1、电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 1 -1. 根据算符 的微分性与矢量性 推导下列公式BABAABABBArrrrrrrrrr)()()()()( +=AAAAArrrrr)(21)(2=解 1 BABAABABBAvvvvvvvvvv)()()()()( +=首先 算符 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题将作用于 BAvv和又 是一个矢量算符 具有矢量的所有性质因此 利用公式 bacbcabacvvvvvvvvv)()()( = 可得上式 其中右边前两项是 作用于Av后两项是 作用于 Bv2 根据第一个公式 令 AvBv可得证2. 设 u 是空间坐标
2、x y z 的函数 证明.)()()(duAduuAduAduuAududfufrrrr=证明1ududfezududfeyududfedudfezufeyufexufufzyxxuzyx=+=+=rrrrrr )()()()(2duAduzudzuAdyuduuAdxuduuAdzuzAyuAxuAuAzyxzyxrrrrrrrr=+=+=)()()()()()()(3=+=zxyyzxxyzzyuxzyxeyAxAexAzAezAyAuAuAAzyxeeeuArrrrrrrrrrrrrrrr)()()()()()()(电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 2 -duAdueyud
3、uAdxuduAdexuduAdzuduAdezuduAdyuduAdzxyyzxxyzrrrrrrrrrr=+= )()()(3. 设222)()()( zzyyxxr += 为源点x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从源点指向场点1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 )(zeyexezyx+=rrr与对场变数求微商 )(zeyexezyx+=rrr的关系)0.(0,0,11,3333= rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节 )2 求均为常矢量及其中及000,),sin()sin(),(,)(, EkarkErkErararrrrrr
4、rrrrrrrrrrr证明 3)()()(=+=zzzyyyxxxrr0=zzyyxxzyxeeerzyxrrrr)()()()()(zyxzyxzzyyxxezzeyyexxezeyexeaeaearavrvvvvvvvrv+=)()()(zyxzyxezzeyyexxzayaxavrv+=aeaeaeazzyyxxvvvv=+=ararrararavvvrvvvvvv+= )()()()()(aararravrvvvvv+= )()()(araravvvvv+= )()()(sin()(sin()sin(000ErkErkrkErrrrrrrrr+=电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍
5、规律- 3 -0)sin()sin()sin( Eerkzerkyerkxzyxrrrrrrrrr+=)(cos()(cos(0EkrkEekekekrkzzyyxxrrrrrrrrrr=+=000)sin()sin()sin( ErkErkrkErrrrrrrrr+=4. 应用高斯定理证明=SVfSdfdVrrr应用斯托克斯 Stokes 定理证明=LSldSd rr证明 1)由高斯定理=SVgSdgdVrrr即+=+SzzyyxxVzyxdSgdSgdSgdVzgygxg)(而 dVkfyfxjfxfzifzfydVfxyzxyzV)()()(rrrr+=+= dVifjfzkfifyjf
6、kfxyxxzzy)()()(rrrrrr又 )()()( kSdfdSfjdSfdSfidSfdSffSdySxxyxzzxzyyzSrrrrr+=+=zyxyxzxzydSifjfdSkfifdSjfkf )()()(rrrrrr若令 ifjfHkfifHjfkfHyxZxzyzyxrrrrrr= ,则上式就是=SVHSddVHrrr,高斯定理 则证毕2)由斯托克斯公式有=SlSdfldfrrrr+=lzzyyxxldlfdlfdlfldf )(rr+=SzxyyzxxyzSdSfyfxdSfxfzdSfzfySdf )()()(rr而+=lzkyjxildldldlld )( r电动力学
7、习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 4 -+=SyxxzzySkdSxdSyjdSzdSxidSydSzSdrrrr)()()(+=zyxdSiyjxdSkxizdSjzky)()()(rrrrrr若令kzjyixfff = ,则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为,),()(=VdVxtxtPrrr利用电荷守恒定律 0=+tJr证明 Pr的变化率为=VdVtxJdtPd),(rrr证明=VVdVxjdVxttPrrrrr=VxVxdVjxjdVjxjxdVxjtP)()()()(rrrrr=SxSdjxdVjrr若 )0(,0)(, =SjSdjxSrrr则同理=)(,)( dVjt
