1、论文笔记论文笔记 .1基于变形的自由形状特征重构 .1多分辨率 B 样条小波与 Snake 相结合 .2基于特征的外力的变形模型 .2参数主动轮廓模型（PACM）研究 2参数主动轮廓模型能量泛函 .3泛函极值的 Euler-Lagrange 方程 4参数化可变形模型的理论基础 .6反求建模中的特征识别与模型优化 .8变形模型理论 .9逆向工程中的复杂曲面建模涉及到众多研究领域，其理论和方法无论从加深对三维物体识别理解的理论角度还是从工程设计的实践角度都具有重要的意义。但目前的研究工作从总体来看仍然较多局限于特殊对象、特殊测量数据和特殊建模方法的研究，不同领域的研究缺乏沟通，对于复杂拓扑结构的对
2、象和数据的研究还存在困难，也没有十分理想的通用方法。针对不断发展的高速、高精度测量设备，研究智能化的复杂曲面测量、建模和加工的理论于实现方法，实现对散乱测量数据点、多视和补测数据点的几何、拓扑关系的自动确定；结合视觉理解方法，用高层次的几何模型和认识推理机制来指导对测量数据点云种包含的几何特征的智能提取，从而实现合理的区域分割、模型重建和 RP、NC 代码生成，是今后发展的方向。基于变形的自由形状特征重构绪论，提出文章的选题背景和研究内容：首先阐述力曲面变形的基本理论、方法及研究现状，并从产品设计的背景出发探讨了变形技术的工业需求及目前方法的不足。通过对自由曲面反求建模策略的论述及其研究现状的
3、分析总结，阐明了自由形状表达的细节特征即自由形状特征建模过程中存在的问题，提出利用曲面变形技术解决其重构和后续修改设计问题的思路。提出论文的主要研究内容和基本框架。曲面造型是计算机辅助设计(CAD)和计算机图形学(CG)领域最活跃、最关键的学科分支之一。三维形体的数字化表示，从飞机、汽车、船舶的流体动力学分析，家用电器、轻工产品的工业造型设计，应力、应变、温度场、速度场的直观显示，岩层、山脉、地质结构的地理资源描述，人体器官的 CT 扫描数据图像分割与表面重建等，无不需要强有力的曲面造型工具。基于不同的的应用需求，衍生了相应的曲面造型技术，其中包括起源于飞机设计的外形放样（lofting）的参
4、数曲面造型技术；描述人体肌肉、云、烟等独具特色的隐式曲面造型技术；在表达复杂拓扑物体时能够自然保证光滑连续的细分曲面造型技术；以及网格曲面和点模型等等。传统曲面造型方法中的造型手段过于简单，尤其在汽车覆盖件、家用电器等需要艺术造型的创造性设计中，难以实现曲面的有效修改。变形技术（Deformable model）的研究就是在这种背景下产生的，其中能以自然、高效的方式实现曲线曲面变形更是研究者所追求的目标。变形技术作为一类源于几何造型领域的曲面设计方法，伴随着计算机硬件设备和图形学算法的高速发展，在计算机辅助设计和计算机图形学领域焕发出蓬勃的生命力并大放异彩，被广泛应用于几何建模、编辑和光顺等
5、CAD 操作和计算机动画、影视特技等数字娱乐行业。目前通用的商业 CAD 系统 UG, CATIA,Think3 等无不包含以变形技术为核心的功能模块，而玩具总动员、侏罗纪公园和泰坦尼克等影视作品更是将变形技术的超凡魅力发挥的淋漓尽致 f2,3多分辨率 B 样条小波与 Snake 相结合Scochenborg 在上世纪四十年代首先提出 B 样条方法，后来经过Battle、Chui、Daubehies 以及 Quak 等人的不断发展，现在它已经被广泛应用于图像和信号处理。B 样条光滑、连续，可以有效的计算出信号的精确或近似 B 样条表示，B 样条在阶数很大时能够充分逼近 Gaussian 函数，
6、而计算量不会随尺度的增大而增加，因此，许多基于 Gaussian 函数的经典算法都可以被套用，并且能够借助其优良的品质推导出更好的快速算法Uner 。另外，B 样条有最小支撑，能够用来构造有小支撑的小波。正因为 B 样条具有以上诸多优点，它已经被广泛应用于图像处理领域。主动轮廓模型又称 Snake 模型，Snake 是一条封闭的或不封闭的弹性曲线，它是用若干个受控点组成的集合来表示。在寻找指定特征轮廓时，它通过弹性曲线变形和移动，从图像的初始位置逐渐逼近物体的真正边界。Snake 是能量极小化的样条，其内力约束它的形状，外力引导它的行为，图像力将其拖向显著的图像特征附近，准确地将它们极小化。基
