1、1第一章 静力学公理和物体的受力分析11 静力学公理一公理1：力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个合力合力的作用点在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定或：合力矢等于这两个边矢的几何和，即21R FFF ：也可另作一三角形，求两汇交力合力的大小和方向二公理2：二力平衡条件作用在刚体上的两个力（如 1F与 2F ），使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上三公理3：加减平衡力系原理在已知力上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用四两个推理：1推理1：力的可传性（1）内容：作用于刚体上的某点
2、的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用（2）证明：用加减平衡力系原理先加一平衡力系，再减一平衡力系（3）说明的问题：作用于刚体上的力的三要素：力的大小、方向、作用线作用于刚体上的力可以沿着作用线移动滑动矢量2推理2：三力平衡汇交定理（1）内容：作用于刚体上三个力相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点（2）证明：用力的可传性、平行四边形法则、二力平衡的条件证明五公理4：作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上FF ：作用力与反作用力
3、不能看成平衡力系六公理5：刚化原理（1）内容：变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变（2）说明的问题：变形体看作刚体模型的条件：在某一力系作用下处于平衡刚体平衡条件与变形体平衡条件的关系：刚体平衡是变形体平衡的必要条件，而不是充分条件212 约束和约束力一约束1自由体和非自由体：（1）自由体：位移不受限制的物体（2）非自由体：位移受到限制的物体2约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体二约束力1约束力的含义：约束对物体所施加的，阻碍物体位移的力2约束力的方向：与该约束所能阻碍的位移方向相反：利用这个准则可以确定约束力的方向或作用线的位置3约束力的大小：
4、（1）特点：约束力的大小是未知的（2）静力学中的求法：约束力与主动力组成平衡力系用平衡条件求约束力三几种常见的约束及相应约束力的方向1具有光滑接触面的约束（1）约束的特点：不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面法线并向约束内部的位移（2）约束力：作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向被约束的物体法向约束力：用 NF 表示2由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束（1）绳索对物体的约束力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体，用F或 TF 表示（2）绕在轮子上的链条或胶带对轮子的约束力沿轮缘的切线方向3光滑铰链约束1）向心轴承（径向轴承）（1）结构与简图（2）约束的特点：轴可
5、在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动轴承阻碍着轴沿径向向外的位移（3）约束力：作用位置与方向：作用在接触点，且沿公法线指向轴心，并且与轴线垂直特点：主动力不同，轴和孔的接触点的位置不同主动力不确定时，约束力的方向预先不能确定3通常的处理：用通过轴收的两个大小未知的正交分力 AxF ， AyF 表示，且 AxF ，AyF 的方向暂可任意假定2）圆柱铰链和固定铰链支座（1）一个示例：（2）圆柱铰链（铰链）：结构：由销钉将两个钻有同样大小孔的构件连接在一起而成简图：（3）固定铰链支座（固定铰支）：结构：铰链连接中有一个固定在地面或机架上作为支座简图：（3）分析约束力时销钉的处理：铰链处约束力的分析：
6、常将销钉固连在其中一个构件上相互连接的两构件互为约束固定铰链支座处的销钉：将销钉固连在支座上说明：当需要分析销钉受力时，才将销钉分离出来单独研究（4）约束力的实质：约束的实质：轴与光滑孔的配合约束力情况：与轴承具有同样的约束，即约束力的作用线不能预先定出，但约束力垂直并通过铰链中心（5）约束力分析图3）光滑铰链约束的特点：只限制两物体径向的相对移动，而不限制两物体绕铰链中心的相对转动及沿轴向的位移4其他约束：1）滚动支座：（1）结构：在固定铰链支座与光滑支承面之间装有几个辊轴而构成（辊轴支座）4（2）约束特点：可以沿支承面移动：约束性质与光滑面约束相同（3）约束力：垂直支承面，且通过铰链中心2
