2016瑞金一中高二第二学期红都班周练一.doc

1、第 1 页（共 7 页）2016 瑞金一中高二第二学期红都班周练一数学（理）试题 2016 年 3 月 7 日本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。第卷（选择题部分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设命题 p：“若 ，则 ”，命题 q：“若 ，则 ”，则（ ）1sin26ab1（A）“ ”为真命题 （B ）“ ”为假命题qpq（C）“ ”为假命题 （D）以上都不对2设 i为虚数单位，如果复数 满足 ，那么 的虚部为（ ）z(12)5izz（A） （B） （C ） （D ）1

2、i i3在数列 中， “对任意的 ， ”是 “数列 为等比数列”的（ ）na*nN212nnana（A）必要而不充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件4若 S1 x2dx，S 2 dx，S 3 exdx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为( )21211x21AS 1S 2S 3 B S 3S 2S 1 CS 2S 3S 1 D. S2S 1S 3 5 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A8 种 B9 种 C10 种 D11 种6曲线 y 与直线 yx1 及 x4 所

3、围成的封闭图形的面积为( )2xA2ln2 B.2ln2 4ln2 D.4 2ln27已知函数 ，如果关于 x 的方程 有两个不同的实根，那么实数 k1,0()lnxfx()fk的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）(1,)3,)232,)eln2,)8过抛物线 的焦点 F的直线交抛物线于 ,AB两点，点 O是原点，如果 ，20ypx（ 3BF， ，那么 的值为（ ）F3OA()A ()B ()C （D ） 12369. 如图，用 6 种不同的颜色把图中 A、 B、 C、 D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A400 种 B460 种 C480 种 D

4、496 种10. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f(x)，当 x(，0时，恒有xf(x)F(2x1)的实数 x 的取值范围是( )A(1,2) B. C. D.(2,1)( 1，12) (12， 2)11椭圆 y21 的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆上一动点，若F1PF2 为钝x24角，则点 P 的横坐标的取值范围是 ( )（A） （B） （C） （D）3,243(,)23(,)2( 2 63 ， 2 63)12. 已知函数 f(x)x 32bx 2cx 1 有两个极值点 x1，x 2，且 x12，1，x 21,2，则 f(1) 的取值范围是 ( )A. B

5、. 3,12 C D. 32，3 32，6 32，12第卷（非选择题部分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分第 2 页（共 7 页）13在 Rt ABC 中，若 C90， AC b， BC a，则 ABC 外接圆半径 r .运用a2 b22类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a， b， c，则其外接球的半径 R_.14已知函数 f(x) 在1 ，)上为减函数，则实数 a 的取值范围为_ln a ln xx15椭圆 1(a 为定值，且 a )的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相x2a2 y25 5交于点 A，B .若FAB 的周长的最大值是 12，则该

6、椭圆的离心率是_16. 设函数 f(x) k (k 为常数， e2.718 28是自然对数的底数)exx2 (2x lnx)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求 k 的取值范围 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程演算步骤17 (本小题 10 分) 设数列a n的前 n 项和为 Sn，且方程 x2a nxa n0 有一根为 Sn1(nN *)(1)求 a1，a 2；(2)猜想数列S n的通项公式，并给出证明18(本小题 12 分). 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面PABCD 135BCD底面 ， , , 分别为 的中点，点 在线

7、段 上.PABCD90BA2EF,BCAMP（）求证： 平面 ； EF（）若 为 的中点，求证： 平面 ；MP/M（）如果直线 与平面 所成的角和直线C E与平面 所成的角相等，求 的值.ABCDD19 (本小题 12 分) 如图，在四棱柱 中，1ABCD1,ABCD且点 是棱 上一点.1,24,BDACO且 M（1）如果过点 的平面与底面 交于直线 ，求证：Bl/l(2)若 是棱 的中点，求证： ；M11O（3）设二面角 的平面角为 ，当 时，求 的长.A25cosCM20. (本小题 12 分) 已知函数 ，函数 ，其中 2()1fx()lngxt1t（）如果函数 与 在 处的切线均为 ，

8、求切线 的方程及 的值；fg（）如果曲线 与 有且仅有一个公共点，求 的取值范围()y()t21 (本小题 12 分) 已知椭圆 C: 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上.)0(12bayx233(1,)2A（）求椭圆 C 的方程；（）设动直线 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 相l l交两点 ， （两点均不在坐标轴上），且使得直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方1P2 1OP2程；若不存在，说明理由.22(本小题 12 分) 已知函数 e()(ln)xfa（）当 时，试求 在 处的切线方程；1ax1,（）当 时，试求 的单调区间；0()f

