1、11-1 概述,第十一章 影响线及其应用,11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线,11-3 间接荷载作用下的影响线,11-4 用机动法作但跨静定梁的影响线,11-5 多跨静定梁的影响线,11-6 桁架的影响线,11-7 影响线的应用,11-8 简支梁的包络图和绝对最大弯矩,第十一章 影响线,11-1 概述,一、荷载的分类,按荷载的作用位置是否变化，可分为固定荷载和移动荷载。,固定荷载：荷载的大小方向和作用位置不变的荷载。,移动荷载：荷载的大小方向不变，但作用位置可在结构上移动的荷载。,二、影响线的概念,影响线：在单位移动荷载（P=1）作用下，某量值变化规律的函数图象，称为该量值的影响线。ZZ（
2、x）,研究B支座反力RB的变化规律,RB影响线,在Z的影响线中，横标表示的是P=1的作用位置；竖标表示的是量值Z的值。,RB影响线,11-2 静力法绘制静定单跨梁的影响线,静力法：该法的原理是用建立平衡方程的方法求出某量值与单位荷载移动位置的关系方程（影响线方程），再根据此方程绘制出影响线的方法。,一、简支梁的影响线,（1）支座反力影响线,RA影响线,绘制简支梁支座反力影响线规律： 简支梁某支座反力影响线为一段直线； 画哪个支座的就在该支座处向上取纵标1，在另一支座处取零。,（2）弯矩影响线,MC影响线,当P=1在C左移动时，,当P=1在C右移动时，,ab/l,绘制简支梁任意截面弯矩影响线规律
3、：先在左支座A处取纵标a与右支座零点用直线相连得右直线，然后在B支座处取纵标b与左支座A 相连得左直线或从截面C引下竖线与右直线相交，再与A点相连得左直线。,弯矩影响线与弯矩图的比较,影响线,弯矩图,荷载位置,截面位置,横坐标,竖坐标yD,不变,变,不变,变,单位移动 荷载位置,截面位置,单位移动荷载移到D点时, 产生的C截面的弯矩,C点的固定荷载作用下, 产生的D截面的弯矩,（3）剪力影响线,QC影响线,b/l,当P=1在C截面以左作用时，,当P=1在C截面以右移动时，,a/l,绘制简支梁任意截面剪力影响线的规律： 先在支座A处取纵标1，以直线与右支座B零点相连得右直线，再于右支座B处，取纵
4、标与左支座A零点相连得左直线，然后由截面C引下竖线与左、右直线相交。基线上面纵标取正号，下面取负号。,二、伸出梁的影响线,（1）支座反力影响线,当荷载P=1在跨内移动时，,当P=1移至右伸臂时，,当P=1在左伸臂移动时，,反力RA、RB影响线与简支梁情况完全相同。,l2/l,l+l1/l,RA影响线,（2）剪力影响线与弯矩影响线,截面在跨内，弯矩影响线和剪力影响线同简支梁，然后向两侧延长。,b/l,l2/l,a/l,l1/l,QC影响线,al2/l,ab/l,bl1/l,MC影响线,（2）剪力影响线与弯矩影响线,截面在跨外：,当P=1位于D截面右侧时，,当P=1位于D截面左侧时，,QD=0,Q
5、D =1,QD影响线,MD影响线,当P=1位于D截面右侧时，,当P=1位于D截面左侧时，,MD=0,三、悬臂梁梁的影响线,四、影响线与内力图的比较,影响线表示当单位荷载沿结构移动时，某指定截面处的某一量值的变化情形；,内力图表示在固定荷载作用下，某种量值在结构所有截面上的分布情形。,由某一个内力图，不能看出当荷载在其他位置时这种内力将如何分布。,由某一量值的影响能看出单位荷载处于结构的任何位置时，该量值的变化规律，但其不能表示其他截面处的同一量值的变化情形。,11-3 间接荷载作用下的影响线,通过纵梁或横梁间接作用于主梁上的荷载称为结点荷载。,一、结点荷载的概念,二、结点荷载作用下梁的影响线,
6、MD影响线,MD.I.L,QCE. I.L,结点荷载下影响线特点：1）在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同.2）相邻结点之间影响线为一直线。,结点荷载下影响线作法：1）以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。2）以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。,11-4 机动法绘作静定梁的影响线,一、刚体体系的虚功原理,刚体体系的虚功原理：刚体体系在力系作用下处于平衡的充分必要条件是所有作用于刚体体系上的外力在刚体体系的任意虚位移上做的虚功总和等于零。,虚功方程,二、机动法绘制简支梁影响线,（1）反力影响线,RB影响线,证明：根据W外=0,此式表明的值恰好就是单位力在x