7、）球铰链（1）结构：通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束（2）约束的特点：使构件的球心不能有任何位移，但构件可绕球心任意转动（3）约束力：通过接触点与球心，但方向不能预先确定的一个空间约束力处理方法：用三个正交分力表示3）止推轴承（1）约束特点：除了能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿轴向的位移（2）约束力特点：有三个正交分量（3）简图与约束力： 13 物体的受力分析和受力图一物体受力的类型：（1）主动力（一般是已知的）（2）被动力：约束对于物体的约束力二受力分析的要求：（1）要将受力物分离出来，画出它的简图取研究对象或分离体（2）画出物体所受的所有力，注意每个力的作用位置与作用方向三有用模
8、型二力构件（二力杆）：只在两个力作用平衡的构件，两个力必沿两作用点的连线，且等值反向5第二章 平面汇交力系与平面力偶系21平面汇交力系合成与平衡的几何法一平面汇交力系合成的几何法、多边形法则1平面汇交力系的含义：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系2平面汇交力系可合成：力的可传性将各力沿作用线移至汇交点平行四边形法则所有的力可合成一个合力3平面汇交力系合成的几何法：平行四边形法则；多边形法则4结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过汇交点 n1i in21R FFFFF 二平面汇交力系平衡的几何条件：1平面汇交力系平衡的充要条件
9、：该力系的合力等于零0F n1i i2平面汇交力系平衡的几何条件：该力系的力多边形自行封闭3求解平面汇交力系平衡问题的几何法：按比例先画出封闭的力多边形，量得所要求的未知量根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量22平面汇交力系合成与平衡的解析法一平面汇交力系合成的解析法 jiFFF yxRyRxR FF n1i yiyny2y1y n1i xixnx2x1x FFFFF FFFFF ， RyiRyRRxiRxR 2yi2xi2y2xR FFFF,cos,FFFF,cos FFFFF jFiF二平面汇交力系的平衡方程：1平面汇交力系的平衡条件：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于
10、02平面汇交力系的平衡方程： 0Fxi ， 0Fyi 623平面力对点之矩的概念及计算一力对点之矩（力矩）1问题的提出：（1）力对刚体的作用效果：使刚体的运动状态发生改变（2）刚体的运动状态：移动与转动（3）力对刚体的移动效应由力矢量度2力臂：某点O到力的作用线的垂直距离h称为力对O点的力臂：点O称为矩心3力对点之矩（力矩）：（1）含义：是一个代数量力对点之矩的绝对值等于力的大小与力臂的乘积力对点之矩的正负为：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负（2）力矩的表达式： Fh)(MO F（3）力矩的单位： mN ， mkN ， mmN ， mmkN（4）力矩的物理意义：力矩表示力对刚体的转动效
11、应二合力矩定理与力矩的解析表达式1合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和 n1i iORO )(M)(M FF2力矩的解析表达式： xyO yFxF)(M F ， n1i xiiyiiRO FyFx)(M F24平面力偶一力偶与力偶矩1力偶的定义：力偶：由两个大小相等，方向相反且不共线的平行力组成的力系：两力分别记作F，F力偶臂：力偶的两力之间的垂直距离d力偶的作用面：力偶所在的平面2力偶的作用效果：力偶的矢量和为零力偶对刚体没有移动效应力偶对各点的力矩不等于零力偶改变刚体的转动状态：力与力偶是静力学中的两个基本要素3力偶矩：（1）力偶对作用面内任
12、意点的力矩的代数和：大小等于力与力偶臂的乘积，正负一定大小、正负都与矩心位置无关（2）力偶矩的定义：力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：以逆时针转向为正，反之为负FdM 7：力偶矩等于力偶中两个力对任意点的力矩的代数和二同平面内力偶的等效定理1定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效：理由：力偶只改变物体的转动状态力偶对物体的转动效应由力偶矩度量2推论：任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，
13、而不改变力偶对刚体的作用3结论：力偶矩是平面力偶作用的唯一量度，而力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量三平面力偶系的合成和平衡条件：1平面力偶系的合成：在同一平面内的任意个力偶可合成一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和 n1i iMM：推导过程：将各力偶在保持力偶矩不变的前提下同时改变力偶臂与力的大小，使各力偶的力偶臂大小相等在平面内将各偶移转，使它们的作用线重合分别求两作用线上的合力2平面力偶系的平衡条件：平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零0Mn1i i 第三章 平面任意力系31 平面任意力系向作用面内一点简化一力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移