9、（）若 在 内有极值，试求 的取值范围()fx, aFC A DPMB E第 3 页（共 7 页）2016年瑞金一中高二第二学期红都班周练一（理数)参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C A D B D B A C A D B二、填空题13. 14. e，) ； 15. 16. a2 b2 c22 (e， e22)9. 解析 从 A 开始，有 6 种方法， B 有 5 种， C 有 4 种， D、 A 同色 1 种， D、 A 不同色3 种，不同涂法有 654(13)480(种)，故选 C.11. 解析：设椭圆上一点 P 的坐标为(x ，y)，

10、则 (x ，y)， ( x ，y)F1PF2为钝角， 0，F1P 3 F2P 3 F1P F2P 即 x23y 20，y 21 ，代入得 x231 0，x24 x24x22， x2 .解得 x ，x .34 83 263 263 ( 263，263)12. 解析 因为 f(x)有两个极 值点 x1，x2，所以 f(x )3x 24bxc 0 有两个根 x1，x2，且 x12，1，x 21,2，所以 Error!即Error!画出可行域如图所示因为 f(1)2bc，由图知经过点 A(0， 3)时，f (1)取得最小值 3，经过点 C(0，12)时，f(1)取得最大值 12，所以 f(1) 的取值

11、范围为3,12 答案 C13解析 (构造法)通过类比可得 R .证明：作一个在同一个顶点处棱长a2 b2 c22分别为 a， b， c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是 ，故这个长a2 b2 c2方体的外接球的半径是 ，这也是所求的三棱锥的外接球的半径a2 b2 c22答案 a2 b2 c2214, 答案 e，)解析 f ( x) ，因为 f(x)在1，)上为减函数，1xx ln a ln xx2 1 ln a ln xx2故 f(x) 0 在1，)上恒成立，即 ln a1ln x 在1，)上恒成立设 (x)1ln x，(x)max1，故 ln a1，ae.15. 解析：设椭圆的右焦点

12、为 F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB 的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当 AB 过右焦点 F时等号成立此时 4a12，则 a3. 故椭圆方程为 1，所以 c2，x29 y25所以 e . 答案：ca 23 2316. 解析：(1)函数 yf(x)的定义域为(0，)f(x) k x2ex 2xexx4 ( 2x2 1x) xex 2exx3 k x 2x2 .由 k0 可得 exkx0， x 2 ex kxx3所以当 x(0,2)时，f(x)0，函数 yf(x)单调递增所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)

13、(2)由(1)知，k0 时，函数 f(x)在(0,2)内单调递减，故 f(x)在(0,2)内不存在极值点；当 k0 时，设函数 g(x)exkx，k(0，)因为 g(x)exkexelnk，当 00，yg(x)单调递增故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；第 4 页（共 7 页）当 k1 时，得 x(0，lnk)时，g(k)0，函数 yg(x)单调递增所以函数 yg(x)的最小值为 g(lnk)k(llnk)函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当Error!解得 ek ，e22综上所述，函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为 .(e，e22)三、解答题

14、：本大题共 5 小题，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 解析：(1) 当 n1 时，方程 x2a 1xa 10 有一根为S11a 11， (a11) 2a 1(a11)a 10，解得 a1 .12当 n2 时，方程 x2a 2xa 20 有一根为 S21a 1a 21a 2 ，12 2a 2 a 20，解得 a2 .(a2 12) (a2 12) 16(2)由题 意知 (Sn1) 2 an(Sn1)a n0，当 n2 时，a nS nS n1 ，代入上式整理得SnSn1 2S n10，解得 Sn .12 Sn 1由(1)得 S1 a1 ，S2a 1a 2 .12 12

15、16 23猜想 Sn (nN*)nn 1下面用数学归纳法证明这个结论当 n1 时， 结论成立假设 nk (kN*，k1)时结论成立，即 Sk ，kk 1当 nk1 ，Sk1 .即当 nk1 时结12 Sk 12 kk 1 k 1k 2 k 1k 1 1论成立由、知 Sn 对 任意的正整数 n 都成立nn 118 （）证明：在平行四边形 中，因为 ， ，ABCDAC135BD所以 . 由 分别为 的中点，得 ， 所以 . ABC,EF,/EFEFAC因为侧面 底面 ，且 ， 所以 底面 . 又因为 底面 ，P90PBD所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， PP所以 平面 . EF（）证明：因