8、dVjtzzyyrr即=VdVtxjdtPd),(rrr6. 若 mr是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量3RRmArrr= 的旋度等于标量3RRmrr= 的梯度的负值 即= Ar其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点证明mrmrrmrmRmRRmAvvvvvvvv)1()1(1)(1)()1()(3+=电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 5 -)0(,1)( = rrmvrmmrrmrmRRm 1)()()1()1()1()(3=vvvvvvrmmr1)()1( =vv= Av7 有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球 介质的电容率为 使介质内均匀带静止自由
9、电荷f 求1 空间各点的电场2 极化体电荷和极化面电荷分布解 1= dVSdDfSrr, (r2rr1)frrrD )(3443132=即)(,3)(123313rrrrrrrEf=rr由 )(,)(342313200rrrrQSdEffS=rr)(,3)(2303132rrrrrrEf=rr01时 Errrrr1时 )(2212rrjSdjrHldHfSfl=rrrrrjrrrrrrjBffrrv=22122122)(2)(当 rr2时 )(22122rrjrHf=rjrrrBfrrr=2212202)()2()1()()(2212000rrrrjHHMJfMM=rrrrr)(,)1()1(
10、2100rrrjHf0R 且=0000cosRRRRE外外0 是未置入导体球前坐标原点的电势根据有关的数理知识 可解得 )cosRRan1nnnn0n外Pb由于00cos 外RER=即0021210210cos)(coscos)(coscosa +=+=+=REPRbRbRbPRaRaRnnnnnnnn外故而有 )1(0),1(0,0100= nbnaEaann cosbcos21000RbRRE +外电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 3 -又020100000cosbcos,00 =+=RbRRERRRR即外外故而又有 =+=+0coscos201000000RbRERb得到 2001
11、0000,)( REbRb = 最后 得定解问题的解为)(cos)(cos030000000RRRRERRRE += 外2 当导体球上带总电荷 Q 时 定解问题存在的方式是=+= nbPn项 故 cosbcos21000RbRRE +外又有0RR=外 是一个常数 导体球是静电平衡CRbRRERR=+= cosbcos201000000外3001201000coscos REbRbRE =+ 即电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 4 - coscos2300000RRERbRE +外又由边界条件 Q外s0dsr 004Qb =0,000R4RRQ+外3 均匀介质球的中心置一点电荷fQ 球的电
12、容率为 球外为真空 试用分离变数法求空间电势 把结果与使用高斯定理所得结果比较提示 空间各点的电势是点电荷fQ 的电势RQ4f与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加 后者满足拉普拉斯方程解 一 . 高斯法在球外0R R ,由高斯定理有fPfQQQQsdE =+=总rr0 对于整个导体球而言 束缚电荷 )0=PQ204 RQEf=r积分后得 是积分常数外CCRQ.(40f+又由于 0,0 =CR外)(400RRRQf=外在球内0R R00f00ff00f,444,R4RRRQRQRQRRQ内外电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 6 -4 均匀介质球 电容率为1 的中心置一自由电偶极子fPr球外
13、充满了另一种介质 电容率为2 求空间各点的电势和极化电荷分布提示 同上题 431 +=RRPfrr,而 满足拉普拉斯方程解RR =外内21又内+=l1l0l301f11l4cos2(0PRARPRR=外l2l0l301f221l(4cos2(0PRBRPRR比较 系数)(coslPB00 A003011301230121130,24242RBARBRARff=+ 及得)2(4)(2,)2(4)(221121130211211+=+=ffBRA比较 的系数)(cos2P4022402021,32RBARBRA =及 0)11(012=+RA所以 0,022= BA 同理 )3,2(,0 L= l
14、BAll最后有)(,)2(4)(24cos)2(4)(240302112131302112131RRRRRRRRRRffff+=+=+rrrrrrrr外电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 7 -球面上的极化电荷密度nPPnnPr,21= 从 2 指向 1 如果取外法线方向 则nnnnpPP )()(0102 内外球外 =0)()(0102 RRRR内外+=cos)2(4)2(2)(2)2(4cos)(6)()2(4cos6)(30211212130212001302102fffRRR +=cos)2(2)(3cos)2(4)(6)(63021121030211012201ffRR +=+=
