1、第 3 讲 力与曲线运动考点一 抛体运动1.(平抛运动规律应用)如图 3-1 所示,一质点做平抛运动, 先后经过 A、 B 两点,到达 A 点时速度方向与竖直方向的夹角为 60,到达 B 点时速度方向与水平方向的夹角为 45.质点运动到A 点与运动到 B 点的时间之比是 ( )图 3-1A. B. C. D.无法求出13 33 232.(平抛与斜面结合)(多选)如图 3-2 所示, 足够长的斜面上有 a、 b、 c、 d、 e 五个点,ab=bc=cd=de,从 a 点水平抛出一个小球, 初速度为 v 时,小球落在斜面上的 b 点,落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角为 ,不计空气阻力, 则初速
2、度为 2v 时 ( )图 3-2A.小球一定落在斜面上的 e 点B.小球可能落在斜面上的 c 点与 d 点之间C.小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角大于 D.小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角也为 3.(平抛与曲面结合)(多选)如图 3-3 所示为一半球形的坑, 坑边缘两点 M、 N 与圆心 O 等高且在同一竖直面内 .现甲、乙两位同学分别站在 M、 N 两点,同时将两个小球分别以 v1、 v2的速度沿图示方向水平抛出,发现两球刚好落在坑中同一点 Q.已知 MOQ=60,忽略空气阻力 .下列说法正确的是 ( )图 3-3A.v1v2=13B.若仅增大 v1,则两球将在落入坑中之前相撞C
3、.两球的初速度无论怎样变化,只要落在坑中的同一点, 两球抛出的速率之和不变D.若仅从 M 点水平抛出小球 ,改变小球抛出的速度, 小球可能垂直坑壁落入坑中4.(平抛临界问题)如图 3-4 所示,一细木棍 AB 斜靠在水平地面与竖直墙壁之间,木棍 AB 与地面之间的夹角为 45,A 端到地面的距离为 1 m.已知重力加速度大小为 10 m/s2,空气阻力不计 .现一跳蚤从竖直墙上距地面 0.8 m 的 C 点以水平速度 v0 跳出, 要到达细木棍上,水平速度 v0 至少为 ( )图 3-4A.1 m/s B.2 m/s C.2.5 m/s D. m/s5归纳 1.平抛运动可以分解为水平方向上的匀
4、速直线运动和竖直方向上的自由落体运动 .解答平抛运动的常用方法如下:2.有用结论(1)飞行时间: t= ,取决于下落高度 h,与初速度 v0 无关 .2(2)水平射程: x=v0t=v0 ,由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定,与其他因素无关 .2(3)落地速度: v= ,与水平方向的夹角的正切 tan = = ,所以落地速度只与初20+2 0 20速度 v0 和下落高度 h 有关 .(4)某时刻速度的反向延长线通过此时水平位移的中点 .考点二 圆周运动的动力学问题1 有一如图 3-5 所示的装置,轻绳上端系在竖直杆的顶端 O 点,下端 P 连接一个小球(小球可视为质点),轻弹簧一端通过铰
5、链固定在杆的 A 点, 另一端连接小球 ,整个装置可以在外部驱动下绕 OA 轴旋转 .刚开始时,整个装置处于静止状态, 弹簧处于水平方向 .现在让杆从静止开始缓慢加速转动,整个过程中 ,绳子一直处于拉伸状态,弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力 .已知 OA=4 m,OP=5 m,小球质量 m=1 kg,弹簧原长 l=5 m,重力加速度 g 取10 m/s2.图 3-5(1)求弹簧的劲度系数 k;(2)当弹簧弹力为零时,求整个装置转动的角速度大小 .导思 平衡时小球受几个力作用,弹簧弹力与重力满足什么关系 ? 转动且弹簧弹力为零时,小球受到几个力作用?归纳 处理匀速圆周运动的动力学问题
