1、2.3 函数的奇偶性与周期性,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.函数的奇偶性,-4-,知识梳理,双击自测,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0;f(x+T)=f(x) 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 ,那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,-5-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,5,6,1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)
2、“a+b=0”是“函数f(x)在区间a,b(ab)上具有奇偶性”的必要条件. ( ) (2)若函数f(x)是奇函数,则必有f(0)=0. ( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. ( ) (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. ( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-,0)内是减函数,则在(0,+)内是增函数. ( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. ( ),-6-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,5,6,2.定义域为R的四个
3、函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,5,6,3.(2015福建福州模拟)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,5,6,4.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,5,
4、6,5.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则实数a= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,5,6,6.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x(0,+)时,f(x)=lg x,则满足f(x)0的x的取值范围是 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,5,6,自测点评1.判断函数的奇偶性,应先考察函数的定义域是否关于原点对称.若不对称,则该函数为非奇非偶函数. 2.若函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则有f(0)=0. 3.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 4.根据周期函数的定义
5、,函数的周期应是一个非零常数.,-12-,考点一,考点二,考点三,考点一函数的奇偶性的判断自助训练过关 1.(2014课标全国,文5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数,答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,2.(2015福建,文3)下列函数为奇函数的是( ) A.y= B.y=ex C.y=cos x D.y=ex-e-x,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结判断函数
6、奇偶性常用方法及思路: (1)定义法:(2)图象法:,-15-,考点一,考点二,考点三,(3)性质法:“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇奇”是偶,“奇奇”是偶; “偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶偶”是偶,“偶偶”是偶; “奇偶”是奇,“奇偶”是奇. 提醒:1.分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的取值范围相应地化简解析式,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断. 2.“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. 3.“性质法”在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程.,-16-,考点一,考点
7、二,考点三,考点二函数奇偶性的应用师生互动探究 例题(1)(2015课标全国,文12)设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是( ),答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( ) A.1,3 B.-3,-1,1,3,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,(3)(2014课标全国,文15)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总
8、结函数奇偶性的应用: (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式. (2)已知含有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定系数法:利用f(x)=f(-x)产生关于字母参数的恒等式,由系数的对等性可得知字母参数的值. (3)奇偶性与单调性综合时,要注意奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性情况. (4)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.这一结论在解决问题中十分便捷,但若f(x)是偶函数,且在x=0处有定义,就不一定有f(0)=0,如f(x)=x2+1是
9、偶函数,而f(0)=1.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练1已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,bR),f(lg(log210)=5,则f(lg(lg 2)=( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练2(2015山东烟台模拟)已知定义域为R的函数 是奇函数,则a= ,b= .,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,考点三函数的周期性及其应用师生互动探究 例题(1)(2014大纲全国,文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ) A.-2 B.-1 C
10、.0 D.1,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,(2)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数,且在0,2上的解析式为,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形: (1)若函数f(x)满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数f(x)的一个周期; (2)若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f(x+a)+a=-f(x+a)=f(x),所以2a是函数f(x)的一个周期;,-25-,考点一,考点二,考点三,2.函数周期性的重要应用 利用函数的周期性,可将其他区间上的求
11、值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解.,-26-,考点一,考点二,考点三,对点练习已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(3)= ;f(2 031)= .,答案,解析,-27-,思想方法,核心规律,方程思想在函数奇偶性中的应用 方程思想是一种重要的数学思想.已知函数的奇偶性求参数值问题就可以利用函数的奇偶性的定义:f(-x)=f(x)或f(-x)f(x)=0构造方程,使问题得以解决.特别是一些选择题、填空题,可以直接利用特殊值建立方程快速求解.,-28-,思想方法,核心规律,典例若函数 为奇函数,则实
12、数a的值为 . 答案:-1,-29-,思想方法,核心规律,对点练习若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .,答案,解析,-30-,思想方法,核心规律,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=03.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性.,-31-,思想方法,核心规律,满分策略 1.函数具有奇偶性的一个必要条件是函数定义域关于原点对称,因此判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域. 2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.,
