1、1 数学思想专练(一) 函数与方程思想 题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题 1已知a n 是等差数列,a 1 1,公差d0,S n 是其前n项和,若a 1 ,a 2 ,a 5 成等比数列, 则S 8 的值为( ) A16 B32 C64 D62 C 由题意可知a a 1 a 5 ,即(1d) 2 1(14d), 2 2 解得d2,所以a n 1(n1)22n1. S 8 4(115)64. a1a8 8 2 2若2 x 5 y 2 y 5 x ,则有( ) Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 B 原不等式可化为2 x 5 x 2 y 5 y ,构造函数y2 x 5 x ,其为
2、R上的增函数, 所以有xy,即xy0. 3若关于x的方程x 2 2kx10的两根x 1 ,x 2 满足1x 1 0x 2 2,则k的取值范 围是( ) A. B. ( 3 4 ,0 ) ( 3 4 ,0 C. D. ( 0, 3 4 ) 0, 3 4 ) B 构造函数f(x)x 2 2kx1,因为关于x的方程x 2 2kx10的两根x 1 ,x 2 满足1x 1 0x 2 2, 所以Error!即Error! 所以 k0,所以k的取值范围是 . 3 4 ( 3 4 ,0 4(2017南昌三模)已知是锐角三角形的最小内角,向量a(sin ,1), b(1,cos ),则ab的取值范围是_. (1
3、, absin cos sin , 2 2 ( 4 ) 由0 得 , 3 4 4 7 12 所以 sin 1, 2 2 ( 4 ) 所以1ab . 22 5(2016郑州模拟)已知函数f(x)xln xa,g(x) x 2 ax,其中a0. 1 2 (1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与曲线yg(x)也相切,求a的值; (2)证明:x1时,f(x) g(x)恒成立 1 2解 (1)由f(x)xln xa,得f(1)a, f(x)ln x1,所以f(1)1 1分 所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线为yxa1.因为直线yxa1与曲 线yg(x)也相切, 所以两方程联立消元得
4、x 2 axax1, 1 2 即 x 2 (a1)x1a0,3 分 1 2 所以(a1) 2 4 (1a)0,得a 2 1. 1 2 因为a0,所以a1 6分 (2)证明:x1时,f(x) g(x)恒成立,等价于 x 2 axxln xa 0恒成 1 2 1 2 1 2 立 令h(x) x 2 axxln xa , 1 2 1 2 则h(1)0且h(x)xaln x1 6分 令(x)xln x1,则(1)0且(x)1 , 8分 1 x x1 x 所以x1时,(x)0,(x)单调递增, 所以(x)(1)0. 又因为a0,所以h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)h(1)0, 所以x1时, x
5、 2 axxln xa 0恒成立, 11分 1 2 1 2 即x1时,f(x) g(x)恒成立 12分 1 2 题组2 利用函数与方程思想解决几何问题 6设抛物线C:y 2 3px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5,若以MF为直径的圆过 点(0,2),则C的方程为( ) Ay 2 4x或y 2 8x By 2 2x或y 2 8x Cy 2 4x或y 2 16x Dy 2 2x或y 2 16x C 由抛物线的定义可知MFx M 5,x M 5 ,y 15p ,故以MF为 3p 4 3p 4 2 M 9p2 43 直径的圆的方程为(xx M )(xx F )(yy M )(yy F )0,
6、 即 (2y M )(20)0. ( 05 3p 4 )( 0 3p 4 ) y M 2 2 y M 4,p 或 . 15p 8 9p2 32 y2 M 8 4 3 16 3 C的方程为y 2 4x或y 2 16x. 7已知正四棱锥的体积为 ,则正四棱锥侧棱长的最小值为( ) 32 3 A2 B2 3 C2 D4 2 A 设正四棱锥的底面边长为 a,侧棱长为x,高为h, 由题意知 a 2 h ,得a 2 h32,从而a 2 , 1 3 32 3 32 h 又x 2 h 2 a 2 h 2 , 1 2 16 h 令g(h)h 2 ,则g(h)2h , 16 h 16 h2 2h38 h2 当0h
7、2时,g(h)0; 当h2时,g(h)0. 从而g(h)在h2时有最小值,即g(h) min 12. 从而x有最小值2 ,故选A. 3 8已知椭圆E: 1(ab0)的离心率e ,并且经过定点P . x2 a2 y2 b2 3 2 ( 3, 1 2 ) (1)求椭圆E的方程; (2)问:是否存在直线yxm,使直线与椭圆交于A,B两点,且满 足 ?若存在,求出 m的值;若不存在,请说明理由. OA OB 12 5解 (1)由e 且 1,c 2 a 2 b 2 , c a 3 2 3 a2 1 4b2 解得a 2 4,b 2 1,即椭圆E的方程为 y 2 1 6分 x2 4 (2)设A(x 1 ,y
8、 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 由Error! x 2 4(mx) 2 40 5x 2 8mx4m 2 40.(*) 所以x 1 x 2 ,x 1 x 2 ,8分 8m 5 4m24 5 y 1 y 2 (mx 1 )(mx 2 )m 2 m(x 1 x 2 )x 1 x 2 m 2 m 2 , 8 5 4m24 5 m24 54 由 得(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 ) , OA OB 12 5 12 5 即x 1 x 2 y 1 y 2 , ,m2. 12 5 4m24 5 m24 5 12 5 又方程(*)要有两个不等实根,所以(8m) 2 45(4m 2 4)0,解得
9、m 5 ,所以m2 12分 5 9如图1,直三棱柱ABCABC中,ACBC5,AAAB6,D,E分别为AB和 BB上的点,且 . AD DB BE EB 图1 (1)求证:当1时,ABCE; (2)当为何值时,三棱锥ACDE的体积最小,并求出最小体积 解 (1)证明:1,D,E分别为AB和BB的中点 1分 又AAAB,且三棱柱ABCABC为直三棱柱, 平行四边形ABBA为正方形,DEAB 2分 ACBC,D为AB的中点,CDAB.3分 CD平面ABBA,CDAB,4分 又CDDED,AB平面CDE. CE平面 CDE,ABCE 6分 (2)设BEx,则ADx,DB6x,BE6x.由已知可得C到平面ADE的距离 即为ABC的边AB所对应的高h 4,8分 AC2 ( AB 2 ) 2 V ACDE V CADE (S 四边形ABBA S AAD S DBE S ABE )h 1 3 h 1 3 363x 1 2 6xx36x (x 2 6x36) (x3) 2 27(0x6),11分 2 3 2 3 当x3,即1时,V ACDE 有最小值18 12分