7、时B点的反力值，刚好与影响线定义相同。（注意：是x的函数）,（2）弯矩影响线,MC影响线,证明：根据W外=0,影响线顶点坐标y的求法：,y,（3）剪力影响线,QC影响线,证明：根据W外=0,y1、y2的求法：,三、机动法绘制悬臂梁影响线,机动法作反力或内力影响线的步骤： 1）去掉与所求量值相应的约束，并代之约束力（设正向）； 2）使机构沿约束力正向发生单位虚位移，得到荷载作用点的竖向虚位移图，即所求影响线； 3）确定影响线各控制纵标值。基线以上部分为正号，基线以下取负号。,多跨静定梁具有基本部分和附属部分,当基本部分受力时，附属部分不受力当附属部分受力时，基本部分必受力,作影响线的步骤：,1）
8、先作量值所在杆段影响线，它与相应单跨静定梁影响线相同,2）相对于量值所在杆段为基本部分的杆段，竖标为0,3）相对于量值所在杆段为附属部分的杆段，其影响线为斜直线,11-5 多跨静定梁的影响线,F=1在AC段移动时，MK=0，只考虑荷载在CF段移动。,作图a所示多跨静定梁MK的影响线，图b为其层叠图。,荷载在EF段移动时的计算如图c。,荷载在CE段移动时的计算同伸臂梁。,MK的影响线如图d。,1、静力法,多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法,（1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应单跨静定梁相同。 （2）F=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值为0。 （3） F
9、=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。,由此可作出FF和 影响线如图e、f。,MK 影响线,2、机动法,MC 影响线,FQC(左） 影响线,FQC(右） 影响线,例11.1 用机动法作图示多跨静定梁的影响线。,MB影响线,QF影响线,RB影响线,QC影响线,MG影响线,例11.2 试用机动法作图示静定多跨梁的MK、FSK、MC、FSE和FyD的影响线。,解:(1) 撤去与Z相应的约束代以未知力Z，使体系沿Z 的正方向发生位移，由此可定出Z 的影响线的轮廓。,(2) 令Z =1，可定出影响线各竖距的数值。,任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。 反力影响线与简支梁相
10、同。,桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。 因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。,11-6 静力法作桁架的影响线,一、桁架的反力影响线,l=6d,A,D,C,E,F,G,a,d,c,e,f,g,b,单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应单跨梁相同，故二者的支座反力影响线也完全一样。,B,3）当P=1在被截的节间DE内移动时，Nde影响线在此段应为一直线。,二、桁架杆件内力影响线,（1）上弦杆轴力Nde的影响线,1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。,2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。,3d/(2h),3d/h,Nde影