14、到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩：证明过程：在B点加一对大小与F相等，方向与F平行的平衡力，其中与F相反的力与F组成一个力偶二平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩1平面任意力系向作用面内一点简化1）平移：力的平移定理将作用在刚体上的平面任意力系 1F， 2F ， nF 中的各力向简化中心O平移，同时附加一个相应的力偶平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系1F， 2F， nF和平面力偶系 1M ， 2M ， nM8： ii FF ， )(MM iOi F2）合成：（1）主矢：将平面汇交力系 1F， 2F， nF合成为一个通过简化中心的合力 R
15、F 主矢 n1i in1i iR FFF（2）主矩：将平面力偶系 1M ， 2M ， nM 可合成为一个力偶 OM 主矩 n1i iOn1i ii )(MMM F（3）说明：主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关3）结论：平面任意力系向作用面内任选一点简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于该力系对于简化中心的主矩。4）主矢与主矩的解析式：（1）主矢： RyRRxR 2y2xRyxRyRxR FF,cos,FF,cos FFFFF jFiFjiFFF（2） n1i xiiyiin1i iOO FyFxMM F2固定端（或插入端）支座（1）约束力及
16、其向一点的简化：一般情况下 AF 的大小方向都未知，用 AxF ， AyF 两个分力代替（2）与固定铰链支座区别：固定端支座除了限制物体在水平方向的铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动有约束力 AF 与约束力偶 AM三平面任意力系的简化结果分析1平面任意力系简化为一个力偶的情形9（1）情形： 0R F ， 0MO 原力系合成为合力偶（2）主矩特点：主矩与简化中心的选择无关：因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同2平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理（1）平面任意力系简化为一个合力的情形之一：情形： 0R F ， 0MO 附加力偶互相平衡，只有一与原力系等效的力 RF主矢的特点：主矢就是
17、原力系的合力，且合力的作用线恰好通过选定的简化中心（2）平面任意力系简化一个合力的情形之二情形： 0R F ， 0MO 简化：将矩 OM 的力偶用 RF ， RF 表示，并令 RRR FFF ，其中 RF 的作用点在简化中心O， RF 的作用点在另一点O，去掉一对平衡力 RF ， RF 作用于O点的力 RF与力偶 RF ， RF 合成为作用于O的力 RF力 RF 的实质：原力系的合力：O的位置需根据主矢 RF ，主矩 OM 的方向确定（3）平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和32 平面任意力系的平衡条件和平衡方程一平面任意力系平衡的充
18、要条件：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零二平面任意力系的平衡方程：1两个投影方程一个力矩方程： 0Fxi ， 0Fyi ， 0M iO F2一个投影方程两个力矩方程： 0MA F ， 0MB F ， 0Fx ：x轴不能垂直AB连线理由： 0MA F 力系不能简化为一个力偶，可能简化为经过A点的一个力或平衡 0MB F 力系不能简化为一个力偶，可能简化为经过AB连线的一个合力10 0Fx 刚体必平衡3三个力矩方程： 0MA F ， 0MB F ， 0MC F：A、B、C三点不能共线三平面平行力系的平衡方程（力平行于y轴）1投影方程与力矩方程： 0)(M 0F Oy F2两个力矩方程： 0)(
19、M 0)(MBA FF33物体系的平衡静定和超静定问题一静定问题：系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目二超静定问题：未知量的数目多于独立平衡方程的数目：超静定问题是材料力学和结构力学中研究的内容34平面简单桁架的内力计算一桁架介绍：1桁架：是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点2桁架的优点：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的重量3理想桁架的几个假设：（1）桁架的杆件都是直的（2）杆件用光滑的铰链连接（3）桁架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且在桁架的平面内（4）桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在
