1、课时规范练A 组 基础对点练1设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，且 m，n，则“ ”是“m 且n”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若 m，n， ，则 m 且 n；反之若 m，n，m 且 n，则 与 相交或平行，即“”是“m 且 n”的充分不必要条件答案：A2设 ， 是两个不同的平面，m，n 是平面 内的两条不同直线， l1，l 2 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是 ( )Aml 1 且 nl 2 Bm 且 nl 2Cm 且 n Dm 且 l1解析：由 ml1，m，l 1 ，得 l1，同理 l2，又 l1，l2 相
2、交，所以 ，反之不成立，所以ml1 且 nl2 是 的一个充分不必要条件答案：A3设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m， “m”是“”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若 m 且 m，则平面 与平面 不一定平行，有可能相交；而 m 且 一定可以推出 m，所以“m ”是 “”的必要而不充分条件答案：B4(2018江西赣中南五校联考) 已知 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A若 ， ，则 B若 mn，m，n，则 C若 mn，m，n，则 D若 mn，m，则 n 解析：对于 A，若 ，则 或 与
3、相交；对于 B，若 mn，m，n，则 或 与 相交；易知 C 正确；对于 D，若 mn，m，则 n 或 n 在平面 内故 选 C.答案：C5已知正方体 ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号)AD 1BC 1；平面 AB1D1平面 BDC1；AD 1DC 1； AD 1平面 BDC1.解析：连接 AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为 AB 綊 C1D1，所以四边形 AD1C1B 为平行四边形，故 AD1BC1，从而 正确；易证BDB1D1，AB1DC1，又 AB1 B1D1B 1，BDDC 1D，故平面 AB1D1平面 BDC1，从而正确；由图易知 A
4、D1 与 DC1 异面，故 错误 ；因AD1BC1，AD1平面 BDC1，BC1平面 BDC1，故 AD1平面 BDC1，故 正确答案：6.如图所示，在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与 MN 平行的是_解析：连接 AM 并延长，交 CD 于 E，连接 BN，并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E，F 重合为一点，且 该点为 CD 的中点 E，连接 MN，由 ，得 MNAB.因此，MN平面 ABC 且 MN平面 ABD.EMMA ENNB 12答案：平面 ABC、平面 ABD7(2018咸阳模拟)如图所示，在四棱锥 OABCD 中，底面
5、 ABCD是边长为 1 的菱形，ABC ，OA底面 ABCD，OA 2，M 为4OA 的中点，N 为 BC 的中点(1)求四棱锥 OABCD 的体积；(2)证明：直线 MN平面 OCD.解析：(1)OA 底面 ABCD，OA 是四棱锥 OABCD 的高 四棱锥 OABCD 的底面是边长为 1 的菱形，ABC ，底面面积 S 菱形 ABCD .4 22OA2，体积 VOABCD .23(2)证明：取 OB 的中点 E，连接 ME，NE(图略) MEAB，ABCD，MECD.又 NEOC，MEENE，CDOCC，平面 MNE平面 OCD.MN 平面 MNE，MN平面 OCD.8如图，四棱锥 PAB
6、CD 中，四边形 ABCD 为正方形， PD平面 ABCD，PDDC2，点 E，F 分别为 AD，PC 的中点(1)证明：DF 平面 PBE；(2)求点 F 到平面 PBE 的距离解析：(1)证明：取 PB 的中点 G，连接 EG，FG，则 FGBC，且 FG BC，12DEBC 且 DE BC，DEFG 且 DEFG，12四 边形 DEGF 为平行四边形，DF EG，又 DF平面 PBE，EG平面 PBE，DF平面 PBE.(2)由(1)知 DF平面 PBE，点 D 到平面 PBE 的距离与 F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化 为求点 D 到平面 PBE 的距离，设为d.连接 BD.V
7、DPBEV PBDE， SPBEd SBDEPD，13 13由题意可求得 PEBE ，PB2 ，5 3SPBE 2 ，又 SBDE DEAB 121，12 3 52 (232)2 6 12 12d .639(2018昆明七校模拟) 一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N.(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处( 不需说明理由) ；(2)证明：直线 MN平面 BDH；(3)过点 M，N，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比解析：(1)点 F，G，H 的位置如图所示(2)证明：连接 BD，设 O 为
8、 BD 的中点， 连接 OM，OH，AC，BH，MN.M，N 分别是 BC，GH 的中点，OMCD，且 OM CD，12NHCD，且 NH CD，12OMNH，OMNH，则四边形 MNHO 是平行四边形，MNOH，又 MN平面 BDH，OH平面 BDH，MN平面 BDH.(3)由(2)知 OMNH，OMNH， 连接 GM，MH，过点 M，N，H 的平面就是平面 GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体 积比等于底面积之比，即 31.B 组 能力提升练1已知直线 a，b，平面 ，则以下三个命题：若 ab，b，则 a；若 ab，a，则 b；若 a，b，则 ab.其中真命题的个数是( )A0