11、响线,（2）下弦杆轴力NDE的影响线,1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。,2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。,3）当P=1在被截的节间DE内移动时，NDE影响线在此段应为一直线。,4d/3h,NCD 影响线,（3）斜杆dE轴力的竖向分力YdE的影响线,3）当P=1在被截的节间DE内移动时，Nde影响线在此段应为一直线。,1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。,2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。,1/3,YdE影响线,2/3,（4）竖杆轴力NcC的影响线,1）当P=1在结点C以左移动时，取
12、截面II-II以右部分为隔离体。,2）当P=1在结点D以右移动时，取截面II-II以左部分为隔离体。,3）当P=1在被截的节间CD内移动时，NcC影响线在此段应为一直线。,2/3,NcC影响线,1/6,（5）竖杆轴力NeE的影响线,1）当P=1沿下弦移动，,NeE影响线,下承,1,2）当P=1在结点e时，,NeE = 1,3)当P=1在其它结点时，,NeE = 0,NeE影响线,任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。 单跨梁式平行弦桁架弦杆内力影响线（由力矩法作出）可由相应简支梁结点（力矩法的矩心）弯矩影响线除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。斜杆轴力的竖向分力和竖杆轴力影响线（由投影法作出）是梁
13、的被切断的载重弦节间剪力影响线。作桁架影响线时要注意区分是上承，还是下承。静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。,一、 求位置已定的荷载作用下的量值,先绘制出截面C 的剪力影响线，由叠加原理求出截面C 的剪力FSC 。,求图示简支梁截面C 的剪力。,1. 集中荷载作用,注意：yi 应带正负符号。,11-7 影响线的应用,推广到一般情况。设有一组位置固定的集中荷载F1 、F2 、 、Fn 作用于结构，结构的某一量值Z 的影响线在各集中荷载作用点的纵坐标依次为y1、y2 、 、 yn ，则该量值 Z 为,将分布荷载沿其长度分为许多无限小的微段dx。微段dx的荷载qxdx可作为
14、一集中荷载，它引起的FSC的量值为(qxdx y)，在mn区段内的分布荷载对量值 FSC的影响为,2.均布荷载作用,利用FSC影响线求该分布荷载作用下FSC的数值。,推广到一般情况，利用某量值 Z 的影响线求均布荷载 q 作用下的Z 的影响量值的计算公式为：,若qx=q ，即对应均布荷载情况，则上式变为,A 为该均布荷载对应的影响线的面积的代数值。,A表示影响线在荷载分布范围在mn区段内的面积。,注意：计算面积 A 时，应考虑影响线的正、负号。图示情况 A = A2A1。,例11-2 试利用影响线求C 截面的弯矩和剪力。,依据公式：,Z=Fi yi + qi Ai,例11-3 试利用影响线，求
15、图示梁截面C 的弯矩MC和剪力FSC 。,解 先绘出双伸臂梁截面C的弯矩 MC和剪力FSC的影响线，由上述公式求弯矩MC和剪力FSC 。,例11-4 试利用影响线计算图示多跨静定梁在所给荷载作用下的ME、QE 值。,依据公式：,Z=Fi yi + qi Ai,在移动荷载和可动荷载作用下，结构上各种量值均将随着荷载位置的不同而变化，必须先确定最不利荷载位置。,二、求最不利荷载的位置,最不利荷载位置：使某一量值发生最大(或最小)值的荷载位置,(1) 当将均布荷载布满对应于影响线所有正号面积的范围时，则产生最大正值 Zmax ；,(2) 当将均布荷载布满对应于影响线所有负号面积的范围时，则产生最小值
16、Zmin 。,1. 可动均布荷载,可动均布荷载是可以任意断续布置的均布荷载，其最不利荷载位置：,2. 移动集中荷载作用,(1) 单个集中荷载,由Z=Fy可知，其最不利荷载位置是这个集中荷载作用在影响线的最大纵坐标处(求最大值Zmax)，或作用在影响线的最小纵坐标处(求最大负值Zmix),2. 从荷载的临界位置中确定最不利荷载位置。也就是从 Z 的若干个极大值中选出最大值从若干个极小值中选出最小值。,(2) 一组集中荷载,当荷载是一组间距不变的移动集中荷载(也包括均布荷)，根据最不利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求量值 Z 为最大。,分两步进行：,1. 求出使 Z 达到极值的荷载位