7、于特征的外力的变形模型第三章提出了一种基于包含几何形状信息的弹性变形模型来进行图象变形匹配的新方法。该模型融合了基于区域的和基干特征的这两类外力求取方法，提出了一种包含几何形状信息的外力求取方法来驱动模型的变形，从而提高了变形的准确度和可靠性。（基于可变形模型的图像分割与图像配准研究-博，基于点云的空间对象表面重建及其多分辨率表达方法研究_博，可形变模型及其在心脏核磁共振图像分析中的应用研究_博，小波技术在反求工程中的若干应用_博，基于形状特征的自由曲面 CAD 重构理论及应用研究_博，）参数主动轮廓模型（PACM）研究(基于可变形模型的图像分割相关技术研究) 可摘取论文的摘要部分作为论文研究
8、的方向及内容可变形模型是指具有一定的形变能力，可利用微分几何、弹性动力学、材料特性、优化近似理论等数学和物理工具对所研究的图像目标进行抽象描述、重建、识别及变形特性仿真模拟的模型。由于可变形模型对目标变形的高度自适应性和与高层交互的灵活性，使其具备了诸多引人入胜的优良特性，已成为计算机视觉及模式识别领域中一种强有力的研究工具。最早出现的主动轮廓模型是 Kass，Witkin 和 Terzopoulos 于 1987 年第一届 ICCV 大会和 1988 年的国际计算机视觉期刊上提出，又称为 Snakes 模型。作为对 Marr 传统分层视觉理论的挑战者及主动视觉的雏形，Snake 率先打破了传
9、统方法的旧框架，利用高层信息指导底层建模，为计算机视觉理论和应用研究引入了新的观念和模式。将目标边界作为一个完整的模型来考虑，首先对目标轮廓进行交互建模并参数化模型表示，先验模型中通常包含一些对待分割目标形状和特征进行约束的先验性假设并转化成抵制模型变形的内部能量，图像数据被转化成驱动模型运动变形的外部能量，能量函数充当了先验模型与图像特征之间匹配程度的度量。变形过程被看作是具有某种物理特性的模型在内外部能量共同作用下朝着感兴趣目标轮廓运动，通过求解能量函数的极小值来实现先验模型与目标轮廓之间的最佳匹配，获得目标边界紧凑且一致的表达。实际上，PACM 为范围广泛的一系列视觉问题( 如边缘和主观
10、轮廓的提取、图像分割、运动跟踪、立体视觉匹配等) 建立了统一的物理描述。尽管具有上述诸多优点，但在实际应用 PACM 时，也存在模型初始化需人工参与且对初始位置较为敏感，凹陷边缘处收敛效果不太理想及不具备拓扑结构自动变化能力等几个显著的不足。Amini 等提出了 DP（Dynamic Programming）Snakes 模型，用。Cohen 等提出的 Balloon 模型是对 Snake 的重要改进，它在模型中引入一个法线方向膨胀外力，允许初始轮廓离真实轮廓有一定距离，使模型具有更强的动态行为能力。Staib 等提出基于 Fourier展开式的主动轮廓曲线表达，根据 Fourier 系数可得
11、到表征曲线形状的全局特征描述。Ronfard 等引入了基于背景和目标区域统计模型的能量函数，在 Snakes 的基础上增加了对模型内部区域信息的评估。Xu 等提出了基于梯度矢量流的模型（GVF Snakes），计算整个图像域的梯度向量场作为外部力，用于改善传统 Snakes 的初始化困难和模型对凹陷边界收敛能力差的局限性。目前，对 PACM 的研究大致可分为五个方面：一是对 PACM 外力的研究与推广，如Balloon 模型、距离势能力、梯度矢量流（GVF）力场、带有梯度方向信息的外力等10-20 ；二是对 PACM 能量泛函最优化技术的研究，如有限元方法、动态规划、贪婪算法、遗传算法、神经网
12、络、模拟退火随机松弛技术等；三是是研究 PACM 模型如何与 B 样条、多尺度分析、小波理论、模糊数学、各向异性扩散滤波等其他技术相结合产生新的模型；四是对模型中的关键性问题如模型初始化、参数选取、迭代算法终止准则等问题的研究；五是研究 PACM 模型在各种实际问题中的应用及推广。参数主动轮廓模型能量泛函设 是给定的灰度图像，主动轮廓模型是图像平面中一种具有能量的，并可以在能(,)Ixy量驱动下进行变形的闭合或不闭合二维参数曲线模型:x(s,t) _ x(s,t),y(s,t), s s 0,1J。这里，x(s,t)表示成空间位置参数 :和时间迭代参数 t 的矢量函数。当:从 0 变到 I时，
