1、如图所示梁,B端下沉,试作M图并求其挠曲线方程。,解:,力法典型方程为,忽略轴力影响,本题为二次超静定。,代入力法典型方程得,解之得,M图,求挠曲线,若挠度是由温度引起的,则,7.9 超静定结构的特性,与静定结构相比,超静定结构具有下列特性,(1) 在静定结构中只有荷载能引起内力。而在超静定结构中,任何因素(包括:荷载、温度变化、支座位移、制造误差、材料伸缩等)都可能引起内力。,但此类杆伸缩不会产生内力,(2) 静定结构的内力只需按静力平衡条件确定,其值与结构的材料性质、截面尺寸无关。而超静定结构的内力,除考虑静力平衡条件外,还需考虑结构的变形条件,其内力值与结构的材料性质、截面尺寸有关 。,
2、在什么情况下,形式上无关? 当各杆的EI成比例时,形式上无关。,(3) 超静定结构在多余约束被破坏后,仍能维持几何不变性,而静定结构在任一约束被破坏后,即变为几何可变体系,丧失承载能力,因此,一般而言,超静定结构比静定结构具有较大的抵抗突然破坏的能力。,不能视为多余约束的约束也具有该特点?,(4) 超静定结构中由于具有多余约束,一般而言,其刚度比相应的静定结构大些。且内力分布也比较均匀。如,结构力学 第8章 位移法,主要内容,位移法基本概念 位移法的基本结构和基本未知量 等截面直杆的转角位移方程 位移法典型方程 直接利用平衡条件建立位移法方程 位移法与力法联合应用 用位移法计算有斜柱的刚架,8
3、.1 位移法的基本概念,力法是分析超静定结构的最基本也是历史最悠久的方法。力法是以多余力作为基本未知量,首先根据变形协调条件求出多余力,然后再求出其它反力、内力和变形。位移法是以结构的结点位移作为基本未知量,以结点的平衡条件作为补充方程,首先求出结点位移,然后再求出其它反力、内力。求解问题的顺序正相反。,作为入门,我们先看一个简单的例子。以便更具体地了解位移法解题的基本思路。如图示对称桁架,承受对称荷载Fp作用。,由于对称,结点B将仅有竖向位移Z。在位移法中,基本未知量为Z。,取结点B为隔离体如图(b)所示,设第 i 根杆受的拉力为FNi, 由静力平衡条件,得,(a),另一方面,考虑任一根杆i
4、,设其伸长量为ui,由几何关系得,(b),由虎克定律得,(c),上式就是拉压杆的刚度方程 它反映了杆端力FN i与杆端位移ui 之间的关系。把(d)式代入(a)式得,(e),上式就是位移法的基本方程 它反映了结构的结点位移与结构的结点荷载之间的关系。,由基本方程得,(f),至此完成了位移法的关键一步,即在外荷载的作用下,结构的结点位移求解。各杆的内力也可以确定,(g),上面简要地介绍了位移法解题的过程,其要点如下 位移法的基本未知量是结点位移; 位移法的基本方程实质是结点沿基本未知量方向的平衡方程; 求解基本方程后,即可求出各杆的内力。,8.2 位移法的基本结构和基本未知量,上节中以简单桁架为
5、例说明了位移法的基本要点,下面讨论如何将位移法应用于刚架计算。,如图(a)所示由两根杆组成的刚架 。,可以看出,在位移法中,应以结点位移Z(或用表示)作为基本未知量,并以单跨超静定梁作为基本计算单元,因此,用位移法分析刚架时,需要解决下面三个问题:,如果能求出转角Z1,则各杆(12杆、13杆)的内力均可按前面的力法求得。,位移法的基本未知量的数目(至少要求出多少个位移未知量) 单跨超静定梁分析 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。,在本节中,我们讨论第一个问题,位移法的基本未知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题,后面讨论。,为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁,可以在原刚架的结
6、点上引入某些附加约束 如:附加的刚臂(阻止结点转动的约束)附加链杆(阻止结点线位移的约束)引入附加的刚臂或附加链杆后,使得结构的结点变成固定端或铰支端,而各杆成为单跨超静定梁。所得的结构即为位移法计算时的基本结构。而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为基本结构时,所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样,在确定了基本结构的同时,也就确定了位移法的基本未知量的数目。如:,一个基本未知量,基本结构,两个基本未知量,基本结构,三个基本未知量,基本结构,基本结构,三个基本未知量,两个基本未知量,基本结构,若:EA=?,0个基本未知量,8.3 等截面直杆的转角位移方程(物理方程),前面曾提到,位移法分