16、为 为 的中点， 分别为 的中点，MDFAD所以 ，/PA又因为 平面 ， 平面 ，BP所以 平面 . 5 分/F同理，得 平面 .E又因为 ， 平面 ， 平面 ，=MMEFEF所以平面 平面 . 7 分/PAB又因为 平面 ， 所以 平面 . 9 分/E（）解：因为 底面 ， ，所以 两两垂直，故以CD,APBC,ABCP分别为 轴、 轴和 轴，如上图建立空间直角坐标系，xyz则 ， (0,)(2,)(0,)(,2)(,0)(1,ABEFC A DPMB Ezyx第 5 页（共 7 页）所以 ， ， ， 10 分(2,0)PB(2,)D(2,0)BC设 ，则 ，1M,P所以 ， ，(,)(,

17、1)E易得平面 的法向量 . 11 分ABCD0)m设平面 的法向量为 ，P(,xyzn由 ， ， 得0n2,0令 , 得 . 12 分1x(,)因为直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等，MEPBCABCD所以 ，即 ， 13 分|cos,|cos,|mn|MEmn所以 ，2|3解得 ，或 （舍）. 14 分19 20.（1）略 （2）略 （3） 76或20 （）解：求导，得 ， ， 2 分()fx2()tgx(0)由题意，得切线 l 的斜率 ，即 ，解得 3 分1kf 2kt1t又切点坐标为 ，所以切线 l 的方程为 4 分(1,0)y（）解：设函数 ， 5 分2()lnhxf

18、gxtx(0,)“曲线 与 有且仅有一个公共点”等价于“函数 有且仅有一()y ()yhx个零点”求导，得 . 6 分2()txthx 当 时，0t由 ，得 ，所以 在 单调递增(,)x()0hx()hx0,)又因为 ，所以 有且仅有一个零点 ，符合题意 8 分1y1 当 时， t当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：x()hx(0,1)1(,)()0hx 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，()0,1(1,)所以当 时， ，xmin()0故 有且仅有一个零点 ，符合题意 10 分()yh1 当 时，01t令 ，解得 ()xxt当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：()hx(0,)tt(

19、,)t()h0 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，()x0,t(,)t所以当 时， 11 分min()hx因为 ， ，且 在 上单调递增，(1)ht(,)t所以 .0t第 6 页（共 7 页）又因为存在 ， ，12e(0,)t1122()ln0tt tthee所以存在 使得 ，x0x所以函数 存在两个零点 ，1，与题意不符.()y综上，曲线 与 有且仅有一个公共点时， 的范围是 ，或 .fx()ygt0|t 1t13 分21 （）解：由题意，得 ， ， 2 分32ca2bc又因为点 在椭圆 上，3(1,)2AC所以 ， 3 分24ab解得 ， ， ，13c所以椭圆 C 的方程为 . 5 分

20、12yx（）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 . 6 分25xy证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 .22(0)xyr当直线 的斜率存在时，设 的方程为 . 7 分llmk由方程组 得 ， 8 分2,14ykxm 048)4(22x因为直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，lC所以 ，即 . 9 分2221(8)(1)4)0km241mk由方程组 得 ， 10 分22,yxr22()0kxr则 .22()4(1)0k设 ， ，则 ， ， 11 分1,Pxy2,xy12kmx21rxk设直线 ， 的斜率分别为 ， ， 1OP21k2所以212121212()()()ykxmxkm

21、xk， 12 分22221rkrkk将 代入上式，得 .24mk22(4)1rk要使得 为定值，则 ，即 ，验证符合题意.12 241r5所以当圆的方程为 时，圆与 的交点 满足 为定值 .25xyl12,P12k413 分当直线 的斜率不存在时，由题意知 的方程为 ，l lx此时，圆 与 的交点 也满足 .25xyl12,P124k综上，当圆的方程为 时，圆与 的交点 满足斜率之积 为定值 . 2xyl12,P12k414 分22解：（）当 时， ， ， 1a/2e(1)xf x/(1)0f()e1f方程为 4 分ey（） ，2()()xf x 2e()()xae1xa当 时，对于 ， 恒成

22、立，0(0,)e0xa所以 ； 0.()fx()f1x所以 单调增区间为 ，单调减区间为 8 分(1,),)（）若 在 内有极值，则 在 内有解()f0,()fx(0第 7 页（共 7 页）令 . 2(e)1)0xafe0xaex设 ,(xg()所以 , 当 时， 恒成立，e1)x(0,1)x()0gx所以 单调递减.(g又因为 ，又当 时， ,)e()即 在 上的值域为 ,(x(0,1e所以 当 时， 有解.a 2()1)0xaf设 ，则 ，()exHexH(,)所以 在 单调递减 .(0,1)因为 ， ,0a所以 在 有唯一解 .()exa(,)x所以有： x0,)00(,1)x()H0 f0 x极小值 Z所以 当 时， 在 内有极值且唯一.ea()fx,1当 时，当 时， 恒成立， 单调递增，不成立0,()0f()fx综上， 的取值范围为 14 分e