13、矢端曲线对应图像平面中一条完整的二维曲线，若令 x(O,t) = x(l,t)，则对应一条闭合曲线;当 t 按设定的时间步长 8r 进行迭代时，曲线以能量极小化作为目标，不断地动态演化和变形，当能量达到极小值时，PACM 将最终逼近目标轮廓。我们约定:当只考察其中一个参数的变化时，另一个参数可以不标出。由于 PACM 的能量函数充当了先验模型与图像特征之间匹配程度的度量，PACM 最终将变形为能量最小的参数曲线，所以能量函数完全决定了 PACM 的变形行为。因此，关键问题是如何设计合适的能量函数表达式以及如何有效控制内外部能量共同协调工作，使能量函数的最小值对应目标的准确轮廓，符合并且最佳符合
14、各个方面的要求。在某个固定时刻，PACM 的能量函数通常定义如下 06. asp泛函极值的 Euler-Lagrange 方程考虑泛函 ，其定义域为函数集合,(),()baIyFxyxd4 0011()|(),(),()IxCybayb其中， 是一个已知的标量函数，对各变元有三阶连续偏导数。 为定义在区间,nCab上的有 阶连续导数的函数全体的集合。,abn定义 1 设泛函 的定义域为 ，若对 ， ，使当Iy4(),ICab0()yI0时， ，则称泛函 在点 处有极小值。同样可以类似的定义0(),)yIOy0y0其极大值。为了研究泛函 在点 有极值的必要条件，采用 Lagrange 方法：任取
15、一个定义在I0y上的一元实函数 ，使 有四阶连续导数且有 。,ab ()0,(),()0,()abab则不难验证， ，函数 ，定义实函数0()I 000(),(),(),()baIyFxyxyxyxd显然， 关于 连续可微。若 在点 处有极值，例如有极小值，则当 充分小I时，由于 能够充分接近 ，从而由定义 1 可知下式成立：0y0y0()()Iy这说明一元函数 在 处有极小值。因此，必有 。而()0 234() )baFdx其中 分别表示 对其第二、第三、第四变元的偏导数。又由于234,FF 3333|bbbaa addxxFdx 4444|bbbaa aF22 444(| )bbaaddd
16、xFxx故 2 234()badFFx从而得到泛函 在点 处存在极值的必要条件：Iy02 234()(0badFxdx将上式左端记为 ，并按 Lagrange 的方法，将 称为泛函 在点 处0(,)DIy0,)DIyIy0的变分。显然，泛函 在点 处的变分 还与 有关。0(,)Iy定理 1：泛函 在点 处有极值的必要条件是：对任意属于 且满足Iy0 4,Cab的 ，有 ()0,(),(),()abab0(,)I引理 1：设 在 上连续，如果对任意属于 且满足fx, 4,ab的 ，有 ，则 有 。 ()0,(),()0()abab()0bafxd,xab()0fx证明：若结论不成立，则由 的连续
17、性，设存在区间 ，使得fx,c， ，定义 为()()fxf或 ,xcd44(),)0, cdxdabc则容易验证 属于 且满足 ，并且4,Cab ()(),()0,()ab()0bafxd与假设矛盾，证毕。定理 2：泛函 在点 处有极值的必要条件是： ，有Iy0 ,xab2 200300400,(),(),(),(),(),()ddFxyyxFyxyxFxyyx定理 2 是变分法理论的一个基本结论，而方程 2 00300400,(),(),(),(),(),()ddxyyxyxyxxyyx就称为 Euler-Lagrange 方程，简称 Euler 方程。泛函 在点 处取极值的必要条件就I是，
18、 是对应 Euler 方程的解。并称 Euler 方程的解为泛函 的0y ,(),()bayFxyxd极值曲线。对于 元矢量函数 的实泛函n1(),()nyxyx ,(),baIFyxd其定义域为矢量函数的集合 4 0011()|(),(),(),(),()IyxCcbyacbd这里的 定义为已知的 元标量函数，对各变元有三阶连续偏导数，而F31n为已知的 元常向量。01,cd根据以上理论，显然 2 100100100,(),(),(),(),(),()k kn knddxyyxFxyyxFxyyx 上式即为泛函 的 Euler 方程，而且矢量函数 的泛函 的极值点也一定是一条极I I值曲线。