15、求极化偶极子lqPfrr= 可以看成两个点电荷相距 l 对每一个点电荷运用高斯定理 就得到在每个点电荷旁边有极化电荷)(1(,)1(1010fPfPqqqq =两者合起来就是极化偶极子fPPPrr)1(10=5.空心导体球壳地内外半径为 R1和 R2球中心置一偶极子 Pr球壳上带电 Q 求空间各点电势和电荷分布解+=为有限值011301022332,4,0,0rrrrrPCrr=+=+013301223131212)(cos4,),(cosQdSrdSrPrArrPCCCPrBRrRrlllfRrRrlllrrR2R1312电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 8 -=+=+CRAARPCP
16、RBRBRBfLLcos4coscos110210232222120即 )4.3.2(0),3.2.1(0,0cos)4(,2111200LL =+= lAlBRPRACRBAllf+=+=+=+LLcos2)1(cos2cos4cos2311210231310113101RBRBPrBlrARPPRlARPrlllfLllf又则 =021021210210344 BRBRdSRBdSRBdSr000sincos4sincos220021310200213101=+=+=ddRRPddRRPdSrff故=+00134 QBrdSr3101200004,4,4RPARQAQBf=最后有=+020
17、00202020300023000300,cos236131(6,cos)2(3cos3cosRrrERrRrrRErRErRrEfff内外7 在一个很大的电解槽中充满电导率为2 的液体 使其中流着均匀的电流0f 今在液体中置入一个电导率为1 的小球 求稳衡时电流和电荷分布 讨论21 及12 两种情况的电流分布特点先求空间电势0022外内外内 0Rr =因为 )(0Rrnn=外内 稳恒电流认为表面无电流堆积 即nn流出流入 =故rr 222221外内 =并且0 =r外即 cos0rEr=外( )020Ejf=有限内 r 可以理解为在恒流时 0r 的小封闭曲面流入 流出电动力学习题解答参考 第二
18、章 静电场- 11 -这时的解即为+置一点电荷fQ 试用分离变数法求空间各点电势 证明所得结果与镜像法结果相同提示).()(cos)(1cos211022aRPaRaaRaRrnnn=+=解 1 分离变数法由电势叠加原理 球外电势f,4 +RQ外是球面上感应电荷产生的电势 且满足定解条件=00)(,0002RrrRr外根据分离变数法得)(,)(cos001RrPrBllll=+=+0122f)(coscos214llllPrBarraQ外*)(,)(cos)(cos)(14010arPrBParaQllllnnnf+=+=外将分离变数法所得结果展开为 Legend 级数 可证明两种方法所求得的
19、电势相等9 接地的空心导体球的内外半径为 R1和 R2在球内离球心为 a(a+=a 试用电象法求空间电势解 如图 利用镜像法 根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型 可确定三个镜像电荷的电量和位置rbrQQrbarQbaQrbarQbaQrrr=33222211,cos2cos21cos214224222220RbabaRbaRbbRRbbRQ+=PQQbaQba-QOR电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 15 -),20(,cos22242aRRbabaRba+ zybzayxxbzayxx13.设有两平面围成的直角形无穷容器 其内充满电导率为 的液体
20、 取该两平面为 xz 面和 yz 面 在 x0,y0,z0和 x0,y0,-z0两点分别置正负电极并通以电流 I 求导电液体中的电势解 本题的物理模型是 由外加电源在 A B 两点间建立电场 使溶液中的载流子运动形成电流 I,当系统稳定时 是恒定场 即 0=+tjr中 0=t对于恒定的电流 可按静电场的方式处理于是 在 A 点取包围 A 的包围面=nQsdErr而又有=EisdiIrrrr= sdEIrr1有111 IQQI =对 BQ1IQQB=又在容器壁上 ,0=njr即元电流流入容器壁由 Ejrr= 有 0=njr时 0=nEr可取如右图所示电像baQ(x0,a,b)-Q(x0,-a,b
21、)-Q(x0,a,-b)+Q(x0,-a,-b)zyP(x, y, z)B(x0,y0,z0)xzyA(x0,y0,z0)jrjr-Q(x0,-y0,z0)zQ(x0,-y0,z0)Q(-x0,-y0,z0)-Q(x0,y0,-z0)-Q(-x0,y0,z0)-Q(-x0,y0,-z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)yx电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 16 -14.画出函数dxxd )(的图 说明 )()( xPrr = 是一个位于原点的偶极子的电荷密度解=0,0,0)(xxxxxxxdxxdx+=)()(lim)(01 0)(0 =dxxdx时2 =xdxxdxx0lim)(,0xa00时+= axaax 若 a+=+)(),(cos)(12()1(642)2(531)1(01021RrlPrRllllll为奇数外
