1、电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 1 - 1. 根据算符 的微分性与矢量性 推导下列公式B A B A A B A B B A r r r r r r r r r r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + + = A A A A A r r r r r ) ( 2 1 ) ( 2 = 解 1 B A B A A B A B B A v v v v v v v v v v ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + + = 首先 算符 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 将作用于 B A v v 和 又 是一个矢量算符 具有矢量的所有性质
2、 因此 利用公式 b a c b c a b a c v v v v v v v v v ) ( ) ( ) ( = 可得上式 其中右边前两项是 作用于 A v 后两项是 作用于B v 2 根据第一个公式 令A v B v 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明. ) ( ) ( ) ( du A d u u A du A d u u A u du df u f r r r r = = = 证明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z u f e y u f e x u f u f z y x x u z y x = +
3、+ = + + = r r r r r r ) ( ) ( ) ( ) ( 2 du A d u z u dz u A d y u du u A d x u du u A d z u z A y u A x u A u A z y x z y x r r r r r r r r = + + = + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 = + + = = z x y y z x x y z z y u x z y x e y A x A e x A z A e z A y A u A u A A z y x e e e u A r r r r r r r r r
4、r r r r r r r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 2 - du A d u e y u du A d x u du A d e x u du A d z u du A d e z u du A d y u du A d z x y y z x x y z r r r r r r r r r r = + + = ) ( ) ( ) ( 3. 设 2 2 2 ) ( ) ( ) ( z z y y x x r + + = 为源点 x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源
5、变数求微商 ) ( z e y e x e z y x + + = r r r 与对场变数求 微商 ) ( z e y e x e z y x + + = r r r 的关系) 0 .( 0 , 0 , 1 1 , 3 3 3 3 = = = = = = = r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求 均为常矢量 及 其中 及 0 0 0 , ), sin( ) sin( ), ( , ) ( , , E k a r k E r k E r a r a r r r r r r r r r r r r
6、 r r r r r 证明 3 ) ( ) ( ) ( = + + = z z z y y y x x x r r0 = = z z y y x x z y x e e e r z y x r r r r ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( z y x z y x z z y y x x e z z e y y e x x e z e y e x e a e a e a r a v r v v v v v v v r v + + + + + + = ) ( ) ( ) )( ( z y x z y x e z z e y y e x x z a y a x a v r v + + +
7、 + =a e a e a e a z z y y x x v v v v = + + = a r a r r a r a r a v v v r v v v v v v + + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a a r a r r a v r v v v v v + + = ) ( ) ( ) (a r a r a v v v v v + + = ) ( ) ( ) )( sin( ) (sin( ) sin( 0 0 0 E r k E r k r k E r r r r r r r r r + = 电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 3 -0 ) sin(
8、 ) sin( ) sin( E e r k z e r k y e r k x z y x r r r r r r r r r + + =) )( cos( ) )( cos( 0 E k r k E e k e k e k r k z z y y x x r r r r r r r r r r = + + = 0 0 0 ) sin( ) sin( ) sin( E r k E r k r k E r r r r r r r r r + = 4. 应用高斯定理证明 = S V f S d f dV r r r 应用斯托克斯 Stokes 定理证明 = L S l d S d r r 证明