20、杆件两端的节点上二计算桁架杆件内力的方法1节点法：逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部未知的杆件内力2截面法：适当地选取一截面将桁架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求出这些被截杆件的内力11第四章 空间力系41 空间汇交力系一力在直角坐标上的投影1直接投影法：),Fcos(Fx iF ， ),Fcos(Fy jF ， ),Fcos(Fz kF2间接投影法： FcosF sinFsinF cosFsinFzyx二空间汇交力系的合力与平衡条件1空间汇交力系的合力：等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点 n1i in21R FFFFF 或 n1i zin1i yin1i xiR FFF kj
21、iF2空间汇交力系平衡的充分必要条件：该力系的合力等于零0iR FF3空间汇交力系的平衡方程： 0Fxi ， 0Fyi ， 0Fzi 42 力对点的矩和力对轴的矩一力对点的矩以矢量表示力矩矢1力对点的矩矢的定义：力对点的矩矢等于矩心到该力的作用点的矢径与该力的矢量积FrFM )(O：力矩矢量 )(O FM 的大小和方向都与矩心O的位置有关力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动定位矢量2力矩矢的投影：以矩心为坐标原点，作用点的坐标为（ zy,x, ），则有12kjikjiFrFM )yFxF()xFzF()zFyF(FFF zyx)( xyzxyzzyxO xyxO zxyO yzxO yFxF)
22、( xFzF)( zFyF)(FM FM FM二力对轴的矩1力对轴的矩的定义：力对轴的矩是力使刚体绕轴转动效果的度量，是一个代数量其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。其正负号为：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之为负号：当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零2力对轴的矩的解析式： xyz zxy yzx yFxF)( xFzF)( zFyF)(FM FM FM三力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系力对点的矩在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴的矩43 空间力偶一力偶矩以矢量表示，力偶矩矢1力偶矩矢的定义：力偶中的两个力对
23、空间某点之矩的矢量和FrM BA：A是力偶中一力F的作用点，B是力偶中另一力F的作用点力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关M无需确定矢的初端位置自由矢量力偶矩矢度量空间力偶对刚体的作用效应2力偶矩矢的特点：矢量的模，即力偶矩大小为力与偶臂的乘积矢量的方向与力偶作用面相垂直矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺旋法则二空间力偶等效定理131定理：作用在同一刚体上两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效2说明问题：空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果同时改变力与力偶臂的大小或将力偶在其作用面力任意转移，只要力偶矩矢的大小、方向不变，其作用效果就不变三空间力偶
24、系的合成与平衡条件1空间力偶系的合成：（1）空间力偶系的合成：任意个空间分布的力偶可合成一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和 n1i in21 MMMMM ：证明过程：在 1M ， 2M 的作用面的交线上任取线段d，将两力偶在各自的作用面内等效转移与变换即可（2）合力偶矩矢的解析式：kjiM zyx MMM n1i iznz2z1zz n1i iyny2y1yy n1i ixnx2x1xx MMMMM MMMMM MMMMM 2空间力偶系平衡的条件（1）必要和充分条件：该力偶系的合力偶矩等于零0n1i i M（2）空间力偶系的平衡方程：0Mn1i ix ， 0Mn1i iy ， 0M