7、析刚架的基本计算单元为单跨超静定梁,因此,需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作用下的杆端内力情况。,1 杆端位移引起的杆端力,如图(a)所示两端固定梁AB,已知A端位移是vA、A,B端位移是vB、B。求该梁杆端力MAB、FQAB、MBA、FQBA。图中的位移方向均为正方向,把变形分解,首先考虑杆端弯矩作用下的杆端转角,如图(b)所示。,(a),i= EI/l 称为杆的线刚度。,则杆端的最终转角为,(c),由上式解得,(d),由静力平衡条件可求得杆端剪力为,(e),为了便于以后应用,下面讨论在B端具有不同支承条件时的杆端位移与杆端力的关系。,其次,因杆端线位移引起的杆端转角为,(b),(1) B端
8、为铰支,如图(c)所示,在(c)的第一式中 ,令MBA=0得,由平衡条件得,(h),(f),(2) B端为定向支承,如图(d)所示。,由(d)式得,(i),2 荷载引起的杆端力,书中给出了常见约束情况下荷载引起的杆端弯矩(顺时针为正)和杆端剪力(对杆内任一点产生顺时针矩的为正)的大小,使用时可直接查表(该表是用前面的力法求得的),杆端弯矩用MFAB、MFBA表示;,杆端剪力用FFQAB、FFQBA表示。,如:,3 等截面单跨超静定梁的转角位移方程,若等截面梁同时承受已知的杆端位移和荷载共同作用,则由叠加原理易求得最终的杆端力为,(1) 两端为固定,(8-1),这就是两端固定等截面直杆的转角位移
9、方程。,(2) A端为固定,B端铰支,(8-2),这就是A端为固定、B端铰支等截面直杆的转角位移方程,(3) A端为固定,B端定向,(8-3),这就是A端为固定、B端定向等截面直杆的转角位移方程,结束语,作业:,8.4 位移法典型方程,1 无侧移刚架的计算,无侧移刚架指无结点线位移的刚架,首先我们来分析最简单的无侧移刚架位移法典型方程的建立。,=,+,显然位移法的基本未知量仅有一个,1号结点转角Z1。在1号结点引入刚臂得位移法基本结构如图(b)所示。,1 约束刚臂使沿Z1方向上无转动,在荷载的作用下,此时附加刚臂上将产生反力矩R1p,如图(c)所示。,2 使基本结构的 1 结点发生与原结构相同
10、的转角Z1,此时附加刚臂上的力矩为K1,如图(d)所示。,图(b) 基本结构,设:沿Z1方向上单位转角时,刚臂上的力矩为k11,则,代入(a)式得,(a),(8-4),这就是一个基本未知量时的位移法典型方程。,应用叠加原理,(c)+ (d),则刚臂上的约束力矩为,对于本题:,代入典型方程得,求出结点1的转角后,任一截面的内力和反力由叠加原理得,(8-5),例1 如图示两跨连续梁,做M图(EI=常数)。,解:一个基本未知量,基本结构如图,位移法基本方程为,最终M图如图(e)所示。,2 有侧移刚架的计算,一般而言,刚架在结点处既有角位移,还有结点线位移,这类刚架称为有侧移刚架。位移法分析有侧移刚架
11、的基本思路与无侧移刚架相同,只是分析时要复杂些。应注意位移法基本未知量既包括角位移又包括线位移。,例2 如图示刚架,做M图(EI=常数)。,图(b) 基本结构,+,=,叠加(c) 、(d),注意到沿Z1、Z2方向原结构无荷载作用,易得,下面讨论K1、K2的表达形式,(a),因为,(b),由(a)、 (b)两式得,(8-6),这就是两个基本未知量时的位移法典型方程,对于本题,(反力互等定理),代入典型方程得,解之得,叠加法求任一截面的弯矩,3 位移法典型方程的一般形式,对于具有n个基本未知量的刚架,用完全相同的方法,可以得到相应于n个基本未知量的典型方程为,(8-7),写成矩阵的形式为,(8-8
12、),上式中,Z为基本未知量(结点位移)列向量;Rp为自由项(荷载)列向量; k 为刚度系数矩阵。,注意:,kij 的物理意义为沿第j个位移 Zj 方向上单位位移(其余的位移分量全为零)时,在 Zi 方向上所产生的约束反力;kij= kji 满足反力互等定理;kii 0。若用位移法求解非荷载因素(如温度和支座位移)对超静定结构的影响,则(8-8)式为,其中:刚度系数矩阵 k 和 Z 与(8-8)式相同,而自由项列向量分别为,注意:,Ri t (i=1,2n)代表基本结构单独在温度影响下所引起的沿位移基本未知量方向上的约束反力;Ri (i=1,2n)代表基本结构单独在支座位移影响下所引起的沿位移基