6、时,关键在于分析清楚向心力的来源 .从向心力的定义出发,找向心力时应把握好两点:(1)对物体进行受力分析,找出物体所受到的一切外力;(2)借助力的合成与分解方法,找出这些力沿半径方向的合力,最后根据牛顿第二定律列出等式解题 .下面的变式涉及圆周运动的临界问题 .式 1 如图 3-6 所示,由竖直轴和双臂构成的“ Y”形支架可以绕竖直轴转动,双臂与竖直轴所成锐角为 .一个质量为 m 的小球穿在一条臂上,到结点的距离为 h,小球始终与支架保持相对静止 .设支架转动的角速度为 ,重力加速度为 g,则 ( )图 3-6A.当 =0 时,臂对小球的摩擦力大小为 mgsin B. 由零逐渐增大的过程中 ,
7、臂对小球的弹力大小不变C.当 = 时,臂对小球的摩擦力为零1D.当 = 时,臂对小球的摩擦力大小为 mg1(+12)式 2 (多选)如图 3-7 所示,两个可视为质点的相同的木块 A 和 B 放在转盘上,两者用长为L 的轻绳连接,两木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的 k 倍, A 放在距离转轴为 L 处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2 转动 .开始时, 轻绳恰好伸直但无弹力 ,现让该装置从静止开始转动,使角速度 缓慢增大,重力加速度为 g,则 ( )图 3-7A.当 时, A、 B 相对于转盘会滑动23B.当 时,轻绳上一定有张力2C. 在 0m),它们围绕共同的圆心 O 做匀
8、速圆周运动 .从地球 A 看过去,双星运动的平面与 AO 垂直, AO长度恒为 L.观测发现质量较大的恒星做圆周运动的周期为 T,运动范围的最大张角为 (单位是弧度) .已知引力常量为 G, 很小,可认为 sin =tan =,忽略其他星体对双星系统的作用力,则 ( )图 3-10A.质量较小的恒星的角速度为2B.质量较小的恒星的轨道半径为2C.质量较小的恒星的线速度大小为D.两颗恒星的质量 m 和 M 满足关系式 =3(+)22()322导思 双星各自的向心力来源是什么? 双星的轨道半径与两者的距离有何关系?归纳 由两颗或两颗以上的星体构成,忽略其他星体对它们的作用的一个孤立系统,俗称多星系
9、统 .(1)关于“多星”问题,运动过程构成稳定的位置关系,要抓住角速度的关系 .(2)“多星”做圆周运动的向心力由它们的万有引力的合力提供,需要进行受力分析,对力有效地合成 .(3)应注意的是“多星”中的某星球做圆周运动的轨道半径和该星与其他星球的距离是两个数量和物理意义都不同的概念 .式 天文观测中观测到有三颗星位于边长为 l 的等边三角形的三个顶点,其沿等边三角形的外接圆做周期为 T 的匀速圆周运动, 如图 3-11 所示 .已知引力常量为 G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统 ,下列说法正确的是 ( )图 3-11A.它们两两之间的万有引力大小为164494B.其中一颗星的质量
10、为32423C.三颗星的质量可能不相等D.它们的线速度大小均为23【真题模型再现】 竖直平面的圆周运动来源 图例 考向 统计分析2016全国卷 第 20 题受力分析、圆周运动、牛顿第二定律、动能定理2016全国卷 第 16 题受力分析、牛顿运动定律、圆周运动、动能定理2016全国卷 第 25 题竖直平面内的圆周运动、平抛运动2017全国卷 第 17 题竖直平面内的圆周运动、平抛运动通过对以往高考真题的统计可以看出,竖直平面中的圆周运动是近几年高考考查的热点,综合性强,能力要求高,可以考查受力分析和运动分析、牛顿运动定律、机械能、功能关系等方面问题,所以,竖直平面中的圆周运动是一个非常重要的模型
11、 .从应用解题来看,关注运动的特殊状态,往往应用向心力公式研究圆周运动的最高点或最低点,涉及临界问题;关注运动的某一过程或多个过程,往往应用动能定理或机械能守恒定律进行研究 .(续表)来源 图例 考向 统计分析2018全国卷 第 25 题牛顿运动定律、运动的合成与分解、圆周运动、动量【模型核心归纳】 分类 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)实例 球与绳连接、水流星、翻滚过山车等球与杆连接、球过竖直管道、套在圆环上的物体等图示在最高点受力重力,弹力 F 弹 向下或等于零重力,弹力 F 弹 向下、向上或等于零mg+F 弹 =m mgF 弹 =m恰好到达最高点F 弹 =0,m=mg,