9、1)由高斯定理 = S V g S d g dV r r r即 + + = + + S z z y y x x V z y x dS g dS g dS g dV z g y g x g ) (而 dV k f y f x j f x f z i f z f y dV f x y z x y z V ) ( ) ( ) ( r r r r + + = + + = dV i f j f z k f i f y j f k f x y x x z z y ) ( ) ( ) ( r r r r r r又 ) ( ) ( ) ( k S d f dS f j dS f dS f i dS f dS
10、f f S d y S x x y x z z x z y y z S r r r r r + + = + + = z y x y x z x z y dS i f j f dS k f i f dS j f k f ) ( ) ( ) ( r r r r r r若令 i f j f H k f i f H j f k f H y x Z x z y z y x r r r r r r = = = , ,则上式就是 = S V H S d dV H r r r ,高斯定理 则证毕 2)由斯托克斯公式有 = S l S d f l d f r r r r + + = l z z y y x x
11、l dl f dl f dl f l d f ) ( r r + + = S z x y y z x x y z S dS f y f x dS f x f z dS f z f y S d f ) ( ) ( ) ( r r而 + + = l z k y j x i l dl dl dl l d ) ( r电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 4 - + + = S y x x z z y S k dS x dS y j dS z dS x i dS y dS z S d r r r r ) ( ) ( ) ( + + = z y x dS i y j x dS k x i z
12、 dS j z k y ) ( ) ( ) ( r r r r r r 若令 k z j y i x f f f = = = , , 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为, ) , ( ) ( = V dV x t x t P r r r 利用电荷守恒定律 0 = + t J r 证明P r 的变化率为 = V dV t x J dt P d ) , ( r r r 证明 = = V V dV x j dV x t t P r r r r r = = = V x V x dV j x j dV j x j x dV x j t P ) ( ( ) ( ) ( ) ( r r r r r
13、 = S x S d j x dV j r r 若 ) 0 ( , 0 ) ( , = = S j S d j x S r r r 则同理 = = ) ( , ) ( dV j t dV j t z z y y r r即 = V dV t x j dt P d ) , ( r r r 6. 若m r 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 3 R R m A r r r = 的旋度等于标量 3 R R m r r = 的梯 度的负值 即 = A r 其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点 证明 m r m r r m r m R m R R m A v v v v v v v v
14、 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ( ) ( 3 + = = = 电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 5 -) 0 ( , 1 ) ( = r r m v r m m r r m r m R R m 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 3 = = = v v v v v v r m m r 1 ) ( ) 1 ( = v v = A v 7 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球 介质的电容率为 使介质内均匀带静止自 由电荷 f 求 1 空间各点的电场 2 极化体电荷和极化面电荷分布 解 1 = dV S d D
15、 f S r r , ( r 2 rr 1 )f r r r D ) ( 3 4 4 3 1 3 2 = 即) ( , 3 ) ( 1 2 3 3 1 3 r r r r r r r E f = r r 由 ) ( , ) ( 3 4 2 3 1 3 2 0 0 r r r r Q S d E f f S = = r r) ( , 3 ) ( 2 3 0 3 1 3 2 r r r r r r E f = r r 0 1 时 E r r r 2) E E E P e r r r r ) ( 0 0 0 0 0 = = ) ( 3 3 ) ( ) ( ) ( 3 3 1 0 3 3 1 3 0
16、0 r r r r r r r r E P f f P r r r r r = = = = f f ) ( ) 0 3 ( 3 0 0 = = n n P P P 2 1 = 考虑外球壳时 r r 2n从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 0 2 = n P电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 6 - f r r f n P r r r r r r r P 3 2 3 1 3 2 0 3 3 1 3 0 1 3 ) 1 ( 3 ) ( 2 = = = = r 考虑到内球壳时 r r 2 0 3 ) ( 1 3 3 1 3 0 = = =r r f P r r r r r 8 内