13、本未知量方向上的约束反力;,例3 如图示刚架,做M图。,解:基本未知量2个基本结构如图(b)所示。,位移法典型方程为,图(b) 基本结构,求系数,代入典型方程得,解之得,叠加法求任一截面的弯矩,最终M图如图(f)所示。,结束语,作业:,例3 如图示刚架,做M图。,解:基本未知量2个基本结构如图(b)所示。,位移法典型方程为,图(b) 基本结构,求系数,代入典型方程得,解之得,叠加法求任一截面的弯矩,最终M图如图(f)所示。,位移法应用及与力法比较*,在实际问题的计算应采用力法还是采用位移法呢?这是一个很难回答的问题。应当注意:不管采用力法还是位移法,目的只有一个把结构的最终内力图作出来。因此,
14、一般而言除了个人的爱好之外,不管采用何种方法,当未知量数目相对较少时,该方法就应理解为合理的计算方法,这是因为此时的计算工作量相对较少。,例4 如图示刚架截面为矩形,其高度h=l/10,线胀系数为,各杆抗弯刚度EI 相同,t1=40oC,t2=20oC,做M图。,分析:,这是一个非荷载因素对超结构影响问题。 按位移法计算其未知量数目为2 按力法计算其未知量数目也为2,首先按位移法分析,位移法基本未知量2个 基本结构如图(b)所示。,位移法典型方程为,求系数,解:,所以,仅考虑平均温度 t0 引起的轴向变形时,因各杆伸长而引起的结构位移如图所示,应注意:在此位移过程中,忽略刚架的轴力和剪力对温度
15、引起的轴向变形限制。,则各杆两端的相对侧移为,查表可得仅考虑内外温差 t 引起的弯曲变形时,因各杆的杆端弯矩,则其弯图如图所示,所以,仅考虑内外温差 t 引起的弯曲变形时,因各杆弯曲而引起的结构位移如图所示,因此,同时考虑平均温度 t0引起的轴向变形及内外温差 t 引起的弯曲变形时,在附加刚臂与链杆上约束反力为,把所求的数据代入位移法方程得,解之得,叠加法求任一截面的弯矩,最终的弯矩图为,看来用位移法求解该题并不容易,若采用力法呢?,如图示刚架截面为矩形,其高度h=l/10,线胀系数为,各杆抗弯刚度EI 相同,t1=40oC,t2=20oC,用力法做M图。,解:,力法分析该题时其超静定次数为2
16、,力法基本结构如图(b)所示,相应的力法典型方程为,求系数 做内力图,用第6章公式计算自由项,把求出的数据代入力法方程整理得,解之得,与位移法结果相同,例5,如图示结构作M图(EI=常数)。,解,分析 这是一个超静定结构求支座位移的影响问题。 超静定次数为1; 位移法基本未知量个数为1。,位移法典型方程为,求系数( i=EI/l ),先用位移法求解 取位移法基本结构如图(b)所示,把系数代入位移法方程可得,叠加法求任一截面的弯矩,最终M图为,再用力法求解 取力法基本结构如图(c)所示,力法典型方程为,求系数,把系数代入力法方程可得,与位移法结果相同,如图示对称结构作M图。,解,分析 这是一个对
17、称超静定结构在荷载作用下的影响问题。,首先考虑对称性,因为利用结构的对称性可以达到简化计算的目的 (1)进行荷载分组,原结构=,+,正对称荷载部分M为零,仅许分析反对称荷载部分,例6,因此原结构简化为下图示结构作M图。,采用半刚架法继续简化,若按位移法计算其未知量数目为3 若按力法计算其未知量数目也为1 因此相对而言,力法简单。首先按力法分析 注:此题采用力法求解时,也可采用未知量分组的方法进行计算:,由于荷载是反对称的,取对称的基本结构并把未知量分组。,利用第7章结论:对称结构在反对称的荷载作用下,其正对称的未知力必等于零,只需计算反对称的未知量。,也是一个力法基本未知量!,按力法分析时,其
18、基本结构可取为,相应的力法典型方程为,求系数,代入力法典型方程并整理得,解之得,则半刚架的M图为,利用反对称性,整个刚架的M图为,按位移法分析时,其基本结构可取为,相应的位移法典型方程为,求系数(i=EI/l),将其代入典型方程得,解之得,叠加法求任一截面的弯矩,则,则半刚架的M图为,与前面力法结果相同! 可以看出,由于结构中约束相对较少,采用位移法计算时,基本未知量相对较多,因此,位移法相对力法繁杂。,若此题变为如下所示结构,即仅中间立柱EI 变为2EI ?,采用半刚架法可得,继续采用荷载分组理论,+,仅需考虑反对称荷载即可 继续半刚架法可得,此时,结构变为静定的!不必再按超静定问题求解。 问题1:此时能否采用力法求解? 问题2:此时能否采用位移法求解? 采用位移法求解时基本未知量数目?,结束语,作业:,