19、这样就把求泛函的极值问题转化为解微分方程的边值问题。参数可变性模型的能量泛函方程求解参数化可变形模型的理论基础（研究背景知识）在传统的计算机视觉领域。严格的各自独立的分层理论有广泛的影响，这种理论认为，底层的视觉任务的完成只能依赖于从图像本身获得的信息。Kass 等人对这种模型提出了挑战，于 1987 年提出了称为 Snake 的可变形模型（Deformable Models）。可变形模型利用图像的先验知识和图像的本身信息来进行图像分割。由于理解和习惯的不同，可变形模型有不同的名称。在二维平面上，它可以被称为蛇模型（Snakes），主动轮廓（Active Contours），气球模型（Ball
20、oons），可变形轮廓（Deformable Contours）；而在三维空间中，又被称为可变型曲面（Deformable Surfaces）或主动曲面（Active Surfaces）。因为可变形模型的实现过程利用了图像灰度幅值的不连续性，所以从广义上讲，它仍然属于边缘检测的方法。但与传统的基于图像局部信息的边缘检测方法相比，这种基于模式的、全局化的方法有两个突出的优点。其一，通过对提取边界的平滑限制，并包容了感兴趣轮廓形状的先验知识，可变形模型对噪声和边界间隙的鲁棒性都较强。其二，可变形模型由于其自身的形式特点，允许将边界元素整合为连贯一致的数学表示形式，这实际上是将边缘检测和边缘连接合而
21、为一了，这为后续处理提供了极大的便利。可变形模型分为参数化可变形模型（Parametric Deformable Models)和几何化可变形模型(Geometric Deformable Models)两类。参数化可变形模型在变形过程中把所要研究的曲线或曲面直接表示出来。这种表示方法允许对模型的直接干预，而且可以为快速实时应用提供一紧凑的表达形式。但对改变模型的拓扑学结构，比如分裂与合并的实现。参数化可变形模型却显得无能为力。与此相反，几何化可变形模型能够很容易地实现拓扑学变化。这种基于曲线变化理论和等高线方法的模型，把所研究的曲线或曲面用等高线函数间接地表示出来。它们的参数化过程仅在完全变
22、形之后才予以实现。这样拓扑学的变化便能够顺利完成。除去这点区别以外，两者在原理上是极为相似的。参数化可变形模型的理论基础体现了几何学、物理学和逼近理论等多学科的综合运用。几何学用来表征所研究的曲线，物理学对曲线如何在空间和时间轴上变化加以限制，逼近理论则为模型趋于精确解提供理论保证。能量最小化模型就是寻找一条参数化的曲线使已加权的内能和势能之和取最小值的过程。内能决定了曲线的张力即平滑性。而势能定义在所研究的图像平面上，在所感兴趣的特征区域（通常是轮廓边界）取极小值，总能量最小化的过程是通过内力和势能力的共同作用来实现的。内力使得曲线平滑保持在一起（弹性力）且使曲线不会过度弯曲（弯曲力）。势能
23、力的作用是使得模型向图像特征区域移动，曲线在两种力的共同作用下，从初始位置逐步趋向物体的轮廓边界。从数学角度而言，可变形轮廓就是定义在图像平面 的一条参数化的曲线2(,)xyR，该曲线通过图像的空间区域达到以下能量泛函的极小值点：(),()0.1Xsxys)ESPX式右边第一项为内能泛函，定义为2210()()()XSssds其一阶偏导数项抑制曲线的伸长，使得模型类似弹性系统；二阶导数项抑制曲线的弯曲，使其行为类似刚性杆。权重系数 调整轮廓的张力， 调整轮廓的刚度，分别用()s()s来控制模型的扩张和弯曲的程度。在实际应用 和 通常设为常数。若 为零，()s()s则该点不连续；若 为零，则存在
24、一个曲率断点，即角点。()s式右边第二项为势能泛函，定义为沿着图像轮廓 的某种给定的势能函数 的()Xs(,)Pxy积分。 10()()PXsd势能函数 通常由图像数据直接得到，并在图像边界处及其它感兴趣的图像特征,xy处取极小值。这样就把求解满足最小能量 的曲线 的问题，转化为一个典型的变分()EX()s问题。根据变分原理，曲线 应该满足 Euler-Lagrange 方程:()Xs（1）220XPss为了更好的理解可变性模型，从物理学角度可将上式视为一个力平衡方程： int()()0poiF内力定义为：2int 2Xss势能力定义为： ()()poiFP为了求解 Euler-Lagrang
