1、- 1 -20182019 学年高三（上）期中考试文科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则 （ ）A B C D 2已知 为虚数单位，则复数 （ ）i21A -1 B C D 3在等比数列a n中，a 4 ，a 12是方程 的两根，则 a8=( )0132xA B C D 4已知命题 2:,log,pxR命题12:qy是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）A、 q B、 p C、 p D、 pq5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 35 B C D 6已知双曲线
2、 的离心率为 ，则椭圆)0,(12bayx 32的离心率为( )12byaxA B C D3332367已知a n等差数列，a 1=9，S 5=S9,那么使其前 n 项和 Sn最大的 n 是（ ）A 6 B 7 C 8 D 98设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）,A 若 ，则 B 若 ,则C 若 ,则 D 若 ，则9在 中，角 B 为 ，BC 边上的高恰为 BC 边长的一半，则 cosA= ( )43- 2 -A B C D525323510已知函数 的部分图象如图所示，则函数 图象的一个对称中心可能为（ ）A B C D )0,6()0,12()0,1
3、2()0,6(11已知函数 ，若 ，则 的取值范xxfsin围是（ ）A B C D 12已知函数 在-a,a上是减函数，则 a 的最大值是 ( )xxfsinco)(A B C D 4243二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知实数 ， 满足不等式组 目标函数 ，则 Z 的最大值为02yxxyz2_14已知 ， ，若 ，则 和 的夹角是_.15若点 为圆 的弦 的中点，则弦(1,)P260xyMN所在直线方程为_.MN16已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表。的导函数 的图象如图所示。下列关于函数 的命题：函数 在 是减函数；如果当 时， 的最大值是 2，那
4、么 t 的最大值为 4；函数 有 4 个零点，则；其中真命题的个数是_. ( 填出你认为正确的序号)三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17 （本小题满分 12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 .*,12Nnanx 0 1 4 51 2 0 2 1- 3 -（1）求数列a n的通项公式；（2）令 ，记数列 的前 n 项和为 Tn，证明：T n0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加
5、0.5 千元将 2018 年的年份代号 t12 代入(1)中的回归方程，得0.5122.38.3，y - 4 -故预测该地区 2018 年农村居民家庭人均纯收入为 8.3 千元19(本小题满分 12 分)在矩形ABCD所在平面 的同一侧取两点E、F，使 ，若AF且DEAB=AF=3,AD=4,DE=1.（1）求证： ；BAD（2）取BF的中点G，求证 ；ACG/平 面（3）求多面体ABFDCE的体积.20(本小题满分 12 分)已知抛物线 ，斜率为 1 的直线l 1交抛物线C于A,B0)2px(y:C两点，当直线l 1过点(1，0)时，以AB为直径的圆与直线 相切.x（1）求抛物线C的方程；（
6、2）与l 1平行的直线l 2交抛物线于C,D两点，若平行线l 1, l2之间的距离为 ，且2OD的面积是 面积的 倍，求l 1和l 2的方程. AB321 （本小题满分 12 分）已知函数（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；（2）当 时，判断函数 的单调性；（3）当 且 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）已知以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，曲线 （ 为参数） （1）求曲线 和 的普通方程；（2）若点 在曲线
7、 上运动，试求出 到曲线 的距离的最小值- 5 -23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 .（1）若 ，解不等式 ；（2）若不存在实数 ，使得不等式 ，求实数 的取值范围20182019 学年高三（上）期中考试文科数学- 6 -参考答案 一、单选题1 【详解】 ， ，故 ，选 D.【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2 【详解】 ，故选 C.【点睛】本题考查复数的运算，对于除法运算，只需分子和分母同时乘以分母的共轭复数即可计算，这类问题属于基础题.3 【详解】因为 是方程的根，故 且 ，由 是等比数列可知，故 ，因为 ，故 ，故 ，选 B.【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前
8、项和，则有性质：（1）若 ，则 ；（2） 且 ；（3） 且 为等差数列；（4） 为等差数列 .4A5 【详解】三视图对应的几何体如图所示：其底面为直角梯形 ，其中 ，平面 ，且 ，故体积为 ，故选 B.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系及几何量的对应的关系6 【详解】由双曲线的离心率为 可得 ，故 ，- 7 -故椭圆的离心率为 ，故选 D【点睛】圆锥曲线的离心率的计算，关键是找到 的一个关系式即可，注意双曲线和椭圆中 的意义不一样，关系也不一样，双曲线中实半轴长 、虚半轴长 和半焦距长 满足，而在椭圆中长半轴长 、短半轴长 和半焦距长 满足 7 【详
9、解】因 ，故公差小于零，数列 的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为 ，故 时 最大【点睛】等差数列的通项公式和前 和公式有如下函数特征：（1）等差数列 的通项可写为 ，当 时，数列 的散点图分布在一次函数的图像上，且直线的斜率就是公差（2）等差数列 的前 项和可写为 ，当 时，数列 的散点图分布在二次函数 上，该二次函数的图像恒过 ，当 时，散点图开点向上，当 ，散点图开口向下8 【详解】如图，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，但 ，故 A 错；平面 平面 ， 平面 ， ，但 平面，故 B 错；， 平面 ， 平面 ，但平面 平面 ，故 C 错；对于 D，因为 ， ，所以 ，而 ，所以 综上，
