1、1福清华侨中学 2018-2019 学年高三上学期期中考试理数试题本试卷共 4 页 满分 150 分， 考试时间 120 分钟第 I 卷 共 60 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则 （ ） B |10Ax|1BxyAA B C D |0x|R2.已知 ，则复数 （ ）A2zizA B C D1013i13i3下列四个结论, 其中正确的是（ ）A命题“ ”的否定是“ ”；若 是真命题，则 可能是真命题；7“ 且 ”是“ ”的充要条件； 当时，幂函数 在区间 上单调递减.A B C D 4设 ，
2、则不等式 的解集为（ C ）2,)1(log,2)(3xexfx 2)(xf5若 的图象向右平移 个单位后所得的图象关于原点对称，则 可以是（B ）)2sin()xf 6A 6B 3C 4D 326 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛 ”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还 升， 升， 升，1 斗为 1
3、0 升；则下列判断正确的是（ D ）abcA 依次成公比为 2 的等比数列，且,abc 507aB 依次成公比为 2 的等比数列，且 cC 依次成公比为 的等比数列，且,c1D 依次成公比为 的等比数列，且ab2507c7已知 ，则 ( )1sin543cosA. B. C. D.87818188如图所示，正弦曲线 ，余弦函数 与两直线 ， 所围成的阴影部分的面sinyxcosyx0x积为（ ）A. B. C. D.1229函数 的大致图象是 （ A )cos()(,21xfA B C D10 设 ， 为自然对数的底数，则 ， ， 的大小关系为( B )A. B. C. D. 11设函数 ，函
4、数 ，若对任意的 ，总存在1xfe,0gxm12,x，使得 ，则实数 的取值范围是（ D ）2,x2A B C. D13,e,3e1,32,e12.已知数列 满足 设 ， 为数列 的前 项和若（常数） ， ，则 的最小值是（ C ）A. B. C. D. A ,1B ,0(C ),10(,D )2,1( yx2-2-1O1yx2-2-1O1 yx2-2-1O1 yx-1O12二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量 ， ，若 与 垂直，则实数 13. 1,a3,2bkabk114已知命题 ；命题 是增函数若“ ”为假命题且mxRp1,：xmxfq)3()： q
5、p“ ”为真命题，则实数 的取值范围为 14 q)2,115. 如图，在 中，若 ， ， ， =3=13则 的值为 15.-216. 在 中，内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，且 ，若 ，则 _16.3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （本小题满分 10 分）已知函数 223sincosinfxxx.（1）求 6f及 fx的单调递增区间；（2）求 f在闭区间 ,4的最值.17（1）f(x)= sin2x+ 3cos2x=sin(2x+ 3),则 f( 6)= 32,2k2x+2k，k Z单调递增区间- 51+k , + k,k .（2）由 x,4
6、则 2x+ 35,6，sin(2x+ 3)- 12,1,所以值域为 - 12,1,18.设 为各项不相等的等差数列 的前 n 项和，已知 .nSa5739aS（(1)求数列 的通项公式；a(2)设 为数列 的前 n 项和，求 .nT1nnT18.解：（1）设数列 的公差为 d，则由题意知 解得na111(2)43(6),39,adad（舍去）或 所以 .(5 分)10,3da1,2.(1)nn（2）因为 = ，1n()2所以 = + + = .（10 分）1231nnTaa()3141()2n()n19.（本小题满分 12 分）在 中， ， 2 ， .ABC4AC5cos25(1)求 的值；s
7、in(2)设 的中点为 ,求中线 的长.D19.解：（1）因为 ，且 C 是三角形的内角，所以 sinC= = .25cos 21cosC5所以 sinisinBACB（= .（4 分）icosi25310(2) 在ABC 中，由正弦定理，得 ，所以 =sinsiCABsinACBB，于是 CD= .在ADC 中，AC=2 ，2531061325cosC= ， （ 8 分）5所以由余弦定理，得 AD= = ，即2cosACDCA2520933中线 AD 的长为 .(12 分)520、已知数列 na的首项 1，其前 n项和为 nS，且对任意正整数 n，有 ,naS成等差数列.（1）求证：数列 2
8、S成等比数列；（2）设 nb，求数列 nb前 项和 nT.11、解：（1） ,a成等差数列， 2naS又 12nnaS 2n即 1n 2nS 1nS又 140 2nS成等比数列.（2）由（1）知 n是以 1134Sa为首项，2 为公比的等比数列. 14n又 naS 12na 1nnnb1232nnTL13nL1nn21(本小题满分 12 分) 已知函数 （ 为常数） 2ln)(xaxf（）讨论函数 的单调性；)(xf（）是否存在正实数 ，使得对任意 ，a,1,21ex都有，若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由；21(本小题满分 12 分) 【解析】（） （ 为常数）定义域为： 2
9、ln)(xaxf ),0(xaxaf2)(（）若 ，则 恒成立 在 上单调递增；00)(f )xf,（）若 ，则 axaxaf )2(2)(2 令 ，解得 ；令 ，解得 0)(xf 20)(fx在 上单调递减，在 上单调递增)(f),a),2(a综上：当 时， 在 上单调递增；0a(xf,0当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增)(f)2,a),2(a（）满足条件的 不存在理由如下：a若 ，由（）可知，函数 在 为增函数；02ln)(xaxf,1e不妨设 ，则 ，即 ；ex21| 2121ff 12)(1)(xfxf由题意： 在 上单调递减，fg)(,e 在 上恒成立；即 对 恒成立；02)
10、( xax,121xa,1e又 在 上单调递减； ；故满足条件的正实数 不存在1y,e02ea22.（12 分）已知函数 f(x) .xex 2e(1)求曲线 y f(x)在 x0 处的切线方程；(2)设函数 g(x) m(mR)，试讨论函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上交点的个1x ln xx|1|)(| 221xxff4数21 解：(1)由题意知， f( x) ，1 xex f(0)1，又 f(0) ，2e故所求切线方程为 y x，即 x y 0.2e 2e(2)令 h(x) f(x) g(x) m(x0)，xex 2e 1x ln xx则 h( x) .1 xex 1x2 1
11、ln xx2 1 xex ln xx2易知 h(1)0，当 00，当 x1 时， h( x)1 时，函数 h(x)没有零点，1e 1e即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上没有交点；当 1 m0，即 m0)，xex 2e 1x ln xx则 h( x) .1 xex 1x2 1 ln xx2 1 xex ln xx2易知 h(1)0，当 00，当 x1 时， h( x)1 时，函数 h(x)没有零点，1e 1e即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上没有交点；当 1 m0，即 m1 时，函数 h(x)有 2 个零点，1e 1e即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上有 2 个交点