17、外半径分别为 r 1 和 r 2 的无穷长中空导体圆柱 沿轴向流有恒定均匀自由电流 J f 导体 的磁导率为 求磁感应强度和磁化电流 解f lS f I S d D dt d I l d H = + = r r r r当 0 , 0 , 1 = = = rr 1 时 ) ( 2 2 1 2 r r j S d j rH l d H f S f l = = = r r r rr j r r r r r r j B f f r r v = = 2 2 1 2 2 1 2 2 ) ( 2 ) ( 当 rr 2 时 ) ( 2 2 1 2 2 r r j rH f = r j r r r B f r
18、r r = 2 2 1 2 2 0 2 ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ) ( ) ( 2 2 1 2 0 0 0 r r r r j H H M J f M M = = = = r r r r r ) ( , ) 1 ( ) 1 ( 2 1 0 0 r r r j H f = = r r 指向介质 从介质 2 1 ( ), ( 1 2 n M M n M r r r r = 在内表面上 0 ) 2 ) 1 ( , 0 1 2 2 1 2 0 2 1 = = = =r r r r r M M 故 ) ( , 0 1 2 r r M n M = = = r r r 在上表面 r r 2 时)
19、 1 ( 2 2 ) ( 0 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 = = = = = = r f r r f r r M j r r r r j r r r r r M n M n r r r r r r r r rf j r r r r 2 2 1 2 2 0 2 ) 1 ( = 电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 7 - 9 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 P 总是等于体自由电荷密度 f 的 倍 ) 1 ( 0 证明 f f P E E P ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 = = = = = r r r 10 证明两个闭合的恒定电流圈之间的
20、相互作用力大小相等 方向相反(但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明 1 线圈 1 在线圈 2 的磁场中的受力 = 2 3 12 12 2 2 0 2 4 l r r l d I B v v v 2 1 1 12 B l d I F d v v v = = = 12 12 3 12 12 2 1 2 1 0 3 12 12 2 2 1 1 0 12 ) ( 4 ) ( 4 ll ll r r l d l d I I r r l d I l d I F v r v v v v v ) ( ) ( 4 12 2 1 3 12 12 3 12 12 1 2 2 1 0 = l
21、l l d l d r r r r l d l d I I v v v v v v 1 2 线圈 2 在线圈 1 的磁场中受的力 同 1 可得 = 21 ) ( ) ( 4 1 2 3 21 21 3 21 21 2 1 2 1 0 21 ll l d l d r r r r l d l d I I F v v v v v v v 2 分析表达式 1 和 2 1 式中第一项为0 ) 1 ( ) ( 2 1 2 2 12 12 2 2 12 12 2 3 12 12 1 2 3 12 12 1 2 = = = = l l l l ll r l d r dr l d r r l d l d r r
22、 l d l d 一周 v v v v v v v v 同理 对 2 式中第一项 = 21 0 ) ( 3 21 21 2 1 ll r r l d l d v v v = = 12 ) ( 4 2 1 3 12 12 2 1 0 21 12 ll l d l d r r I I F F v v r v v 11. 平行板电容器内有两层介质 它们的厚度分别为 l 1 和 l 2 电容率为 2 1 和 今再两板 接上电动势为 的电池 求 1 电容器两板上的自由电荷密度 f 电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 8 - 2 介质分界面上的自由电荷密度 f 若介质是漏电的 电导率分别为
23、 2 1 和 当电流达到恒定时 上述两问题的结果如 何 解 在相同介质中电场是均匀的 并且都有相同指向则 , ) 0 0 f 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 = = = = + 介质表面上 E E D D E l E l n n故 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 , l l E l l E + = + =又根据 f n n D D = 2 1n 从介质 1 指向介质 2在上极板的交面上1 2 1 f D D = D 2 是金属板 故 D 2 0即 1 2 2 1 2 1 1 1 l l D f + = =而 0 2 = f ) 0 ( , 1 1 2 2 1 3 = =