25、e 方程，可以把 看做时间 的函数，即 ，这样可变性()st(,)Xst模型就可以视为动态模型，可得到方程： （2）22XPts引入 是为了是等式两边的单位量纲一致，当 趋于稳定时，等式左边项为零，就 (,)t可以得到方程 1 的一个解。通过把初始轮廓放置在图像平面上，并使其按照方程 2 进行变形，就可以完成能量最小化的过程。参数可变性模型的势能力类型 采用可变形模型的目的是为了使可变形轮廓在外力的引导下向着目标图像特征移动，内力的作用仅仅是保持曲线的平滑性。因此，采用何种外力，使外能的局部最小值与图像的强度极值、边缘或其它感兴趣图像特征相吻合，就成为主动轮廓建模的关键。目前最具代表性的几种外
26、力模型分别是传统高斯势能力、多尺度高斯势能力、气球模型、距离势能力、原始梯度矢量流模型、广义梯度矢量流模型。Kass 等提出的 Snakes 模型中所使用的传统高斯势能力有两个应用难点，首先是捕获范围的局限性，初始轮廓线必须设置在离真实边界较近的位置上，为了解决这个问题，人们提出了 multiresolution 方法、气球膨胀力和距离势能力等增加外部压力和距离势能等多种改进方法，提高外部力的作用范围，从而引导轮廓线趋向真实边界；传统 Snakes 模型的另一个问题是无论高斯力还是距离势能力，都存在凹陷边界处的收敛问题，即无法捕获凹陷特征。Xu 和 Prince1516提出了一种全新的思想来解
27、决以上问题，梯度矢量流模型（GVF, Gradient Vector Flow）。GVF 模型的创新在于对边缘图（edge map）用扩散方程进行处理，以得到整个图像域的梯度矢量场，并将其作为作为外部势能力。GVF 模型不需要预先知道初始轮廓向外扩张还是向内收缩，因为它的初始轮廓既可以在我们感兴趣物体的边缘之外。又可以在它之内，甚至还可以跨越它。同时模型有较大的捕获范围，对轮廓线初始位置不敏感。可以收敛到凹陷的边界，对梯度绝对值的大小乃至噪声具有更好的鲁棒性，这是通过扩散过程来实现的。广义上讲，外力可以分为两大类，即静态力的和动态力。传统高斯势能力是典型的静态外力，它是由图像数据直接计算出，不
28、随变形过程的变化而变化。与此相反，动态力则会随着变形过程发生变化，例如而动态外力则与此相反。气球模型的外力就是动态外力。定性。例如，气球模型中，动态外力的引入显然增加了可变形模型操作的复杂性和表现的不确必须预先指定压力的方向;如果它们作用过强，在弱边界处会越界; 相反，如果作用太弱，或是出现方向性错误，可变形轮廓也不会进入凹形边界。给定灰度值图像 ，将其看作连续位置变量 的函数，可得到使轮廓向阶梯边(,)Ixy(,)xy缘移动的典型的势能函数：反求建模中的特征识别与模型优化（机械零件反求建模关键技术研究_博）建立具有设计特征的数字模型的一般过程可以描述为：首先由表面反求获得初始数字模型，并建立
29、属性邻接图（属性邻接图（Attributed Adjancecy Graph）是由 Joshi 和 Chang提出的，通过定义一种“图”结构来表示由面围成的形体信息（S. Joshi, Chang T. C. Machined features from Graph 一 based heuristics for recognition of a 3D solid model.Computer-Aided Design. 1988, 20 (2):58-66）然后进行特征提取，并分析添加约束规律；最后修正各个特征之间的约束关系，建立特征模型。三维形体特征识别：在基于反求工程的建模过程，高级特征模