17、置，此位置称为荷载的临界位置；,以折线形影响线为例，说明荷载临界位置的特点及其判定原则。,若每一直线段内各荷载的合力FR1, FR2, , FRn 对应的影响线纵坐标分别为 , , , , 由叠加原理可得,设Z 的影响线各段直线的倾角为1, 2, , n 。取基线坐标轴x 向右为正，纵坐标y向上为正，影响线的倾角以逆时针方向为正。,Z 的增量为,当整个荷载组向右移动一微小距离x 时，相应的量值Z 变为,使Z成为极大值的临界位置必须满足荷载自临界位置向右或向左时，Z 值均应减少或等于零，即,注意：荷载左移时x0 ，Z 为极大时应有：,使Z 成为极小值的荷载临界位置的条件：,若只考虑FRitani
18、0 的情形,可得Z为极大(或极小) 值条件：荷载稍向左、右移动时,FRitani 必须变号。,当荷载稍向左移时，,当荷载稍向左移时，,当荷载稍向右移时，,当荷载稍向右移时，,tani 是常数，欲使荷载向左、右移动微小距离时FRitani 变号，只有当某一个集中荷载恰好作用在影响线的某一个顶点处才有可能。不一定每个集中荷载位于顶点时都能使FRitani 变号。,能使FRitani 变号的集中荷载称为临界荷载，记为Fcr ，此时的荷载位置称为临界荷载位置。,(2) 当Fcr在该点稍左或稍右时，分别求FRitani的数值。如果FRitani变号（或者由零变为非零），则此荷载位置称为临界位置，而荷载F
19、cr称为临界荷载。如果FRitani不变号，则此荷载位置不是临界位置。,确定荷载最不利位置的步骤如下：,(1) 从荷载中选定一个集中力 Fcr ，使它位于影响线的一个顶点上。,(3)对每个临界位置可求出Z 的一个极值，然后从各种极值中选出最大值或最小值。同时，也就确定了荷载的最不利位置。,当影响线为三角形时，临界位置的判别可进一步简化。左直线的倾角为1 =，且tan=h/ a ；右直线的倾角为2 =，且tan=h / b 。,临界荷载 Fcr 处于三角形的顶点, Fcr以左的荷载合力用FRL表示， Fcr 以右的荷载合力用FRR表示。 根据荷载稍向左、右移动时，FRitani 必须变号，可写出
20、三角影响线临界荷载条件:,代入 , 得,不等式左、右两侧的表达式可视为a、b两段梁上的“平均荷载” 。,必须有一个力作用在影响线的顶点处,把这个力归到顶点的哪一边，哪一边的“平均荷载”就大一些。具有这样特性的力就称为临界力Fcr 。在一组集中力系中, 哪一个力是临界力则需要试算才能确定。,三角形影响线荷载临界位置的特点是：,当F1位于影响线顶点时，有,例11-3 试求图示简支梁在移动荷载作用下截面K的最大弯矩。已知：F1=3kN, F2=7kN, F3=2kN, F4=4.5kN 。,可见, F1不满足条件, 故不是临界荷载。,解：绘出截面K 的弯矩MK 的影响线，再判别临界荷载位置。,当位F
21、2于影响线顶点时，有,F2是临界荷载。,同理可得，F3不是临界荷载，F4是临界荷载。,分别计算与临界荷载F2 、F4 对应的MK 值，则,截面K的最大弯矩为,例11-4 图示一吊车梁，P1=P2=P3=P4=82kN，求截面C弯矩最在时的荷载最不利位置及MC的最大值。,解：,1）作MC的影响线,2）确定荷载的最不 利位置,求FCmax,PCrP2,PCrP3,所有截面最大弯矩中的最大者称为简支梁的绝对最大弯矩。,当梁上作用的移动荷载由集中荷载构成时，问题可以简化。,一、简支梁的绝对最大弯矩,需要注意:在确定绝对最大弯矩时，绝对最大弯矩发生在哪一截面是未知的(x1), 哪一个荷载位于该截面处也是