9、 B1C2 D3解析：对于，若 ab，b，则应有 a 或 a，所以 是假命题；对于，若 ab，a，则应有 b 或 b ，因此是假命 题；对于，若 a，b，则应有 ab 或 a 与 b 相交或 a与 b 异面，因此是假命题 综上，在空间中，以上三个命题都是假命题答案：A2已知直线 a，b 异面，给出以下命题；一定存在平行于 a 的平面 使 b；一定存在平行于 a 的平面 使 b；一定存在平行于 a 的平面 使 b；一定存在无数个平行于 a 的平面 与 b 交于一定点则其中正确的是( )A BC D解析：对于，若存在平面 使得 b，则有 ba，而直 线 a，b 未必垂直，因此不正确；对于 ，注意到
10、过直线 a，b 外一点 M 分别引直线 a，b 的平行线 a1，b1，显然由直线 a1，b1 可确定平面 ，此时平面 与直线 a， b 均平行，因此正确；对于，注意到过直线 b 上的一点 B 作直线 a2 与直线 a 平行，显然由直线 b 与 a2 可确定平面 ，此时平面 与直线 a 平行，且 b，因此正确；对于，在直 线 b 上取一定点 N，过点 N 作直线 c 与直线 a 平行，经过直线 c 的平面( 除由直线 a 与 c 所确定的平面及直线 c 与 b 所确定的平面之外)均与直线 a平行，且与直线 b 相交于一定点 N，而 N 在 b 上的位置任意，因此 正确综上所述，正确. 答案：D3
11、(2018温州十校联考)如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点，将ADE 沿 AE 翻折成SAE ，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( )存在点 E 使得直线 SA平面 SBC；平面 SBC 内存在直线与 SA 平行；平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行A0 B1C2 D3解析：由题图，得 SASE，若存在点 E 使得直线 SA平面 SBC，则 SASB，SASC，则SC，SB，SE 三线共面，则点 E 与点 C 重合，与 题设矛盾，故错误；因为 SA 与平面 SBC 相交，所以在平面 SBC 内不存在直线与 SA 平行，故
12、错误；显然，在平面 ABCE 内，存在直 线与 AE 平行，由 线面平行的判定定理得平面 ABCE 内存在直 线与平面 SAE 平行，故 正确故选 B.答案：B4下列命题中，错误的是( )A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D若直线 l 不平行平面 ，则在平面 内不存在与 l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交， 则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出 现 矛盾，故 A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理
13、，B 正确；C 中，如果平面 内有一条直线垂直于平面 ，则平面 垂直于平面 (这是面面垂直的判定定理) ，故 C 正确；D 是错误的，事实上，直线 l 不平行平面 ，可能有 l，则 内有无数条直线与 l 平行答案：D5(2018唐山统一考试)在三棱锥 PABC 中，PB6，AC3，G 为PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线 PB 和 AC，则截面的周长为_解析：过点 G 作 EFAC，分别交 PA、PC 于点 E、F，过 E、F 分别作 ENPB、FMPB，分别交 AB、BC 于点 N、M，连接 MN(图略) ，则四边形 EFMN 是平行四 边形，所以 ，即EF3 23
14、EFMN2， ，即 FMEN 2，所以截面的周长为 248.FMPB FM6 13答案：86正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1 cm，过 AC 作平行于体对角线 BD1 的截面，则截面面积为_cm 2.解析：如图所示，截面 ACEBD1，平面 BDD1平面 ACEEF，其中 F 为 AC 与 BD 的交点，E 为 DD1 的中点， SACE (cm2)12 2 32 64答案：647如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，AD BC，AB ADAC3，PA BC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N为 PC 的中点(1)证明 MN平面 PAB；(2)求四面体 NBCM
15、 的体积解析：(1)证明：由已知得 AM AD2，23取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN BC2.12又 ADBC，故 TN 綊 AM，故四 边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离 为 PA.12取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC，AE .AB2 BE2 5由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 ，5故 SBCM 4 2 .12 5 5所以四面体 NBCM 的
16、体积 VNBCM SBCM .13 PA2 4538如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 .点17G，E，F ，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH 平面ABCD，BC 平面 GEFH .(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积解析：(1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以
17、POAC，同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO底面 ABCD.又平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD，从而 GKEF，所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB 2，得 EBABKBDB 1 4，从而 KB DB OB，即 K 为 OB 的中点14 12由 POGK 得 GK PO，12即 G 是 PB 的中点，且 GH BC4.12由已知可得 OB4 ，2PO 6，PB2 OB2 68 32所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 S GK 318.GH EF2 4 82