12、v=在最高点速度不能为零v=0,mg=F 弹在最高点速度可以为零测 1 (与 v-t 图像结合) (多选)如图 3-12 甲所示,轻杆一端与质量为 1 kg、可视为质点的小球相连,另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动 .现使小球在竖直平面内做圆周运动 ,经最高点开始计时,取水平向右为正方向 ,小球的水平分速度 v 随时间 t 的变化关系如图乙所示, A、 B、 C 三点分别是图线与纵轴、横轴的交点和图线上第一个周期内的最低点,该三点的纵坐标分别是 1、0 、 -5.g 取 10 m/s2,不计空气阻力 .下列说法中正确的是 ( )图 3-12A.轻杆的长度为 0.6 mB.小球经过最高点时
13、,杆对它的作用力方向竖直向上C.B 点对应时刻小球的速度为 3 m/sD.曲线 AB 段与坐标轴所围图形的面积为 0.5 m测 2 (与平抛运动结合)如图 3-13 所示, 小物块从距 A 点高为 h 处自由下落,并从 A 点沿切线方向进入半径为 R 的四分之一圆弧轨道 AB,经过最低点 B 后又进入半径为 的半圆弧轨2道 BC,C 点为半圆弧轨道的最高点, O 为半圆弧轨道的圆心 ,两轨道均光滑且在最低点相切 .以下说法错误的是 ( )图 3-13A.若物块能从轨道 BC 的最高点 C 飞出, 则下落的高度 h 可能为2B.若已知下落高度 h=R,则可求出物块打到轨道 AB 上的速度大小C.
14、释放的高度越高,在轨道 BC 的最高点 C 和最低点 B 的压力差越大D.物块从最高点 C 飞出后,打到轨道 AB 上的速度方向不可能与过碰撞点的轨道切线垂直测 3 (与电场结合)(多选)如图 3-14 甲所示,用轻绳拴着一质量为 m、带正电的小球在竖直面内绕 O 点做圆周运动,竖直面内加有竖直向下的匀强电场 ,电场强度为 E,不计一切阻力, 小球运动到最高点时的动能 Ek 与绳中张力 F 间的关系如图乙所示, 当地的重力加速度为 g.由图可推知 ( )图 3-14A.轻绳的长度为2B.小球所带电荷量为+C.小球在最高点的最小速度为2D.小球在最高点的最小速度为5第 3 讲 力与曲线运动高频考
15、点探究考点一1.B 解析 设平抛的初速度为 v0,将 A、 B 两点的速度分解,在 A 点,有 tan(90-60)= = ,解00得 tA= ,在 B 点,有 tan 45= = ,解得 tB= ,故 = ,B 正确,A 、C 、D 错误 .303 00 0 332.AD 解析 设斜面倾角为 ,小球落在斜面上,竖直方向上的位移与水平方向上的位移之比一定,即 tan = = ,抛出速度为原来的 2 倍时,运动时间变为原来的 2 倍,则水平位移和竖20直位移都变为原来的 4 倍, 小球一定落在斜面上的 e 点,选项 A 正确,B 错误;速度方向与水平方向的夹角的正切值为斜面倾角正切值的 2 倍,
16、所以小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角也为 ,选项 C 错误,D 正确 .3.AB 解析 对从 M 点抛出的小球,有 R-Rcos 60=v1t1,Rsin 60= g ,对从 N 点抛出的小1221球,有 R+Rcos 60=v2t2,Rsin 60= g ,联立可得 = ,选项 A 正确;若仅增大 v1,则两球运动的1222 1213轨迹在空中相交,发生相碰,选项 B 正确; 若两球落在同一点,则水平方向上有 v1t+v2t=2R,两球抛出的速率之和 v1+v2= ,因时间随下落的高度不同而不同,故选项 C 错误;若末速度垂直于2坑壁,则其反向延长线过圆心 O,根据速度的反向延长线必过
