1、第 1 页 共 17 页高考文科数学分类汇编立体几何1、选择题1.【2018 全国一卷 5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为12OA B C D122102.【2018 全国一卷 9】某圆柱的高为 2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点 在正视图M上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上AN的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的B路径中，最短路径的长度为A B C3 D2172523.【2018 全国一卷 10】在长方体 中， ， 与平1AB2ABC1面 所成的角为 ，则该长方体的体积为1C30
2、A B C D86282834.【2018 全国二卷 9】在正方体 1ADB中， E为棱 1C的中点，则异面直线 E与 CD所成角的正切值为A 2B 32C 52 D 725.【2018 全国三卷 3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是第 2 页 共 17 页6.【2018 全国三卷 12】设 ABCD， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为 93，则三棱锥 DABC体积的最大值为A 123B 18C
3、 243D 543 7.【2018 北京卷 6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1 B.2 C.3 D.4侧侧侧2211第 7 题图 第 8 题图8.【2018 浙江卷 3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 3）是A2 B4 C6 D89.【2018 浙江卷 8】已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等， E 是第 3 页 共 17 页线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为 1， SE 与平面 ABCD所成的角为 2，二面角 SABC 的平面角为 3，则A 1 2 3 B 3 2 1
4、C 1 3 2D 2 3 110.【2018 上海卷 15】 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A）4 （B） 8（C）12 （D）162、填空题1.【2018 全国二卷 16】已知圆锥的顶点为 S，母线 A， SB互相垂直， SA与圆锥底面所成角为 30，若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_2.【2018 天津卷 11】如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥A1BB1D1D 的体积为_3.【2018 江苏卷 10
5、】如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点第 4 页 共 17 页的多面体的体积为 三、解答题1.【2018 全国一卷 18】如图，在平行四边形 中， ，ABCM3AC，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，且90ACM ACDBD（1）证明：平面 平面 ； B（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱QAPC23BPDQA锥 的体积BP2.【2018 全国二卷 19】如图，在三棱锥 PABC中， 2，4PABC， O为 AC的中点（1）证明： P平面 B；（2）若点 M在棱 上，且 2M，求点 C到平面 POM的距离第 5 页 共 17 页3.【2018 全国三卷
6、 19】如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧 ACD所在平面垂直，M是 ACD上异于 ， 的点（1）证明：平面 平面 M；（2）在线段 上是否存在点 P，使得 C 平面 PBD？说明理由4.【2018 北京卷 18】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面PAD平面 ABCD， PA PD， PA=PD， E， F 分别为 AD， PB 的中点.（）求证： PE BC；（）求证：平面 PAB平面 PCD；（）求证： EF平面 PCD.5.【2018 天津卷 17】如图，在四面体 ABCD 中， ABC 是等边三角形，平面第 6 页 共 17 页ABC平面 ABD，点 M 为
7、棱 AB 的中点， AB=2， AD= ， BAD=9023（）求证： AD BC；（）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；（）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值6.【2018 江苏卷 15】在平行六面体 中， 1ABCD11,ABC求证：（1） 平面 ；AB 1（2）平面 平面 11C7.【2018 江苏卷 22（附加题）】如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB=AA1=2，点 P， Q 分别为 A1B1， BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值第 7 页 共 17 页8.【2018 浙江卷
8、 19】如图，已知多面体ABCA1B1C1， A1A， B1B， C1C 均垂直于平面ABC， ABC=120，A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=2（）证明： AB1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值9.【2018 上海卷 17】已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为O，半径为 2（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设 PO=4， OA， OB 是底面半径，且 AOB=90，M 为线段 AB 的中点，如图，求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小.第 8 页 共 17 页参考答案1、选择题1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B
9、7.C 8.C 9.D 10.D2、填空题1. 2. 3. 83143、解答题1.解：（1）由已知可得， =90，BACBAC又 BA AD，所以 AB平面 ACD又 AB 平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC（2）由已知可得， DC=CM=AB=3， DA= 32又 ，所以 23BPDQABP作 QE AC，垂足为 E，则 QA13DC第 9 页 共 17 页由已知及（1）可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC， QE=1因此，三棱锥 的体积为QABP1132sin4513QABPVES2 解：（1）因为 AP=CP=AC=4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP
10、=23连结 OB因为 AB=BC=2AC，所以 ABC 为等腰直角三角形，且OB AC， OB=1=2由 22OPB知， OP OB由 OP OB， OP AC 知 PO平面 ABC（2）作 CH OM，垂足为 H又由（1）可得OP CH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知OC=12A=2， CM=23B=4， ACB=45所以 OM=53， CH=sinOCMAB=45所以点 C 到平面 POM 的距离为453.解：（1）由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD因为 BC CD， BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BC DM
11、第 10 页 共 17 页因为 M 为 ACD上异于 C， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM CM又 BC CM=C，所以 DM平面 BMC而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC（2）当 P 为 AM 的中点时， MC平面 PBD证明如下：连结 AC 交 BD 于 O因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC OPMC平面 PBD， OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD4.解：（） ，且 为 的中点， .PADEAPEAD底面 为矩形， ，BCBC .E（）底面 为矩形， .ADAD平面 平面 ， 平面 .PBCP .又
12、 ，B 平面 ，平面 平面 .PDAPBCD（）如图，取 中点 ，连接 .CG,F第 11 页 共 17 页 分别为 和 的中点， ，且 .,FGPBCFGBC 12B四边形 为矩形，且 为 的中点，ADEAD ，1,2E ，且 ，四边形 为平行四边形，FG EFG .ED又 平面 ， 平面 ，PCPCD 平面 .F5.解：（）证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD=AB， AD AB，可得 AD平面 ABC，故 AD BC（）解：取棱 AC 的中点 N，连接 MN， ND又因为 M 为棱 AB 的中点，故MN BC所以 DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的
13、角第 12 页 共 17 页在 Rt DAM 中， AM=1，故 DM= 因为 AD平面 ABC，故2=13ADMAD AC在 Rt DAN 中， AN=1，故 DN= 2=13N在等腰三角形 DMN 中， MN=1，可得 132cos6MD所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 1326（）解：连接 CM因为 ABC 为等边三角形， M 为边 AB 的中点，故CM AB， CM= 又因为平面 ABC平面 ABD，而 CM 平面 ABC，故 CM平3 面 ABD所以， CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角在 Rt CAD 中， CD= =42ACD在 Rt CMD 中， 3
14、sin4M所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 346.证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AB A1B1因为 AB 平面 A1B1C， A1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，第 13 页 共 17 页因此 AB1 A1B又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC又因为 A1B BC=B， A1B 平面 A1BC， BC 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1
15、A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC7.解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，设 AC， A1C1的中点分别为 O， O1，则OB OC， OO1 OC， OO1 OB，以 为基底，建立空间直角坐标系1,OOxyz因为 AB=AA1=2，所以 1110,3,0,0,()()()()(23,0,2)()ABCABC（1）因为 P 为 A1B1的中点，所以 ，31(,2)P从而 ，13(,2)(0,2),C第 14 页 共 17 页故 11|4|310|cos, 25BPAC因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 0（2）因为 Q 为 BC 的中点，所以 ，31(,)2Q因此
16、 ， 3(,0)2A11(,)(0,)AC设 n=（ x， y， z）为平面 AQC1的一个法向量，则 即10,AQC30,2.xyz不妨取 ，(3,)n设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 ，则 ，11|25sin|co,Cn所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 58.解：方法一：（）由 得 ，11112,4,2,ABBABA12B所以 .1故 .1由 ， 得 ，2BC11,C11,BCB15第 15 页 共 17 页由 得 ，2,10ABC23AC由 ，得 ，所以 ，故 .113211BAC1B因此 平面 .1AB1（）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .1C1DAB1
17、DA由 平面 得平面 平面 ，1AB1C1AB1由 得 平面 ，11D1所以 是 与平面 所成的角.1A11AB由 得 ，1115,2,2BCC116cos,sin77CABCAB所以 ，故 .13D1139sinDA因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .1C1B13方法二：（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB， OC 为 x， y 轴的正半第 16 页 共 17 页轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下： 111(0,3),(0),(3,4)(,02)(,3)ABABC因此 来源:学#科#网111,2,urururZ#X#X#K由 得 .10ABr1
18、AB由 得 .1Cu1C所以 平 面 .1AB1（）设直线 与平面 所成的角为 .11AB由（）可知 1 1(0,23),(,30),(,2)CBururur设平面 的法向量 .1AB,xyzn由 即 可取 .10,urn30,2z(3,10)所以 .11|9sin|co,|ACurrn第 17 页 共 17 页因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .1AC1B3919.解：(1)依题意可知：圆锥的高度为 ，3242OP所以其体积为： 。833122hrV(2)依题意可知: 平面 ,则 , 。OPABB而 ，则 ，即 、 、 两两相互垂直。90ABOP所以可以以点 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立如xyz图的空间直角坐标系。则 ， ，)0,2(A),2(B)4,0(为线段 中点， ， ， 。MB,1M,1P),2(OB则直线 与 的夹角的余弦值为：PO，6241cos B解得： 62arcos