30、型的建立，不是直接利用“特征”去建立模型，而是在初始模型的基础上通过特征识别来重构特征模型，这是面向设计的反求建模的重要特点。反求建模系统中的特征主要指原型的几何特征，包括特征点、特征线、特征面和特征体。特征识别问题一直是反求工程中的一个瓶颈，也是当前反求工程研究的热点和难点问题之一。面向产品再设计目标，反求建模的策略是提取特征体素，其中最为关键内容是特征体素的定义与表达和识别规则的建立。事实上，基于特征及约束的 CAD 建模具有诸多优点：能捕捉和还原设计意图，使重构模型更接近原型；能准确表述零件的几何关系，易于实现测量数据和零件的定位；重建模型实现参数化表达，方便设计的编辑、修改，达到改进及
31、创新设计；包含的几何特征信息有利于后续的 CAPP/ CAM过程的特征识别等。（以下内容已修改，参考 6.3 节）通过逆向设计所建立的的模型，由于受到测量数据噪声和曲线曲面重构方法的影响，重构模型与实物相比总会存在一定的误差。通过对模型特征施加特定约束（设置一定的参数阀值），对重构模型在反求过程中产生的偏差进行修正，可以提供模型的整体精度，通过对模型整体施加约束并进行求解达到模型优化的目的。变形模型理论第二章 参数变形模型理论与方法（变形模型及其在医学图像分割中的应用研究_博、梯度矢量流 GVF 变形模型在医学图像分割中的应用、可变形模型在医学图像分割中的应用、基于可变形模型的图像分割相关技术
32、研究、基于物理的可变形模型在医学图像分割中的应用、基于可变形模型的图像分割与图像配准研究_博、可变形模型提取磁共振图像脑区域的方法研究）参数变形模型最早是 Kass, Witkin 和 Terzopoulos 等人在 1987 年提出的，发表了题为Snakes： Active Contours 的论文，其中首次提出了运用参数变形模型进行二维和二维图像提取的思想。此后，参数变形模型的理论得到了很大的发展，其应用范围也越来越广泛。参数变形模型也衍生出具有各种不同特点的名称如蛇模型、活动轮廓模型、活动曲面、变形轮廓等。参数变形模型是一类定义在图像域中的能量极小化的样条曲线。模型的变形受到同时作用在模
33、型上的多种不同力的控制。每一种力产生一部分能量，这部分能量表示为参数变形模型的能量函数的一个独立的能量项。参数变形模型应用到图像上，在它的能量函数发生最小化的过程中，其形状也随着发生变化，使得模型变得“活动”起来，当所有的作用力达到一种平衡状态时，演变过程就停止。参数变形模型的变化方式如图 2.1 所示。这种力平衡状态等价十能量函数的最小化状态。这样，图像分割问题就转变成为一个最优化问题，最优化的目的就是获得最小化的参数变形模型的能量函数。在本章，分别对参数变形模型理论中的模型描述、模型的能量函数以及能量泛函的最小化进行介绍，最后给出目前最为常用的几种外力模型，并对各种模型外力进行分析。2.1
34、 参数变形模型的能量变形轮廓能量最小化的前提是通过使其内能和势能的加权和最小来确定参数化曲线。内能决定了轮廓的扩张或光滑程度，势能定义于图像区域，且在对象边界的图像强度边缘处达到极小值。对总能量取最小值得到内力和势力。内力使得曲线保持在一起（弹性力）且使曲线不过度弯曲（弯曲力），外部势能力引导曲线收敛到图像轮廓边缘。设 是给定的灰度图像，变形模型就是指图像平面中一种具有能量的、可不断变形(,)Ixy的闭合或不闭合二维参数曲线模型： ， 表示空间位置参(,)(,),0.1Xstxtys(,)Xst数 和时间迭代参数 的矢量函数， 为弧长参数。当 从 0 变到 1 时，参数曲线对应图像平st面中一
35、条完整的二维曲线。若 时，上式的变形模型是一条封闭曲线，否则模型(0)1为一条开放式曲线。当 按设定的时间步长 进行迭代时，曲线以能量极小化作为目标，不t t断地动态拟合和变形，当变形模型能量达到极小值时，曲线将最终逼近目标轮廓。由于很难准确的得到曲线的解析形式，因此 Kass 等人采用有限差分法来求解得到曲线的一种多项式近似表示形式。将二维离散参数变形模型表示为 个顶点 的有序n(,)nnXxy集合，所有的顶点组成一个矢量 ， 时轮廓曲线为封闭曲线。变011(,)nXX 01形模型的能量函数充当了先验模型与图像特征之间匹配程度的度量，所以能量函数完全决定了模型的变形行为。因此，关键问题是如何