24、 = D D D D D f 是下极板金属 故 1 3 1 2 2 1 2 1 f f l l = + = 若是漏电 并有稳定电流时2 2 2 1 1 1 , j E j E r r r r = =又 = = = = + 积 稳定流动 电荷不堆 , 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 j j j j j l j l n n r r r 得 + = = + = = + = = 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 : , l l j E l l j E l l j j 即1 2 2 1 2 1 3 l l D f + = = 上1 2 2 1
25、 1 2 2 l l D f + = = 下电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 9 - + = = 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 l l D D f 中 12. 证明 1 当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时 电场线的曲折满足1 2 1 2 tan tan = 其中 2 1 和 分别为两种介质的介电常数 2 1 和 分别为界面两侧电场线与法线的夹角 2 当两种导电介质内流有恒定电流时 分界面上电场线曲折满足1 2 1 2 tan tan = 其中 2 1 和 分别为两种介质的电导率 证明 (1)根据边界条件 1 1 2 2 1 2 sin sin , 0 ) (
26、E E E E n = = 即 v v由于边界面上 0 = f 故 0 ) ( 1 2 = D D n v v v 即 1 1 1 2 2 2 cos cos E E =1 2 1 2 1 1 2 2 , = = tg tg tg tg 即 有( 2) 根据 E J v v = 可得 电场方向与电流密度同方向由于电流 I 是恒定的 故有 1 2 2 1 cos cos j j =即 1 2 2 2 1 1 cos cos E E = 而 0 ) ( 1 2 = E E n v v v即 1 1 2 2 sin sin E E =故有 2 1 2 1 = tg tg 13 试用边值关系证明 在绝
27、缘介质与导体的分界面上 在静电情况下 导体外的电场线 总是垂直于导体表面 在恒定电流的情况下 导体内电场线总是平行于导体表面 证明 1 导体在静电条件下达到静电平衡0 1 导体内E v 而 0 ) ( 1 2 = E E n v v v0 2 = E n v v 故 0 E v 垂直于导体表面电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 10 - 3 导体中通过恒定电流时 导体表面 0 = f 导体外 0 , 0 2 2 = = D E v v 即而 0 : , 0 ) ( 1 0 1 1 2 = = = = E n D n D D n f v v v v v v v 即0 1 = E
28、n v v 导体内电场方向和法线垂直 即平行于导体表面 14 内外半径分别为 a 和 b 的无限长圆柱形电容器 单位长度电荷为 f 板间填充电导率 为 的非磁性物质 1 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消 因此内部无磁场 2 求 f 随时间的衰减规律 3 求与轴相距为 r的地方的能量耗散功率密度 4 求长度为 l 的一段介质总的能量耗散功率 并证明它等于这段的静电能减少率 1 证明 由电流连续性方程 0 = + t J f r据高斯定理 D f r = 0 = + t D J r r 即 0 = + t D J r r0 . 0 ) ( = + = + t D J t D J r
29、r r r 即传到电流与位移电流严格抵消 (2)解 由高斯定理得 = dl dl r D f r r 2r f r f e r E e r D r r r r 2 , 2 = = 又 E D E J t D J r r r r r r = = = + , , 0t e E E t E E = = = + 0 , 0 r r r rr t r r f e e r e r r r = 2 2 0电动力学习 题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 11 -t f f e = 0 3 解r e r t t D J f t f 2 ) 2 ( 0 = = = r r能量耗散功率密度 2 2 2 ) 2
30、( 1 r J J f = = 5 解单位体积 rdr l dV 2 = = = b a f f a b l rdr l r P ln 2 2 ) 2 ( 2 2 2 r 静电能 a b l dr r l dV E D W f b a f b a ln 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 = = = r r 减少率 a b l t a b l t W f f f ln 2 ln 2 2 2 = = 电动力学习 题解答参考 第二章 静电场 - 1 - 1. 一个半径为 R 的电介质球 极化强度 P=K 2 r r 电容率为 (1) 计算束缚电荷的体密度和面密度 (2) 计算自由电荷体密度 (
31、3) 计算球外和球内的电势 (4) 求该带电介质球产生的静电场总能量 解 (1)2 2 2 2 / ) 1 1 ( r K r r r r K r r K P P = + = = = r r r r R P P P n ) ( 1 2 r r r = 又 球外无极化电荷0 2 = P rR K r r K n P n R R p / 2 1 = = = r r r r (2) 由公式 E D r r =P E D r r r + = 0 0 = P D r r2 0 0 ) ( r K P D f = = = r r (3)对于球外电场 由高斯定理可得 = 0 Q s d E r r 外0 2