10、选 D【点睛】本题考查立体几何中的点、线、面的位置关系，具有一定的综合性解决这类问题，可选择一些常见的几何模型，在模型中寻找符合条件的位置关系或反例9 【解析】作 延长线上一点 为等腰直角三角形，设 ，则，由勾股定理得 ，由余弦定理得- 8 -，故选 A.10 【详解】由图像可知 的周期为 ，故 图像的对称中心为 ，当 时，有对称中心为 ，故选 D【点睛】 的图像上相邻两条对称轴之间的距离为半周期，相邻两个对称中心之间的距离为半周期三角函数的图像和性质大多数和其对称轴和对称中心相关11 【详解】 ，当 时， ，故 ，所以 为 上的增函数又 ，故 为 上的奇函数，因 等价于 ，故 ，故 ，故选
11、C【点睛】函数值的大小关系与自变量大小关系的转化，常需要利用函数的单调性和奇偶性来转化，如果函数较为复杂，应把函数函数看出一些简单函数的加、减等，再利用导数等工具判别这些简单函数的单调性等性质即可12 【详解】 ，由题设，有 在 上恒成立，所以，故 ， 所以 ，因 ，故 即 ， 的最大值为 ，故选 A【点睛】一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 二、填空题13 【详解】不等组对应的可行域如图所示，当动直线 过 是 有最大值，由 得 ，故，此时 ，填 3- 9 -【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过
12、线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如 表示动直线 的横截距的三倍 ，而 则表示动点 与 的连线的斜率14 【详解】因为 ，故 ，故 即 ，故 ，因 ，故 ，填 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量 垂直的充要条件是 .15 【解析】因为 为圆 的弦 的中点，所以圆心坐标为 ，(1,)P260xyMN3,0， 所在直线方程为 ，化简为 ，故答案为320MNkN12x21xy.21xy【考点】1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.16 【详解】由导函数的图像可知函数 的单调增区间为-1,0， （1,4）
13、 ，单调减区间为(0,1，4,5，故命题为真命题；由表可知 ，可知当 时，的最大值是 2，t 的最大值为 5；所以命题为假命题；由函数 有 4 个零点，可得函数 的图像与直线 有四个交点，所以 ，所以命题为真命题。故选 B。【点睛】判断导函数的图像和函数图像之间的关系，应注意 时，函数 为增函数，时，函数 为减函数。由函数 的零点个数求参数 的取值范围，一般有两种方法： 求函数的单调性和极值，考虑函数 的图像与 轴交点的个数，进而可求参数 的取值范围；转化为考虑函数 的图像与直线 交点的个数问题。三、解答题- 10 -17 【详解】 （1）当 时， ，整理得 ，当 时，有.数列 是以 为公比，
14、以 为首项的等比数列， 所以 （2）由（1）有 ，则 ， 故 ，故原不等式得证.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18解 (1)由所给数据计算得 (1234567)4，t17 (2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，y 17(ti )2941014928，7 i 1 t(ti )(yi )(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)7 i 1 t y 00.110.520.93
15、1.614， 0.5，b 7 i 1 ti t yi y 7 i 1 ti t 2 1428 4.30.542.3，a y b t所求回归方程为 0.5 t2.3.y (2)由(1)知， b0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元将 2018 年的年份代号 t12 代入(1)中的回归方程，得0.5122.38.3，y 故预测该地区 2018 年农村居民家庭人均纯收入为 8.3 千元19 解：(1) 四边形 是矩形， ，又， ，- 11 -， 在平面 内， .4 分(2)连结 交于点 ，则 是 的中位线， ， 在平面内，所以 .8
16、 分（3）.12 分20解：（1）设AB直线方程为 代入 得设 当 时， ，AB的中点为依题意可知 ，解之得抛物线方程为 4 分（2） O到直线 的距离为 ，6 分因为平行线 之间的距离为 ，则CD的直线方程为.8分依题意可知 ，即化简得 ， 代入 或者 .12 分 21 【详解】 （1）当 时，函数 的导函数 ,则切线的斜率 ，- 12 -而 ，所以直线的切线方程为 ,即 （2）依题意可得 所以 .故 ，列表讨论如下：单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 (3)当 时， ， 原不等式可化为 ，即 对任意 恒成立令 ，则 ，令 ，则 ， 在
17、上单调递增 ， ， 存在 使 即 ，当 时， ，即 ；当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增由 ，得 ，- 13 - ， ， .【点睛】 （1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；（2）一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 （3）不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以相应的最值
18、范围22 【详解】 （1）曲线 的普通方程为 ，将 ： 代入 中，得 （2）因 ，则 到直线 的距离为：，当 时取最小值，此时 【点睛】 （1）极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是 参数方程化为直角方程，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等（2）圆锥曲线上的动点到定直线距离的最值问题可以用圆锥曲线的参数方程来简化计算23 【详解】 （1） ， ，当 时， ，解得 ，所以当 时， ，解得 当 时， ，解得 ，所以 ，综上所述，不等式 的解集为 .（2）不存在实数 ,使得不等式 等价于 恒成立，即 恒成立.因为 ，- 14 -所以 ，当 时， ，解得 当 时， ，解得 所以 时，不存在实数 ，使得不等式 .【点睛】解绝对值不等式，关键在于去掉不等式中的绝对值符号，可用零点分段讨论的方法去掉绝对值符号另外，不等式无解问题可以转化为恒成立问题来处理
