1、第九节 函数模型及其应用考纲传真 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型( 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型) 的广泛应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y kxb(k0) (2)反比例函数模型：y b(k，b 为常数且 k0)kx(3)二次函数模型：y ax 2bxc(a，b，c 为常数， a0)(4)指数函数模型：y ab xc (a，b，c 为常数，b0，b1，a0)(5)对数函数模型：y mlog axn(m，n，a 为常数，a0，a1，m0)(6
2、)幂函数模型：y ax nb(a0)2三种函数模型之间增长速度的比较函数性质 y ax(a1) ylog ax(a1) yx n(n0)在(0，)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较 存在一个 x0，当 xx 0 时，有 logaxx na x3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型
3、；$来&源：(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：资*源%库 1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y2 x的函数值比 yx 2 的函数值大( )(2)幂函数增长比直线增长更快( )(3)不存在 x0，使 ax0x log ax0.( )n0(4)f(x) x2，g(x )2 x，h(x)log 2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f (x)g( x)( )答案 (1) (2) (3) (4)2已知某种动物繁殖量 y(只) 与时间 x(年)的关系为 yalog 3(x1)，设这种动物第 2
4、年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )WWWA100 只 B.200 只$来&源：C300 只 D.400 只B 由题意知 100alog 3(21)，a100，y 100log3(x1) ，当 x8时，y100log 3 9200.3(教材改编) 在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )WWWx 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A.y2 x B.ylog 2xCy (x21) D.y2.61cos x12B 由表格知当 x3
5、时， y1.59，而 A 中 y2 38，不合要求，B 中ylog 23(1,2)，C 中 y (321)4，不合要求，D 中 y2.61cos 30，不合12要求，故选 B.资*源%库 4一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为 ( ) B 由题意 h205t,0t4.结合图象知应选 B.5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_1 设年平均增长率为 x，则(1x) 2(1p)(1q)，1 p1 qx 1.1 p1 q$来&源： 用函数图象刻
6、画变化过程(1)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间t(年) 的函数关系图象正确的是( )A B C D(2)已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 S，则函数 Sf(x)的图象是( )A B C D(1)A (2) D (1)前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选 A.(2)依题意知当 0x
7、 4 时，f(x)2x；当 40)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )D y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D.应用所给函数模型解决实际问题某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图 291；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 291.(注：利润和投资单位：万元) 图 291(1)分别将
8、A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)f(x) 0.25x (x0)，g(x)2 (x0).3 分x(2)由(1)得 f(9)2.25，g(9)2 6，9所以总利润 y8.25 万元 .5 分设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为 y万元则 y (18x )2 ，0x18.7 分14 x令 t，t 0,3 ，x 2则 y (t 2
9、8t18) (t4) 2 .14 14 172所以当 t4 时，y max 8.5，9 分172此时 x16,18 x 2.所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5 万元.12 分规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围变式训练 2 (2017 西城区二模 )某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)Error!已知某家庭 2016 年
10、前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费一月份 4 m3 4 元二月份 25 m3 14 元三月份 35 m3 19 元若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为 ( )A11.5 元 B.11 元C10.5 元 D.10 元A 根据题意可知 f(4)C4，f(25) C B (25A)14，f(35)C B(35A) 19，解得 A5，B ，C 4，所以 f(x)Error!所以 f(20)124 (205)11.5，故选 A. 12构建函数模型解决实际问题(1)(2016四川高考 )某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130
11、万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 2 0.30)( )A2018 年 B.2019 年C2020 年 D.2021 年(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(xN *)件当 x20 时，年销售总收入为(33 xx 2)万元；当 x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为_，该工厂的年
12、产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)(1)B (2)y Error!(xN *) 16 (1)设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过 200 万元由 130(112%) n200，得 1.12n ，两边取常用对2013数，得 n ，n4，从 2019 年开始，该公司投lg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0.110.05 195入的研发资金开始超过 200 万元(2)当 0x20 时，y(33xx 2)x100x 232x100；当 x20 时，y260100 x 160x.故 yError!(xN *)当 0x20 时，y x 232x10
13、0(x16) 2156，x16 时，y max156.而当 x20 时，160x 140，故 x16 时取得最大年利润规律方法 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建 f(x)x (a0) 模型，常用基本不等式、导数等知识求解ax易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制变式训练 3 (2016 宁波模拟 )某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K (Q) 40Q
14、 Q2，则总利润 L(Q)的最大值是 _万元1202 500 L(Q)40Q Q210Q2 000 Q230Q2 120 120000 (Q300) 22 500.120当 Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元思想与方法1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原易错与防范1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性