36、设计合适的能量函数表达式以及如何有效控制内外部能量协调工作，使能量函数的最小值对应目标图像的准确轮廓，符合各个方面的要求。参数变形模型的能量通常由以下能量泛函（Energy Funcitonal）定义： 1int0()()()enrgyerimageconEXsEsXsd 其中， 是模型的内能，用以描述曲线的平滑性； 是模型图像能，由曲线上或inter image曲线附近的图像特征定义。2.1.1 内能根据样条曲线的形变所需的能量特征，内能泛函 定义为interE221int0()()erXEssds上式中的一阶偏导数项 表示弹性能量项 ，用来描述模型曲线的弹性，抑制曲()Xselastic线
37、的伸长，使得模型类似弹性系统；二阶导数项 表示弯曲能量项 ，描述模型曲线()blendE的刚性，作用是抑制曲线的弯曲，使其行为类似刚性杆。权重系数 、 分别用来调()s整和控制轮廓曲线扩张和弯曲的程度。若 设定为零，则表示该点不连续，若 设为()s()s零，则表示存在一个曲率断点，即曲线角点。 和 都是曲线的物理系数，共同控制()s曲线的变化行为，在实际应用 和 通常设为常数。如果没有外部能量项的作用，且()s初始轮廓线封闭，则轮廓线在内部能量项的作用下将会收缩成为一点。若初始轮廓线的两个端点固定，则会变成一条线段，且轮廓点均匀分布在轮廓线上。2.1.2 图像势能为了使模型曲线朝着图像中的目标
38、轮廓移动变形，还必须添加目标图像中的一些特征信息，这些信息利用图像能 体现对参数变形模型的作用，控制变形模型曲线朝目标方imageE向运动以及何时停止。图像能 由图像数据计算得出，在对象边界处及其它感兴趣的特i征处取得极小值，图像能决定着模型曲线与图像的关系，对模型曲线的变形行为起着很重要的作用。 是以下三个能量函数的加权组合。imageEimagelineedgtermEwEw上式中的系数 是调整每个图像特征能量函数的权值系数，使变形曲线可以被吸引吸w引到图像的不同特征，并呈现出不同的形变行为。是线函数能量，定义为 ，其中 是具有标准差lineE(,)(,),linexyGIxy(,)Gxy
39、的二维高斯函数，权值 的正负决定模型将被吸引到图像中的暗线或亮线上。其中正值l用于在白背景上确定黑线轮廓，负值用于在黑背景上确定白线。边缘能 是一种势能，典型的势能函数定义为：edgE2(,)(,),edgExyGxyI其中 是具有标准差 的二维高斯函数， 为高斯梯度算子，通常权值 为正，(,)Gxy ew且取值要大于其他两种图像能量的权值，目的是在边缘附近形成一个吸引变形曲线的势能场，这样当能量 达到极小值时，变形模型轮廓将被吸引到图像中梯度值较大处，比如edgE图像边缘。末端能量 根据 Kithen 和 Rosenfeld的角点存在性测度定义给出，当变形模型逐渐term被吸引到的图像中的高
40、曲率点或目标角点的附近时，能量 逐渐减小。众多实验表明在termE轮廓提取中起重要作用的是边缘能量，末端能量可以被忽略不计，所以变形模型的外部能被简缘缘化边缘能。边缘能 Sedge 和终止能 Eterm 合称为外部能 Eexternal，但是众多实验表明在轮廓提取中边能扮演了更重要的角色，终止能可以被忽略不计，所以变形模型的外部能可以简化为边缘能。2.2 参数变形模型的能量极值变形模型利用能量极小化方法使模型与图像数据相匹配，一般先定义描述问题函数，建立模型能量泛函，在模型内部控制力和外部图像力相互作用下使曲线或曲面运动变形并使能量函数达到极小值，从而收敛到图象中的轮廓边缘或感兴趣的图象特征。
41、变形模型的数学基础融合了凡何学、物理学和近似理论，几何学表达模型的结构形状，物理学约束模型形状在时间和空间上的变化，优化近似理论提供模型和测量数据相匹配的基本机制冉鑫 。能量极小化机制的基本前提是找到一条可以最小化内能与势能的加权和的参数化曲线，在图像区域定义一闭合曲线 作为初始轮廓线，对由初始曲线定(,)(,),0.1Xstxtys义的能量泛函取极小值就得到内力和外力，内力使得曲线保持在一起且不会过度弯曲，图像外力将曲线引向目标对象边界，初始曲线在内力和外力的共同作用下向目标轮廓移动。能量泛函的极值表示如下： 1220()()|(|)|(|)2extXssXsEds，在目标轮廓处曲线的能量达
