1、國立板橋高中數學培訓班教材 柯光遠老師編一、學科能力競賽數學科競賽方式及內容：方式 時間 題型 題數 配分 內容筆試（一） 2 小時 計算證明 3 4 題 49 分 仿國際數學奧林匹亞方式命題筆試（二） 1 小時 填充 6 7 題 21 分 基本能力與概念口試 20 分鐘 30 分 筆試最優前 6 至 10名參加二、競賽試題選講：(一)數論1.平面上的格子點到直線 的最短距離為 (二) 。 （格子點是指兩個坐標都是整數的點） 【92(二) 2】0125yx2.平面上所有格子點到直線 的距離之最小值為 (二） 。43（平面上 坐標與 坐標都是整數的點稱為格子點。 ） 【94(二) 2】xy3.設
2、 , 為正整數且 ，滿足 及 。求 abba18ba390ab2ba(三) 。 【92( 二) 3】4.設 為自然數，試證：在任意 個正整數中，必存在 個數的和是 的倍數。nnn2n（17 分） 【93(一) 3】5.設 為一正整數，且滿足 是某整數的四次方，求 的所有可能值為何。7352（10 分） 【94(一) 1】6.試求滿足下列條件的所有正整數 ： n（1） 恰有 6 個正因數：1, , , , , ；n1d234（2） 。 （16 分） 【92(一) 1】)(54321知識補給 ：數學競賽常用的數論練習題：1. 求一個四位數，它的前兩位元數位及後兩位元數位分別相同，而該數本身等於一個
3、整數的平方2.哪些连续正整数之和为 1000？试求出所有的解3.在数 3000003 中，应把它的百位数字和万位数字 0 换成什么数字，才能使所得数能被 13 整除？4.（a）求出所有正整数 n 使 1 能被 7 整除2（b）证明：没有正整数 n 能使 1 被 7 整除n5. 證明：如果三個連續自然數的中間一個是自然數的立方，那麼它們的乘積能被 504 整除(二)代數1.方程式 的解為 （一） 。 【92(二) 1】1833x2.定義兩正數如下：，204365432a，10324151010 b則 (二） 。 （化成最簡分數） 【92( 二) 2】a3.設 為實數，使得 , , 形成等比數列，
4、則此等比數列的公比為 （一） 。 【94( 二) 1】3log2al43log8a4.觀察以下數列的規律：0, 1, , 2, 3, , 4, 5, 6, , 7, 8, 9, 10, , 11, 12, 13, 14, 15, , 1245則第 2004 項為 （七） 。 【93(二) 7】5.給定數列 如下： ， ， 。nx12113()nnx2,3試問 是幾位數？ (五） 。 【95( 二) 5】10參考數據： 1010log.3,log.47,log.8456.若拋物線 與橢圓 有四個相異交點，則常數 k 的範圍為kxy2692yx（六） 。 【92(二) 6】7.設 是實數，方程式
5、的根都是實根，則 的範圍為a 0)3(224 aa a(六) 。 【93( 二) 6】8.若 是正數，且 ， ，則 的最小值為 (五) 。xx91194x【92(二) 5】9.設 , 為實數，若函數 有最大值 3 及最小值 ，則 之值為 （三） 。 【93(二) 3】abbaf cos)incos() 1a10.若 u, v, w, x, y, z 能使下圖各行、各列及兩個對角線的和都相等。則 （五） 。uvw2 3 x5 y uz v w【92(二) 5】11.設 為某三角形之三邊長，試證： 。 （16 分） 【93(一) 1】cba, )(2)( 442cbacba12.給定實數 。平面上
6、點 , , 滿足 及0)(nyxP3,10yx10。試求 之值。 （ 表示原點到點 的nnyxy231 ,321nnOPlogimnnP距離）(13 分) 【94( 一) 4】知識補給 ：遞迴數列練習題：1. 如果方程 x2+ax+b=0 與 x2+px+q=0 有一個公根，求以它們的相異根為根的二次方程2. x 取什麼值時，不等式成立？3. 設 x、y、z0 且 x+y+z=1求 1/x+4/y+9/z 的最小值4. 有一群兒童，他們的年齡之和 50 歲，其中最大的 13 歲，有一個是 10歲；除去這個 10 歲兒童之外，其餘兒童的年齡都是整數且恰好組成一個等差數列問有幾個兒童？每個兒童是幾
7、歲？5. 在公比大於 1 的等比數列中，最多有幾項是在 100 和 1000 之間的整數(三)幾何1.設圓 O 是ABC 的內切圓，切點 P, Q, R 分別在 上。若 ，則圓 O 的半徑為 （四） ,ABC,xAP,yBQzCR。 （以 x, y, z 表示） 【92(二) 4】2.設 中 ， 的平分線交 於 點，使得 ，則ABC2AD(一) 。 【92( 二) 1】3.坐標平面上有三個圓 、 與 。圓 的圓心為 而半徑為 ，圓 與圓 外切且與 軸相切於點 ，圓 與圓BC),0(aBAx)0,(aC、圓 都外切且又與 軸相切，則圓 與 軸切點的 坐標為 (四) 。 【92(二) 4】ABxx
8、4.在ABC 中，點 在 上且 ，又點 是 的中點。若 ，試證：ABC 是直角三角形。DAD2EACECD（16 分） 【93(一) 2】5.在凸五邊形 中，若 ，而且 的中點 滿足 。試求CEBCM45B（1） 的度數；（9 分）B（2） ，其中 是 至直線 的垂足。 （8 分） 【92(一) 3】MF: D6.設一直線 與一雙曲線相交於 兩點，並與該雙曲線之漸近線相交於 兩LBA, DC,點。試證： 。 （13 分） 【94( 一) 3】AC7.給定一個邊長為 1 的正四面體 。設 為 對於平面 的對稱點；CAB為 對於平面 的對稱點， 是 的中點。試求：（1） 的面積；BDMDAM（2）四面體 的體積。 （13 分） 【94(一) 2】
