法中正确的是( D )(A)一个命题的逆
3、命题为真,则它的逆否命题一定为真(B)“|a|b|”与“a 2b2”不等价(C)“a2+b2=0,则 a,b全为 0”的逆否命题是“若 a,b全不为 0,则a2+b20”(D)一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真解析:对于 A.一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真,但是逆否命题不能判断真假,所以 A不正确;对于 B.“|a|b|”与“a 2b2”是等价不等式,所以 B不正确;对于 C.“a2+b2=0,则 a,b全为 0”的逆否命题是“若 a,b不全为 0,则 a2+b20”,不是“若 a,b全不为 0,则 a2+b20”,所以 C不正确;对于 D.一个命题的否命题为真,则它的逆命
4、题一定为真,满足四种命题的真假关系,正确.故选 D.6.命题“若 ab,则 2a2b-1”的否命题是 . 解析:“若 p,则 q”的否命题为“若p,则q”.答案:若 ab,则 2a2 b-17.(2017吉安高二检测)有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号). “若 xy=1,则 x,y互为倒数”的逆命题;“全等三角形的面积相等”的否命题;“若 q1,则 x2+2x+q=0有实根”的逆命题;“若 ab,则 ac2bc2”的逆否命题.解析:中逆命题为“若 x,y互为倒数,则 xy=1”,是真命题.的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,是假命题.的逆命题为“若 x2+2x+q=0有实根,则
5、q1”,为真命题,由 =4-4q0,得 q1,中当 c=0时,原命题不正确,因此逆否命题是假命题.综上可知是真命题.答案:【能力提升】8.命题“如果 xa 2+b2,那么 x2ab”的等价命题是( C )(A)如果 xb,则 am2bm2;在ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B;在一元二次方程 ax2+bx+c=0中,若 b2-4ac0,则 a0且 b0,是假命题,逆否命题是:若 a0且 b0,则 ab0,是真命题;对于,原命题是:若 ab,则 am2bm2,是假命题,逆命题是:若 am2bm2,则 ab,是真命题,否命题是:若 ab,则 am2bm 2,是真命题,逆否命题是:若
6、 am2bm 2,则 ab,是假命题;对于,原命题是:在ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B,是真命题,逆命题是:在ABC 中,若 A=B,则 sin A=sin B,是真命题,否命题是:在ABC 中,若 sin Asin B,则 AB,是真命题,逆否命题是:在ABC 中,若 AB,则 sin Asin B,是真命题;对于,原命题是:在一元二次方程 ax2+bx+c=0中,若 b2-4ac0,若 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m的取值范围为 . 解析:因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m0,解得 m3;又 p(2)是真命题,所以 4+4-m0,解得 m8.故实数
7、 m的取值范围是3,8).答案:3,8)12.(2017宣化区高二期中)写出命题“若 x2-3x+20,则 x1 且x2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解:因为原命题是“若 x2-3x+20,则 x1 且 x2”,所以它的逆命题是:若 x1 且 x2,则 x2-3x+20,是真命题;否命题是:若 x2-3x+2=0,则 x=1或 x=2,是真命题;逆否命题是:若 x=1或 x=2,则 x2-3x+2=0,是真命题.【探究创新】13.(2018衡中周测)在等比数列a n中,前 n项和为 Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则 am,am+2,am+1成等差数列.(1)写出
8、这个命题的逆命题、否命题、逆否命题;(2)判断这个命题的逆命题何时为假,何时为真,并给出证明.解:(1)这个命题的逆命题是:在等比数列a n中,前 n项和为 Sn,若 am,am+2,am+1成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.否命题是:在等比数列a n中,前 n项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列,则 am,am+2,am+1不成等差数列.逆否命题是:在等比数列a n中,前 n项和为 Sn,若 am,am+2,am+1不成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.(2)设等比数列a n的公比为 q,则当 q=1时,这个命题的逆命题为假,证明如下:易知 am=am+2=am+1=a10,若 am,am+2,am+1成等差数列,则 Sm+2-Sm=2a1,Sm+1-Sm+2=-a1,显然 Sm+2-SmS m+1-Sm+2.当 q1 时,这个命题的逆命题为真,证明如下:因为 am=a1qm-1,am+2=a1qm+1,am+1=a1qm,若 am,am+2,am+1成等差数列,则 a1qm-1+a1qm=2a1qm+1,即 1+q=2q2,q=- ,又 Sm+2-Sm= - = a1(- )m,Sm+1-Sm+2=-am+2= a1(- )m,所以 Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