25、n1i iz 1444 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩一空间任意力系向一点的简化1平移：力的平移定理将作用在刚体的空间任意力系 1F， 2F ， nF 中的各力平移至简化中心O同时附加一个相应的力偶原空间任意力系被空间汇交力系 1F， 2F， nF和空间力偶系 1M ， 2M ， nM 等效替换： ii FF ， )( iOi FMM 2合成：（1）作用于O点的空间汇交力系合成一力 RF ，此力的作用线通过点O，大小和方向等于力系的主矢 n1i zin1i yin1i xin1i iR FFF kjiFF（2）空间分布的力偶系合成为一力偶，力偶矩矢等于原力系对点O的主矩 n1i iin1i
26、 iOn1i iO )( FrFMMM3结论：空间任意力系向任一点O简化，可得一力和一力偶这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心主矩4主矢与主矩的特点：主矢与简化中心的位置无关主矩一般与简化中心的位置有关5空间任意力系简化的实际意义二空间任意力系的简化结果分析1空间任意力系简化为一合力偶的情形（1）情形： 0R F ， 0OM 与原力系等效的合力偶（2）主矩特点：与简化中心位置无关2空间任意力系简化为一合力的情形（1）空间任意力系简化为一合力的情形之一15情形： 0R F ， 0OM 与原力系等效的合力合力特点：合力的作用线通过简化中心O，合
27、力的大小和方向等于原力系的主矢（2）空间任意力系简化为一合力的情形之二情形： 0R F ， 0O M ， OR MF 力 RF 与力偶（ RF ， RF ）进一步合成为作用于点O的一个力 RF力 RF 的实质：原力系的合力，大小和方向等于原力系的主矢，作用线离简化中心O的距离为 ROFd M3空间任意力系简化为力螺旋的情形（1）力螺旋：力螺旋的含义：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面：力螺旋是同静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系，不能进一步合成力螺旋的类型：右螺旋力偶的转向和力的指向符合右手螺旋法则左螺旋力偶的转向和力的指向与右手法则相反力螺旋的中心轴：力螺旋的力
28、作用线（2）空间任意力系简化为力螺旋情形之一情形： 0R F ， 0O M ， OR /MF中心轴：通过简化中心（3）空间任意力系简化为力螺旋情形之二情形： 0R F ， 0O M ，且两者不平行也不垂直再简化：将 OM 分解为平行 RF 的 OM 和垂直于 RF 的 OM OM 与 RF 合成为作用于O的 RF 力螺旋（4）结论：一般情况下空间任意力系可合成为力螺旋4空间任意力系简化为平衡的情形空间任意力系向任一点简化时， 0R F ， 0O M1645 空间任意力系的平衡方程一空间任意力系的平衡方程1空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零0R F ， 0O M
29、2空间任意力系的平衡方程： 0)(M0)(M0)(M 0F0F0F zyx zyx FFF二空间约束的类型举例17三空间力系平衡问题举例 46 重 心一平行力系中心1平行力系中心的含义：平行力系合力作用点2平行力系中心的计算：（1）合力作用点位矢： iiiR iiC0ii0RC0ii0RR iiRC FFFFFFF,F rrrFrFrFFFF FrFr： ir 是力 iF 作用点的位矢（2）合力作用点的坐标 iiiC FxFx ， iiiC FyFy ， iiiC FzFz3平行力系中心位置的决定因素：仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关：与平行力各力间方向关系有关二重
30、心1一般情况：18 iiiC PxPx ， iiiC PyPy ， iiiC PzPz： iP为第i部分的重力， )z,y,(x iii 第i部分的重心位置2均质物体： VxdVx VC ， VydVy VC ， VzdVz VC 三确定物体重心的方法1简单几何形状物体的重心192用组合法求重心（1）分割法（2）负面积法（负体积法）3用实验方法测定重心的位置 第五章 摩 擦51 滑动摩擦一静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力1静滑动摩擦力的特点：（1）与一般约束力相同的性质：随主动力的情况而变（2）与一般约束力不同的性质：有最大值最大静滑动摩擦力（最大静摩擦力）：静摩擦力用 sF 表示2静摩擦定律（
31、库仑摩擦定律）：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（即法向约束力）成正比 Nsmax FF f： sf 静摩擦因数，是量纲一的量静摩擦因数 sf 由实验测定，与接触物体的材料和表面情况（如粗糙度、温度和湿度等）有关，与接触面积的大小无关二动滑动摩擦力：1大小规律：动摩擦力的大小与接触物体间正压力成正比20NFF f： f 动摩擦因数，与接触物体的材料和表面情况有关一般情况下， sff 2动摩擦因数与接触物体间相对滑动的速度大小的关系：不同材料的物体，动摩擦因数随相对滑动的速度变化规律不同多数情况下，动摩擦因数随相对滑动速度大小的增大而稍减小相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似地认为是常数52