32、 2 0 0 2 sin ) ( 4 = = d drd r r K dV r E f 外 rr r ) ( 3 0 0 r r KR E 外 同理可得球内电场 2 0 r r K E r r 内球外电势 外 外 r ) ( r d 0 0 KR E r r电动力学习 题解答参考 第二章 静电场 - 2 - r R ln ) ( r d r d 0 0 0 r + K K E E R R 球内电势 内 外 内 r r r r 4 2 0 2 2 0 2 0 r 2 r r r r 2 1 2 1 内 内 内 K K K E D r r r r 2 0 2 2 2 0 2 ) 2 d drd s
33、in r r ) ( 2 1 d K R K V W 内 内 = 2 0 0 2 2 2 4 2 0 0 2 2 2 ) ( 2 d drd sin r r 1 ) ( 2 1 d RK R K V W R 外 外 2 0 0 ) )( 1 ( 2 + = K R W W W 外 内 2 在均匀外电场中置入半径为 0 R 的导体球 试用分离变数法球下列两种情况的电势 1 导体球上接有电池 使球与地保持电势差 ; 0 2 导体球上带总电荷 Q. 解 1 当导体球上接有电池 与地保持电势差 0 时 以地为电势零点本问题的定解条件如下0 内 R= 0 R0 2 外 R 0 R 且 = = = 0 0
34、 0 0 cos R R R R E 外 外 0 是未置入导体球 前坐标原点的电势 根据有关的数理知识 可解得 ) cos R R a n 1 n n n n 0 n 外 P b 由于 0 0 cos 外 R E R = 即 0 0 2 1 2 1 0 2 1 0 cos ) (cos cos ) (cos cos a + = + + + + + = + = R E P R b R b R b P R a R a R n n n n n n n n 外 故而有 ) 1 ( 0 ), 1 ( 0 , , 0 1 0 0 = = = = n b n a E a a n n cos b cos 2
35、1 0 0 0 R b R R E + 外电动力学习 题解答参考 第二章 静电场 - 3 - 又 0 2 0 1 0 0 0 0 0 cos b cos , 0 0 = + = = = = R b R R E R R R R 即 外 外故而又有 = + = + 0 cos cos 2 0 1 0 0 0 0 0 0 R b R E R b 得到 2 0 0 1 0 0 0 0 , ) ( R E b R b = = 最后 得定解问题的解为) ( cos ) ( cos 0 3 0 0 0 0 0 0 0 R R R R E R R R E + + + = 外 2 当导体球上带总电荷 Q时 定解
36、问题存在的方式是 = + = n b P n 项 故 cos b cos 2 1 0 0 0 R b R R E + 外 又有 0 R R = 外 是一个常数 导体球是静电平衡 C R b R R E R R = + = = cos b cos 2 0 1 0 0 0 0 0 0 外 3 0 0 1 2 0 1 0 0 0 cos cos R E b R b R E = = + 即 电动力学习 题解答参考 第二章 静电场 - 4 - cos cos 2 3 0 0 0 0 0 R R E R b R E + + 外又由边界条件 Q 外 s 0 ds r 0 0 4 Q b = 0 , 0 0
37、0 R 4 R R Q+ 外 3 均匀介质球的中心置一点电荷 f Q 球的电容率为 球外为真空 试用分离变数法求 空间电势 把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示 空间各点的电势是点电荷 f Q 的电势 R Q 4 f 与球面上的极化电荷所产生的电势的 叠加 后者满足拉普拉斯方程 解 一. 高斯法 在球外 0 R R ,由高斯定理有 f P f Q Q Q Q s d E = + = 总 r r 0 对于整个导体球 而言 束缚电荷 ) 0 = P Q2 0 4 R Q E f = r 积分后得 是积分常数 外 C C R Q .( 4 0 f + 又由于 0 , 0 = = C R 外 ) (
38、 4 0 0 R R R Q f = 外 在球内 0 R R ,由介质中的高斯定理 = f Q s d D r r 又 2 4 , R Q E E D f = = r r r 积分后得到 是积分常数 内 2 2 f .( 4 C C R Q + 电动力学习 题解答参考 第二章 静电场 - 5 - 由于 2 0 0 0 f 4 4 , 0 C R Q R Q f R R + = = 故而有 外 内 ). ( 4 4 0 0 0 0 2 R R R Q R Q C f f 0 0 f 0 0 f f 0 0 f , 4 4 4 , R 4 R R R Q R Q R Q R R Q 内 外电动力学
39、习 题解答参考 第二章 静电场 - 6 - 4 均匀介质球 电容率为 1 的中心置一自由电偶极子 f P r 球外充满了另一种介质 电 容率为 2 求空间各点的电势和极化电荷分布 提示 同上题 4 3 1 + = R R P f r r ,而 满足拉普拉斯方程 解 R R = 外 内 2 1 又 内 + = l 1 l 0 l 3 0 1 f 1 1 l 4 cos 2 ( 0 P R A R P R R = 外 l 2 l 0 l 3 0 1 f 2 2 1 l ( 4 cos 2 ( 0 P R B R P R R 比较 系数 ) (cos l PB 0 0 A 0 0 3 0 1 1 3 0 1 2 3 0 1 2 1 1 3 0 , 2 4 2 4 2 R B A R B R A R f f = = + 及 得 ) 2 ( 4 ) (
