1、课时规范练A 组 基础对点练1.如图，在 Rt ABC 中，ABC90，P 为ABC 所在平面外一点，PA平面 ABC，则四面体 PABC 中共有直角三角形个数为 ( )A4 B3C2 D1解析：由 PA平面 ABC 可得 PAC，PAB 是直角三角形，且 PABC.又ABC90，即ABBC，所以PBC 是直角三角形，且 BC平面 PAB，又 PB平面 PAB，所以 BCPB，即PBC 为直角三角形，故四面体 PABC 中共有 4 个直角三角形答案：A2设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则能得出 ab 的是( )Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b， 解析：对于 C 项，
2、由 ，a 可得 ，又 b，得 ab，故选 C.答案：C3(2018兰州诊断考试)设 ， ， 为不同的平面，m ，n 为不同的直线，则 m 的一个充分条件是( )A， n，mnBm， C，mDn，n，m解析：A 不对，m 可能在平面 内，也可能与 平行；B ，C 不对，满足条件的 m 和 可能相交，也可能平行；D 对，由 n，n 可知 ，结合 m 知 m，故 选 D.答案：D4设 a，b，c 是空间的三条直线， 是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )A当 c 时，若 c ，则 B当 b 时，若 b，则 C当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc，则 abD当 b，且 c
3、 时，若 c，则 bc解析：A 的逆命题为：当 c时，若 ，则 c.由线面垂直的性质知 c，故 A 正确；B 的逆命题为：当 b 时，若 ，则 b，显然错误，故 B 错误；C 的逆命题为：当 b，且 c是 a 在 内的射影时，若 ab，则 bc.由三垂线逆定理知 bc，故 C 正确；D 的逆命题为：当b，且 c时，若 bc，则 c.由线面平行判定定理可得 c，故 D 正确。答案：B5.如图，O 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是( )AA 1D BAA 1CA 1D1 DA 1C1解析：连接 B1D1(图略) ，则 A1C1B1D1，
4、根据正方体特征可得 BB1A1C1，故 A1C1平面BB1D1D，B1O 平面 BB1D1D，所以 B1OA1C1.答案：D6.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB ，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的有_( 写出全部正确命题的序号) 平面 ABC平面 ABD；平面 ABD平面 BCD；平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE；平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE.解析：由 ABCB，AD CD 知 ACDE，ACBE，从而 AC平面 BDE，所以平面 ABC平面BDE，且平面 ACD平面 BDE，故 正确答案：7.如图，PAO 所在平面， A
5、B 是O 的直径，C 是O 上一点，AEPC，AF PB，给出下列结论：AEBC； EFPB；AFBC；AE平面 PBC，其中正确的结论有_解析： AE平面 PAC，BCAC，BCPAAEBC，故 正确；AE PC，AEBC，PB平面 PBCAE PB，AEPB，EF平面 AEFEF PB，故正确；AFPB，若AFBCAF平面 PBC，则 AFAE 与已知矛盾，故 错误 ；由 可知正确答案：8.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 )解析：如图，连接
6、 AC，BD，则 ACBD，PA底面 ABCD，PABD.又 PAACA，BD平面 PAC，BDPC，当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC平面PCD，平面 MBD平面 PCD.答案：DM PC( 或 BMPC 等)9.如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面PCD，ADBC，AB BC AD，E，F 分别为线段 AD， PC 的12中点求证：(1)AP平面 BEF；(2) BE平面 PAC.证明：(1)设 ACBE O，连接 OF，EC，如 图所示由于 E 为 AD 的中点，AB BC AD，ADBC，12所以 AEBC，AEABBC，因此四边形 ABCE 为菱形，所
7、以 O 为 AC 的中点又 F 为 PC 的中点，因此在PAC 中，可得 APOF.又 OF平面 BEF，AP平面 BEF.所以 AP平面 BEF.(2)由题意知 EDBC，EDBC .所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BECD.又 AP平面 PCD，所以 APCD，因此 APBE.因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BEAC.又 APACA， AP，AC平面 PAC，所以 BE平面 PAC.10(2018唐山统考)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PD底面 ABCD，E 为棱 PD 的中点(1)证明：PB平面 AEC；(2)若 PDAD2，PB AC，求点 P 到平面
8、 AEC 的距离解析：(1)证明：如图， 连接 BD，交 AC 于点 F，连接 EF，底面 ABCD 为矩形， F 为 BD 中点，又 E 为 PD 中点，EF PB，又 PB平面 AEC，EF平面 AEC，PB平面 AEC.(2)PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，PDAC，又 PBAC，PBPD P， AC平面 PBD，BD平面 PBD，ACBD，四 边形 ABCD 为正方形又 E 为 PD 的中点，P 到平面 AEC 的距离等于 D 到平面 AEC 的距离，设 D 到平面 AEC 的距离为 h，由题意可知 AEEC ，AC2 ，SAEC 2 ，由 VDAECV EADC 得 S5 2