32、 摩擦角和自销现象一摩擦角1全约束力：支承面对平衡物体的法向约束力 NF 和切向约束力 sF （静摩擦力）的几何和2摩擦角：全约束力与法线间的夹角的最大值 isNmaxi FFtan f：摩擦角与摩擦因数一样都是表示材料的表面性质的量3摩擦锥：当物块的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变临界状态下，全约束力的作用线画出的锥面称为摩擦锥：若物块与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同，摩擦锥是一个顶角为 i2 的圆锥二自锁现象1自锁现象：作用于物块的合部主动力的合力 RF 的作用线在摩擦角 i 之内无论主动力多大，物块都处于静止状态自锁现象2自锁现象的不发生：作用于物块的合部主动力的合
33、力 RF 的作用线在摩擦角 i 之外无论主动力多小，物块一定滑动3自锁现象的应用：螺纹，千斤顶53 考虑摩擦时物体的平衡问题21一平衡问题的特点：（1）分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力 sF ，通常增加了未知量的数目（2）为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即 Nss FF f ，补充方程的数目与摩擦力的数目相同（3）由于物体平衡时摩擦力有一定范围，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值二临界状态下求解有摩擦力的平衡问题的注意点： maxF 的方向不能假定，必须按真实方向给出54 滚动摩擦一滚动摩擦的来源外力作用滚子与支承物都变形两者有一个接触面支承物对
34、滚子的作用力沿接触面分布作用力向A点简化得一个力 RF 和一个力偶，力偶矩为 fM RF 可分解为摩擦力 sF 和法向约束力 NF矩为 fM 的力偶称为滚动摩阻力偶（简称滚阻力偶）二滚动摩阻力偶矩 fM1特点：随着主动力的增加而增大滚子处于将滚动未滚的临界平衡状态时，滚动摩阻力偶矩达最大值最大滚动摩阻力偶矩：最大滚动摩阻力偶矩用 maxM 表示滚动过程中受到的滚动摩阻可以认为是 maxM2滚动摩阻定律：最大滚动摩阻力偶矩 maxM 与滚子半径无关，而与支承面的正压力（法向约束力） NF 的大小成正比22Nmax FM ： 滚动摩阻系数（滚阻系数）长度量纲，单位一般用mm3滚动摩阻系数：（1）决
35、定因素：滚动摩阻系数与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关，由实验测定（2）物理意义：分析：滚子在临界平衡状态时，将法向约束力 NF 与最大滚动摩阻力偶 maxM 合成一个力 NF ，且 NN FF 力 NF 的作用线距中心线的距离： NmaxFMd结论：滚动摩阻系数 可看成在即将滚动时，法向约束力 NF 离中心线的最远距离，也就是最大滚动阻力偶（ NF ，P）的臂第六章 点的运动学61 矢量法一点的位置1矢径：自坐标原点O向动点M作的矢量r称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径：矢径是表示了质点的位置2运动方程：动点M运动时，矢径r随时间变化的函数称为以矢量表示的点的运动方程(t)rr ：运
36、动方程就是表示质点的位置随时间变化的函数3矢端曲线：动点M运动过程中，其矢径r的末端描绘出的一条曲线称为矢端曲线：矢端曲线就是动点M的运动轨迹二速度矢： dtdrv ，或 rv ：速度矢的方向沿矢径r的矢端曲线的切线三加速度矢： 22dtddtd rva ，或 rva 23：如将不同瞬时动点的速度矢平行移到同一点O，连接各速度矢的端点速度矢端曲线动点加速度矢的方向与速度矢端曲线的切线方向平行62 直角坐标法一动点的位置1位置表示：用三个直角坐标x，y，z表示2与矢径关系： kjir zyx 3运动方程： t)(x 1f ， t)(y 2f ， t)(z 3f：消去t可得动点轨迹方程二速度矢：
37、kjikjirv zyx vvvzyx xvx ， yvy ， zvz 三加速度矢： kjikjira zyx aaazyx xax yay zaz 63 自然法一自然坐标系：1弧坐标：在曲线上任选一点O为参考点，并设O点的某一侧为正方向，将弧长看成代数量，曲线上各点的位置可以用该点与O点之间的弧长为表示表示曲线上各点位置的弧长称为该点的弧坐标2自然轴系：（1）密切面：由曲线上某点M的切线和与该点无限接近的点的切线组成的极限平面称为点M的密切面（2）法平面：过曲线上某点M并与该点的切线垂直的平面称为M点的法平面（3）主法线：法平面与密切面的交线（密切面内与切线垂直的直线）称为主法线：主法线的单