22、未知的(x2), 这里有两个未知数。,11-8 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图,绝对最大弯矩一定发生在某一集中荷载作用点处的截面上。,设FK为发生绝对最大弯矩的临界荷载，FR为梁上荷载的合力。,FK作用点截面的弯矩为,MKFK以左梁上荷载对FK作用 点的力矩总和，为常数。,由极值条件,得,FK与FR的位置对称于梁的中点时，FK所在截面的弯矩达到最大。,最大弯矩为,若FR位于FK的左边，则式中a/2前的减号改为加号。计算中采用使简支梁中点截面产生最大弯矩的临界荷载作为FK。,计算绝对最大弯矩的步骤 （1）确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载FK； （2）使FK与FR的位置对称于梁的中点； （
23、3）计算FK作用点截面的弯矩，即为绝对最大弯矩Mmax。,例11-5 试求图a所示简支梁在汽车10级作用下的绝对最大弯矩，并与跨中截面最大弯矩比较。,解：（1）求跨中截面C的最大弯矩,作MC的影响线如图b。,显然临界荷载为100kN，如图a。,MC 最大值为,（2）求绝对最大弯矩,梁上合力为,临界荷载100kN与FR的距离,100kN与FR对称于梁的中点，如图c。,内力包络图：联结各截面的最大、最小内力的图形。,设：q 为梁承受的均布荷载；K活载的换算均布荷载；A+、A-、A某一内力S影响线的正、负面积及总面积。,在恒载和活载共同作用下，该内力的最大、最小值为,二、 简支梁的内力包络图,例11
24、-6 一跨度为16m的单线铁路钢筋混凝土简支梁桥，有两片梁，恒载为q=254.1kN/m，承受中活载，冲击系数1+=1.261。试绘制一片梁的弯矩和剪力包络图。,解：将梁分成8等分，计算各等分点截面面的最大、最小弯矩和剪力。如图a。,1 作各截面的弯矩、剪力影响线。 2 由(a)式计算最大、最小内力。 3 作弯矩包络图如图b。,4 作剪力包络图如图c。,实用中，只求出梁端和跨中的最大、最小剪力，连以直线，既可作为近似的剪力包罗图。如图d。,1. 任何静定结构的支座反力、内力的影响线，均由一段或数段直线所组成。,一、判断题,2. 静定结构和超静定结构的内力影响线均为折线组成。,3. 图示结构FS
25、C影响线的CD段为斜直线。,应为水平直线。,自测题,自测题,4. （判断题）用静力法作影响线，影响线方程中的变量代表截面位置的横坐标。（ ）（2分）（华中理工大学1999年）,5.（判断题）图示结构BC杆轴力影响线应画在BC杆上。（ ）（2分）（华中理工大学2000年）,影响线的作用范围是单位荷载的移动范围，应画在AB杆上而不是BC杆。,6. 图示结构FSD的影响线如图b所示。,自测题,二、选择题,A. 随实际荷载 B. 不随实际荷载 C. 因坐标系的不同选择 D. 随实际荷载数值,B,1. 结构某一截面某一内力影响线将 而改变。,自测题,2、简支梁绝对最大弯矩值是： （ ）（3分）（天津大学
26、1997年）A. 梁中某截面的最大弯矩值 B. 梁跨度中点附近某截面的弯矩值 C. 梁中各截面最大弯矩中的最大值 D. 梁中间截面的最大弯矩值,C,3. 用机动法作静定结构内力影响线的理论基础是 。 A. 变形体虚力原理 B. 刚体虚力原理 C. 刚体虚位移原理 D. 功的互等定理,C,4. 简支梁上有单位力偶移动，其截面C的剪力影响线应该是第 图。,D,自测题,5. 梁的绝对最大弯矩表示在一定移动荷载作用下A. 梁某一截面的最大弯矩B. 梁某一截面绝对值最大的弯矩C. 当移动荷载处于某一最不利位置时相应的截面弯矩 D. 梁所有截面最大弯矩中的最大值,D,自测题,C,6. 影响线的基线应当与（
27、 ） A . 梁轴线平行 B . 梁轴线垂直 C . 单位力的作用线垂直 D . 单位力的作用线平行,B,C,7. 悬臂梁截面K剪力影响线的某一截面竖标表示：( )A. F=1作用在该截面时，悬臂梁上的最大剪力值 B. F=1作用在该截面时，该截面的剪力值 C. 该截面剪力的最大值 D. 以上说法都不对,8. 图示结构MK 、FSK的影响线在B处的值为：( )A. 0 ,0 B. 2 m ,1 C. 4 m ,1 D. 4 m ,0,自测题,解：间接,9. 作桁架轴力影响线时，当F=1在该杆所在的节间内移动时，影响线在此部分按 荷载影响线处理。（3分）（东南大学1995年）,自测题,补充题 试利用影响线计算图示多跨静定梁在所给荷载作用下的ME、QE值。,
