1、第四章 弯 曲 内 力,第四章 弯曲内力,第一节 对称弯曲的概念及梁的计算简图,第二节 梁的剪力与弯矩,第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图,第四节 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用,第五节 按叠加原理作弯矩图,一、弯曲的概念,1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。,2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁,3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。,4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称
2、面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。,4.1 弯曲的概念及梁的计算简图,二、 梁的荷载及计算简图,研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。,1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。,2.梁的支座简化(平面力系)：,a)活动铰支座,b)固定铰支座,c)固定端,3.静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁,(a)悬臂梁,(b)简支梁,(c)外伸梁,4.作用在梁上的荷载可分为:,(a)集中荷载,(b)分布荷载,4.梁的剪力与弯矩,一、截面法求内力：切取、替代、平衡,剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之
3、为负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；,弯矩绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩为正)。,剪力为正,剪力为负,弯矩为正,弯矩为负,二、平面弯曲梁横截面上的内力：,剪力符号规定：,弯矩符号规定：,左上右下为正,下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆)为正,或使该段梁顺 时针转动为正,M,M,M,M,Fs,Fs,Fs,Fs,对未知的剪力、弯矩按正方向设定,求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的 剪力和弯矩.,例1,Fs3,M3,Fs2,Fs4,M4,q,RA,RA,例2 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。,解
4、： 1、求支反力,2、计算1-1截面的内力,3、计算2-2截面的内力,通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力外力简化法。,符号如何确定？,l:力的作用线至所求截面的距离,左段,右段,再作例2： 求图示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩.,A,B,RA,RB,RA =15kN,RB =29kN,请思考： RB还可如何简便算出？,RA =15kN,RB =29kN,根据1-1截面左侧的外力计算FS1 、 M1,FS1=+RA-P =15-8 =+7kN,M1 =+RA2-P(2-1.5) =152-80.5 =+26
5、kNm,根据1-1截面右侧的外力计算FS1 、 M1,FS1=+(Fs3)-RB =123-29 =+7kN,M1 =-(Fs3)2.5+RB4 =-(123)2.5+294 =+26 kNm,RA =15kN,RB =29kN,根据2-2截面右侧的外力计算FS2 、 M2,FS2 =+(Fs1.5)-RB =121.5-29 =-11kN,M2 =-(Fs1.5)1.5/2+RB1.5 =-(121.5)1.5/2+291.5 = +30 kNm,根据2-2截面左侧外力计算FS2、M2 , 请自己完成!,若将前面例题中确定尺寸b改为变量x,试列出下列各梁AB的剪力方程和弯矩方程, 作剪力图和
6、弯矩图。,1.剪力、弯矩方程：,2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。,例1 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。,4.剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图,例2 图示简支梁受均布荷载Fs的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。,解： 1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,例3 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。,由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。,解： 1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,由剪力、弯矩图知：在集中力偶
7、作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。,例4 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。,解： 1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,机械,M,FS,M,土木,由以上例题可总结以下几条： 1、在集中力作用点，剪力图发生突变，弯矩图发生转折，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。 2、在集中力偶作用点，剪力图无变化，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 3、无载荷的梁段，剪力图为一平行于轴线的直线，弯矩图为斜直线。 4、作用着均布载荷的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。,是普遍规律吗？,例,简支梁受移动荷载P作用
8、，试求梁的最大弯矩为极大时荷载P的位置.,解：,荷载P移至x截面处，,Mmax (x)=Px(L-x)/L,位置：x截面,令,x=L/2时， Mmax =P L/4,跨中为最不利位置,例 作图示平面刚架的内力图.,3m,2m,解：,BC段,FN =0,FS =10kN,M= -10x kNm (0x2),BA段,FN =-10kN,FS =20kN,M= -20-20x kNm (0x3),一般将竖直杆的下端看作左端,10kN,轴力图,剪力图,10kN,20kN,20kNm,弯矩图,20kNm,80kNm,注意：,轴力 正值画在外侧，负值画在内侧。 剪力 正值画在外侧，负值画在内侧。 弯矩 本
9、教材画在受压侧，不标注正负。,一般机械类教材弯矩图画在受压侧，土木类教材弯矩图画在受拉侧。,一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系,1.假设：规定Fs(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上Fs(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。,2.微分关系推导：,4.弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系,载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:,1.微分关系的几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。,2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：,二、讨论微分关系的几何意义,3.其它规律：|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用
10、处；q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。,用直接法（控制点法）作剪力、弯矩图：,1、梁上无分布荷载作用：q(x)=0,剪力图斜率为零，为平行于X轴的直线。,弯矩图斜率为常量C，为斜直线。,2、梁上作用有均布荷载: q(x)=C,剪力图斜率为q(x)=常量C 为斜直线。,（弯矩图为二次抛物线）,顶点（极值点）：,0有极小值,0有极大值,注意坐标方向 不同，曲线开口方向不同,各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图,1.先利用计算法则计算分段点（控制点）FS、M值
11、； 2.利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。,实例：利用微分关系作剪力弯矩图,例六 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。,解： 1、求支反力,2、判断各段FS、M图形状： CA和DB段：Fs=0，Fs图为水平线，M图为斜直线。 AD段：Fs0， Fs 图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。,3、先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。,(kNm),3.8,1.41,2.2,3,例,例,一般作剪力图时，从左往右，随力的方向走。,Fs,例,A端约束力=P,A,B,B端约束力=0,例,P,P ,Fs,例,例,例,例,例综合应用题,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,
12、E,M,q,外伸梁,解：一、求支反力,二、作剪力图,Fs,7,3,3,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,Fs,7,3,1,3,BD：水平直线,BE：水平直线,2,三、作弯矩图,M,20,20.5,16,x,m,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,Fs,7,3,1,3,2,M,20,20.5,16,6,6,x,A,B,C,D,x,例 绘制刚架内力图,解：一）求支反力：,RAX,RAY,RB,二）分析内力：,1）BC段：（0x13）,FN1,2）DC段：（0x23）分段列出,EC段:（0x22）,RB =5kN,剪力,弯矩,ED段:（2x23）,X2,3）AD段：
13、（0x34）,RB =5kN,RAX = -3kN， RAY =3kN,1）轴力图,三、作内力图,5kN,1kN,3kN,C,2）剪力图:,用简易法：取控制点,1kN,BC段：取一点（水平线）,DC段：取两点（l）,5kN,3kN,DA段：取两点（斜直线）,RB =5kN,RAX = -3kN， RAY =3kN,3）弯矩图,用简易法：取控制点,BC段：取两点（斜直线）,DC段：取两点（水平线）,DA段：取三点（抛物线）,C,0kNm,3kNm,3kNm,7kNm,3m,4kNm,RB =5kN,RAX = -3kN， RAY =3kN,5kN,1kN,3kN,当变形为微小时，可采用变形前尺寸
14、进行计算。,叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。,叠加法作弯矩图：,设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：,按叠加原理作弯矩图,+,注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。图中的纵坐标都是垂直于杆轴线AB的。,（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。,例 作图示简支梁的弯矩图。,利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般过程归纳如下：,+,+,Fl/4,解 （一）求支座反力,例 绘图示梁的剪力图和弯矩图。,距支座 A 为 x 处截面上的剪力为：,相应位置的弯矩为：,（二）列出剪力方程和弯矩方程,（三）绘 Fs 图和 M 图,1. 由剪力方程可知，Fs(x) 为二次曲线。,作 Fs 图。,2. 由弯矩原方程可知，M(x) 为三次曲线。,作 M 图。,Fs图,
