1、思想一 函数与方程思想1 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2 和函数与方程思想密切关联
2、的知识点(1)函数与不等式的相互转化对函数 y f(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
3、【热点分类突破】类型一 函数与方程思想在数列中的应用例 1 【河北省武邑中学 2017 届高三上学期第三次调研】已知数列 是等比数列，首项na，公比 ,其前 项和为 ,且 ,成等差数列.a0qnnS132,aS（1）求 的通项公式；n（2）若数列 满足 为数列 前 项和，若 恒成立，求 的nb1,2nabnTnnTm最大值.例 2 【2017 届河北武邑中学高三周考 11.20】已知数列 中， ，且点na1在直线 上*1nPaN， 10xy求数列 的通项公式；n若函数 （ ，且 ） ，求函数 的最123nfanaN2nfn小值；设 ， 表示数列 的前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得n
4、bnSnb g对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？若存在，写出1231nSg n的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由gn【规律总结】(1)等差(比)数列中各有 5 个基本量，建立方程组可“知三求二” ；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解【举一反三】已知等比数列 na的公比 1q， 2a=且 1， 2， 38a-成等差数列数列 nb的前n项和为 S，且 28-（1）分别求出数列 n和数列 nb的通项公式；（2）设 nbca=，若 cm，对于 *“N恒成立，求实数 m的最小值类型二 函数与方程思
5、想在方程中的应用资*源%库例 3 【山西省太原市 2017 届高三上学期阶段性测评（期中） 】已知函数 是定义在fx上的偶函数，若方程 的零点分别为 ，则R213fxx12,.nx（ ）12nxxA B C. D 2n3【规律总结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决【举一反三】 【广西柳州市 2017 届高三 10 月模拟】设定义域为 的函数R若关于 的方程 有 7 个不同的|125,0()4xfx2
6、2()1)(0fxmfx实数解，则 （ ）mA6 B4 或 6 C6 或 2 D2ZWWW类型三 函数与方程思想在不等式中的应用例 4【2017 届云南曲靖一中高三上学期月考四】已知 ，()lnfx32()gxax（1）如果函数 的单调递减区间为 ，求函数 的解析式；()g1(,)3()gx（2）在（1）的条件下，求函数 的图象在点 处的切线方程；ygx1,PWWW$来&源： （3 ）已知不等式 恒成立，若方程 恰有两个不等实根，求()fx20aem的取值范围m【规律总结】根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思
7、想【举一反三】【宁夏育才中学 2017 届高三上学期第二次月考】已知函数 ()lnfxa,其中aR（）若 在区间 1,2上为增函数，求 a的取值范围；()fx资*源%库 （ ）当 e时，证明： ()20fx；资*源%库（）当 a时，试判断方程 ln3是否有实数解，并说明理由类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例 5【2017 届江西吉安一中高三周考三】已知椭圆 的焦距为2:10xyCab2，离心率为 ， 轴上一点 的坐标为（0,3）.2yQ（1）求该椭圆的方程；（2）若对于直线 ，椭圆 上总存在不同的两点 与 关于直线 对称，且:lyxmCABl，求实数 的取值范围.3QAB【规律总结】1
8、、在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量；2. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想【举一反三】 【河南省广东省佛山市 2017 届高三教学质量检测（一） 】已知椭圆过点 ，且离心率为 .2:10xyCab2 1M， 32（1）求椭圆 的方程；（2）设 ，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，当 （ 为坐 A， lC PQ， APQOP标原点）的面积 最大时，求直线 的方程.Sl