42、到最小。内力由可变形模型的光滑性和弯曲程度来决定;外力则由目标图像的特征来决定，使包络向目标特征处移动，曲线的能量定义如下:内部能量控制变形曲线的弹性和平滑性，外部能量定义在图像区域上，一般在图像的边缘处有最小值。对总能量取极小值得到内力和图像势力。内力使得曲线保持在一起且不会过度弯曲，图像势能力将曲线引向目标对象边界。找到对象边界，首先在图像区域初始化参数曲线，然后在两种力的作用下，将其移动到势能最小点。研究变形模型一般先定义描述问题的泛函，然后根据泛函取极值的必要条件建立偏微分方程，再用数值解法得到泛函模型的解，最后结合实际问题对数值解进行分析。参数变形模型和几何变形模型都是可用泛函来描述
43、的模型，本节简要给出泛函与变分的定义、泛函极值存在的必要条件、依赖十多个未知函数和高阶导数的泛函取极值时应满足 Eider 方程及其数值计算方法。参数变形模型和几何变形模型为依赖十多个一兀函数的泛函，本节给出这种情形下泛函取极值时应满足的 Eider 方程组。根据以上内部能量和外部能量的构造方法，为使总能量达到极小值，需要求解以下泛函：2.2.1 能量函数极值的变分解法（或泛函极值泛函极值的 Euler-Lagrange 方程）考虑泛函 ，其定义域为函数集合,(),()baIyFxyxd4 0011()|(),(),()IxCybayb其中， 是一个已知的标量函数，对各变元有三阶连续偏导数。
44、为定义在区间,nCab上的有 阶连续导数的函数全体的集合。,abn定义 1 设泛函 的定义域为 ，若对 ， ，使当Iy4(),ICab0()yI0时， ，则称泛函 在点 处有极小值。同样可以类似的定义0(),)yIOy0y0其极大值。为了研究泛函 在点 有极值的必要条件，采用 Lagrange 方法：任取一个定义在I0y上的一元实函数 ，使 有四阶连续导数且有 。,ab ()0,(),()0,()abab则不难验证， ，函数 ，定义实函数0()I 000(),(),(),()baIyFxyxyxyxd显然， 关于 连续可微。若 在点 处有极值，例如有极小值，则当 充分小I时，由于 能够充分接近
45、 ，从而由定义 1 可知下式成立：0y0y0()()Iy这说明一元函数 在 处有极小值。因此，必有 。而()0 234() )baFdx其中 分别表示 对其第二、第三、第四变元的偏导数。又由于234,FF 3333|bbbaa addxxFdx 4444|bbbaa aF22 444(| )bbaadddFFxFxx故 2 234()badFx从而得到泛函 在点 处存在极值的必要条件：Iy02 234()(0badFFxdx将上式左端记为 ，并按 Lagrange 的方法，将 称为泛函 在点 处0(,)DIy0,)DIyIy0的变分。显然，泛函 在点 处的变分 还与 有关。0(,)Iy定理 1
46、：泛函 在点 处有极值的必要条件是：对任意属于 且满足Iy0 4,Cab的 ，有 ()0,(),(),()abab0(,)I引理 1：设 在 上连续，如果对任意属于 且满足fx, 4,ab的 ，有 ，则 有 。 ()0,(),()0()abab()0bafxd,xab()0fx证明：若结论不成立，则由 的连续性，设存在区间 ，使得fx,c， ，定义 为()()fxf或 ,xcd44(),)0, cdxdabc则容易验证 属于 且满足 ，并且4,Cab ()(),()0,()ab()0bafxd与假设矛盾，证毕。定理 2：泛函 在点 处有极值的必要条件是： ，有Iy0 ,xab2 20 3004
47、00,(),(),(),(),(),()ddFxxFyxyFyxy定理 2 是变分法理论的一个基本结论，而方程 2 00300400,(),(),(),(),(),()ddxyyxyxyxxyyx就称为 Euler-Lagrange 方程，简称 Euler 方程。泛函 在点 处取极值的必要条件就I是， 是对应 Euler 方程的解。并称 Euler 方程的解为泛函 的0y ,(),()bayFxyxd极值曲线。对于 元矢量函数 的实泛函n1(),()nyxyx ,(),baIFyxd其定义域为矢量函数的集合 4 0011()|(),(),(),(),()IyxCabycbdyacbd这里的 定义为已知的 元标量函数，对各变元有三阶连续偏导数，而F31n为已知的 元常向量。01,cd根据以上理论，显