17、水平位移的中点的推论,水平位移应为 2R,不符合题意, 选项 D 错误 .4.B 解析 由题意可知 h= gt2,0.2 m+h=v0t,整理可得 5t2-v0t+0.2=0,要使跳蚤到达细木棍12上,至少需使上式有一解,所以 = -450.2= -40,解得 v02 m/s,故 v0 至少为 2 m/s,B 正20 20确 .考点二例 1 (1)3.75 N/m (2) rad/s5解析 (1)开始整个装置处于静止状态,对小球受力分析, 由平衡条件得=()而 AP= 22联立解得 k=3.75 N/m(2)当弹簧弹力为 0 时,小球移至 P位置,绕 OA 中点 C 做匀速圆周运动 ,轨道半径
18、 r=CP=2 2由牛顿第二定律得 mgtan =mr2又知 tan = ,AP=OP=5 m,OC=2 m解得 = rad/s5例 1 变式 1 C 解析 当 =0 时, 由平衡条件知,臂对小球的摩擦力 f1=mgcos ,选项 A 错误;支架转动过程中,当摩擦力 f=0 时, 有 =m2hsin ,解得 = ,选项 C 正确; 由 1零逐渐增大到 = 的过程中, 有 FNsin +fcos =mg,FNcos -fsin =m2hsin ,故支1持力增大,摩擦力减小,选项 B 错误; 当 f=mg 时, 有 FNsin =fcos +mg,FNcos +fsin =m2hsin ,解得 =
19、 ,选项 D 错误 .1(+1)例 1 变式 2 ABC 解析 开始角速度较小, 两木块都靠静摩擦力提供向心力,因两木块的角速度和质量都相同,由 f=m2r 知, B 先达到最大静摩擦力,角速度继续增大,则轻绳中出现张力, B 受到最大静摩擦力,角速度继续增大, A 的静摩擦力继续增大,当增大到最大静摩擦力时,A、 B 相对于转盘开始滑动,对 A 有 kmg-T=m L,对 B 有 T+kmg=2m L,解得 1= ,所21 21 23以当 时, A、 B 相对于转盘会滑动, 故 A 正确; 当 B 达到最大静摩擦力时,轻绳中开始出23现张力,由 kmg=2m L,解得 2= ,所以当 时,
20、轻绳中一定有张力 ,故 B 正确;当22 2 20abac,选项 A 错误; 速度 v= ,故三颗卫星的运行速度大小vavbvc,选项 C 错误;周期 T=2 ,故三颗卫星的运行周期 TavA=1 m/s,由于小球在 A 点的速度小于临界速度 ,故杆对小球的20 6作用力方向竖直向上,选项 B 正确;小球从 A 到 B 的过程中机械能守恒 ,有 m +mgL= m ,122 122则 vB= m/s,选项 C 错误;水平方向的分速度随时间的积累,即曲线 AB 段与坐标轴所围图13形的面积表示从 A 到 B 的过程中小球在水平方向的位移,即为杆的长度 L=0.6 m,选项 D 错误 .预测 2
21、C 解析 物块恰能从轨道 BC 的最高点 C 飞出时, 由重力提供向心力,有 mg=m ,212从开始运动到 C 点的过程,由机械能守恒定律得 mgh= m ,联立解得 h= ,若物块能从轨道122 4BC 的最高点 C 飞出,则下落的高度 h 可能为 ,故 A 正确 .若已知下落高度 h=R,根据机械能2守恒定律可求出物块通过 C 点的速度,物块离开 C 点后做平抛运动,则有 y= gt2,x=vCt,又有12x2+y2=R2,联立可求出 t,根据 v= ,可求出物块打到轨道 AB 上的速度大小,故 B 正2+()2确 .在 C 点,有 mg+F1=m ,在 B 点, 有 F2-mg=m ,
22、根据机械能守恒定律得 mgR+ m = m ,212 212 122122联立解得 F2-F1=6mg,根据牛顿第三定律可知 ,在轨道 BC 的最高点 C 和最低点 B 的压力差恒为 6mg,故 C 错误 .若物块从最高点 C 飞出后,根据“中点”结论可知,打到轨道 AB 上的速度的延长线交水平位移于中点,所以速度方向不可能与过碰撞点的轨道切线垂直, 故 D 正确 .预测 3 AC 解析 小球在最高点, 有 mg+qE+F=m ,则 Ek= mv2= mg+Eq + F,图线的2 12 2 2斜率 k= = ,故轻绳的长度 r= ,选项 A 正确; 纵截距 a= mg+qE ,故小球所带电荷量 q=2 2 2,选项 B 错误;当 F=0 时,小球在最高点的速度最小, 有 m =a,故最小速度 vmin= ,选 122 2项 C 正确,选项 D 错误 .