38、位矢量为n，指向曲线内凹一侧（4）副法线：过点M且垂直于切线及主法线的直线称为副法线：副法线的单位矢量为b，指向与，n构成右手关系，即 nb （5）自然坐标轴：以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴：点M在轨迹上运动，n，b的方向不断变动，自然坐标系是沿曲线而变动的游动坐标系243曲率与曲率半径：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲率，曲率的倒数称为曲率半径 dsdslim1 0s 4几个有用的关系： n dd ； r dsd 二自然法对点运动的描述1位置的表示与运动方程：（1）位置表示：用弧坐标表示动点的位置（2）运动
39、方程： (t)s f2点的速度： rv vdtdsdtd 3点的加速度1）点的加速度： dtdvdtdvdtd va 2）加速度的组成部分讨论：（1）切向加速度：表达式： a vdtdvt ， svat 物理意义：反映点的速度值对时间的变化率（2）法向加速度：表达式： nnna 2n vdtdsdsdvdtdvdtdv ， va 2n 物理意义：反映点的速度方向随时间变化的快慢（3）全加速度：组成： naaa ntnt aa ， dtdvat ， va 2n ， 0b a： ta ， na 在密切面内全加速度a在密切面内 0b a大小： 2n2t aaa 方向：与法线间的夹角 ntaatan
40、：a与切向单位矢量夹角为锐角时，为正，为钝角时，为负4曲线运动举例：（1）曲线匀变速运动：特征： ta 恒量规律： tavv t0 ， 2t00 ta21tvss （2）曲线匀速运动：特征： 0at ，25规律： vtss 0 64 点的速度和加速度在柱坐标和极坐标中的投影一柱坐标 00 dd ， 00 dd ， 0d k二运动描述1矢径： kr z0 2速度： krv dtdzdtddtddtd 00 dtdv ， dtdv ， dtdzvz 3加速度： kva 220220222 dtzddtddtddtd2dtddtddtd 222 dtddtda ， 22dtddtddtd2a ， 2
41、2z dtzda 65 点的速度和加速度在球坐标中的投影一球坐标 000 dsindd r ， 000 dcosdd r ，000 dcosdsind r 二运动描述1矢径： 0rrr 2速度： 000 dtdsinrdtdrdtdrdtd rrv dtdrvr ， dtdrv ， dtdsinrv 3加速度： 02222022222 dtdcossinrdtdrdtddtdr2dtdsinrdtdrdtrddtd rva 022dtdsinrdtddtdcosr2dtddtdrsin2 2622222n dtdsinrdtdrdtrda 2222 dtdcossinrdtdrdtddtdr2
42、a 22dtdsinrdtddtdcosr2dtddtdrsin2a 第七章 刚体的简单运动71 刚体的平行移动一刚体的平行移动：如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移二刚体平行移动的研究方法：1刚体平行移动的特点：刚体上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时的速度相同，加速度相同：各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线2刚体平行移动的研究方法：研究刚体上任一点的运动72 刚体绕定轴的转动一刚体绕定轴的转动：刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动：通过两个固定点的一条不动的直线称为刚体的转轴
43、或轴线简称轴二绕定轴转动的刚体的位置：1建立确定的方法：取转轴为z轴，通过直线作固定平面A，通过轴线作动平面B，其与刚体固结，随刚体一起转动2转角：动平面B与固定平面A之间的夹角称为刚体的转角：转角是一个代数量正转向与z轴正方向满足右手定则关系转角表示刚体的位置3刚体绕定轴转动的运动方程： t)(f三角速度： dtd ：角速度表征刚体转动的快慢角速度是代数量，正转向角速度与z轴正方向满足右手定则关系27四角加速度： 22dtddtd ：角加速度表征角速度变化的快慢角加速度是代数量，如果与同向，则转动是加速的五两种典型情况1匀速转动：（1）特征： 常量（2）规律： t0 2匀变速转动：（1）特征
44、： 常量（2）规律： t0 ， 200 t21t 73 转动刚体内各点的速度和加速度一弧坐标： Rs ：是刚体上某点M到转轴的距离二速度： RdtdRdtdsv 三加速度： RdtdRdtsddtdva 2222t ， 222n R)(Rva 2n2t aaa ， 2ntaatan 74 轮系的传动比一传动比：主动轮和从动轮的角速度的比值称为传动比2112i 二齿轮传动1传动比： 12122112 zzRRi ： 1R ， 2R 主动轮与从动轮的半径； 1z ， 2z 主动轮与从动轮的齿数公式适用圆柱齿轮，也适用于传动轴成任意角度的圆锥齿轮传动、摩擦轮传动2表示各轮转向的传动比：传动比为代数值 12122112 zzRRi 28：各轮都规定了统一的转动正向正号表示主动与从动轮转向相同，负号表示转向相反二带轮传动： 122112 rri