9、12 2 3 6 13AECh SADCED，解得 h ，点 P 到平面 AEC 的距离为 .13 63 63B 组 能力提升练1如图，正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2，G 2G3 的中点，D 是 EF 与 SG2 的交点，现沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G 2，G 3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 GSEF 中必有( )ASD平面 EFG BSEGFCEF 平面 SEG DSESF解析：对于 A，设正方形的棱长为 2a，则 DG a，SD a，SG2DG 2SD 2，SD 与22 322DG 不垂直，SD 不垂直于平面 EFG
10、，故 A 错误；对于 B，在折叠的过程中，始终有SG3G3F，EG2G2F，SGGF，EGGF，SGEGG， GF平面 SEG，SE平面SEG，SEGF，故 B 正确；对于 C，EFG 中， EGGF，EF 不与 GE 垂直，EF 不垂直于平面 SEG，故 C 错误；对于 D，由正方形 SG1G2G3 中，E ，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点，得ESFG1SG390， SE 与 SF 不垂直，故 D 错误故 选 B.答案：B2若 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ( )A若 m， ，则 mB若 m，n，mn，则 C若 m，m ，则 D若 ， ，则 解
11、析：A 中 m 与 的位置关系不确定，故错误；B 中 ， 可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知 C 正确； D 中 ， 平行或相交，故 错误答案：C3.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为 ( )A. B112C. D232解析：设 B1Fx ，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以 AB1DF.由已知可得 A1B1，设 RtAA1B1 斜边 AB1 上的高为 h，则 DE h.又 2 h ，所以212
12、 2 22 22h ，DE .在 RtDB1E 中，B 1E .由面积相等得 233 33 ( 22)2 ( 33)2 66 66 x2 ( 22)2x，得 x .22 12答案：A4如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B 1C 的中点为 O，且 AO平面BB1C1C.(1)证明：B 1CAB ；(2)若 ACAB 1，CBB 160，BC1，求三棱柱 ABCA1B1C1 的高解析：(1)证明：如图，连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC1.又 AO平面 BB1C1C，所以 B1CAO，故 B1C平面
13、ABO.由于 AB平面 ABO，故 B1CAB.(2)如图，作 ODBC，垂足为 D，连接 AD.作 OHAD，垂足为 H.由于 BCAO，BCOD，故 BC平面 AOD，所以 OHBC.又 OHAD，所以 OH平面 ABC.因为CBB 160，所以CBB 1为等边三角形，又 BC1，所以 OD .34由于 ACAB1，所以 OA B1C .12 12由 OHADOD OA，且 AD ，OD2 OA274得 OH .2114又 O 为 B1C 的中点，所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 .217故三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 .2175(2018北京东城区模拟)如图，在四棱锥 EAB
14、CD 中，AEDE，CD平面 ADE，AB平面 ADE，CD3AB .(1)求证：平面 ACE平面 CDE；(2)在线段 DE 上是否存在一点 F，使 AF平面 BCE？若存在，求出 的值；若不存在，EFED说明理由解析：(1)证明：因为 CD平面 ADE，AE平面 ADE，所以 CDAE.又 AEDE，CDDED，所以 AE平面 CDE，因为 AE平面 ACE，所以平面 ACE平面 CDE.(2)在线段 DE 上存在一点 F，且 ，使 AF平面 BCE.设 F 为线段 DE 上一点，且 .EFED 13 EFED 13过点 F 作 FMCD 交 CE 于点 M，连接 BM，AF，则 FM C
15、D.13因为 CD平面 ADE，AB平面 ADE，所以 CDAB.又 FMCD，所以 FMAB.因为 CD3AB，所以 FMAB.所以四边形 ABMF 是平行四边形，所以 AFBM.又 AF平面 BCE，BM平面 BCE，所以 AF平面 BCE.6如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PAPD，BAD60 ，E 是 AD 的中点，点 Q 在侧棱 PC 上(1)求证：AD 平面 PBE；(2)若 Q 是 PC 的中点，求证：PA平面 BDQ；(3)若 VPBCDE2V QABCD，试求 的值CPCQ解析：(1)证明：由 E 是 AD 的中点，PAPD 可得 ADPE.又底面 ABCD 是菱形， BAD60，所以 ABBD ，又 E 是 AD 的中点，所以 ADBE，又 PEBEE，所以 AD平面 PBE.(2)证明：连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OQ.因为 O 是 AC 的中点，Q 是 PC 的中点，所以 OQPA，又 PA平面 BDQ，OQ平面 BDQ，所以 PA平面 BDQ.(3)设四棱锥 PBCDE，QABCD 的高分别为 h1，h2.所以 VPBCDE S 四边形 BCDEh1，13VQABCD S 四边形 ABCDh2.又 VPBCDE2V QABCD，13且 S 四边形 BCDE S 四边形 ABCD，所以 .34 CPCQ h1h2 83
