1、28.2 解直角三角形及其应用282.1 解直角三角形01 基础题知识点 1 已知两边解直角三角形1在 RtABC 中，C 90 ，a4，b3，则 cosA 的值是(A)A. B. C. D.35 45 43 542在 RtABC 中，C 90 ，a20，c20 ，则A45，B45，b2023如图，在 RtABC 中， C90，已知 BC2 ，AC6 ，解此直角三角形6 2解：tanA ，BCAC 2662 33A30.B90A903060，AB2BC4 .6知识点 2 已知一边一锐角解直角三角形4如图，在 RtABC 中， C90，AB6，cos B ，则 BC 的长为(A)23A4 B2
2、5C. 181313D.1213135如果等腰三角形的底角为 30，腰长为 6 cm，那么这个三角形的面积为 (B)A4.5 cm 2 B9 cm23C18 cm2 D36 cm 236(新疆中考)如图，在 RtABC 中，C90，B 37，BC 32，则 AC24(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75)7在 RtABC 中，C 90 ，c4 ，A30，解这个直角三角形3解：A30，B90A60.sinA ，acacsinA4 sin304 2 .3 312 3b 6.c2 a2 （43）2 （23）28如图，在 RtABC 中， C90，B55，AC4，解此直
3、角三角形(结果保留小数点后一位)解：A90B905535.tanB ，ACBCBC 2.8.ACtanB 4tan55sinB ，ACABAB 4.9.ACsinB 4sin5502 中档题9如图，在ABC 中，B60，ADBC，AD3，AC5，则 BC 的长为(A)A4 3B7C5.5D42 310(河池中考)如图，在ABC 中，AC6，BC5，sinA ，则 tanB 23 4311(攀枝花中考)如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于点 E，cosA ，BE4，则35tanDBE 的值是 212根据下列条件解 RtABC(C 90) (1)A30， b ；3解：B90A903060.ta
4、nA ，abab tanA 1.333c2a2.(2)c4，b2 .2解：由勾股定理得：a 2 .c2 b2 42 （22）2 2b2 ，a 2 ，C90，2 2AB45.13(柳州中考)如图，在ABC 中，BDAC，AB6， AC5 ，A30.3(1)求 BD 和 AD 的长；(2)求 tanC 的值解：(1)BD AC，ADBBDC90.在 RtADB 中，AB6，A30，BD AB3.12AD BD 3 .3 3(2)CD ACAD5 3 2 ，3 3 3在 RtBDC 中 ，tanC .BDCD 323 3203 综合题14(牡丹江中考)在ABC 中，AB12 ，AC13，cosB ，
5、则 BC 边长为( D)222A7B8C8 或 17D7 或 1728.2.2 应用举例第 1 课时 与视角有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点 1 利用解直角三角形解决简单问题1如图，已知ACB90，AC100 m，B 30，则 B，C 两地之间的距离为(A )A100 m 3B50 m2C50 m 3D. m100332(云南中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥 ，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸 AB 与 MN 之间的距离)在测量时，选定河对岸 MN 上的点 C 处为桥的一端，在河岸点 A 处，测得CAB30，沿河岸 AB 前行 30 米后到达B 处
6、，在 B 处测得CBA 60 .请你根据以上测量数据求出河的宽度( 参考数据： 1.41， 1.73；结果保留整数)2 3解：过点 C 作 CDAB ，垂足为 D.CAB30，AD CD.3CBA60，DB CD.33ABADDB30， CD CD30.333CD 1.7313(米)152 3 152答：河的宽度约为 13 米知识点 2 利用视角解直角三角形3(来宾中考)如图，为测量旗杆 AB 的高度，在与 B 距离为 8 米的 C 处测得旗杆顶端 A的仰角为 56，那么旗杆的高度约是 12 米(结果保留整数，参考数据：sin560.829，cos560.559，tan561.483)4(昆明
7、中考)如图，两幢建筑物 AB 和 CD，ABBD，CDBD，AB15 cm，CD20 cm，AB 和 CD 之间有一景观池 ，小南在 A 点测得池中喷泉处 E 点的俯角为 42，在 C 点测得 E 点的俯角为 45(点 B、E、D 在同一直线上) ，求两幢建筑物之间的距离 BD(结果精确到 0.1 m)(参考数据： sin420.67，cos 420.74，tan420.90) 解：由题意，得AEB42，DEC45.ABBD ，CDBD，ABE90，AB15，AEB42.在 RtABE 中，tanAEB ，ABBEBE 150.90 .15tan42 503在 RtDEC 中，CDE90，DE
8、CDCE45，CD20，EDCD20.BDBEED 2036.7(m )503答：两幢建筑物之间的距离 BD 约为 36.7 m.02 中档题5(百色中考)从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点 C 处的俯角为 45，看到楼顶部点 D 处的仰角为 60，已知两栋楼之间的水平距离为6 米，则教学楼的高 CD 是(A)A(66 )米 B(6 3 )米3 3C(62 )米 D12 米36(云南中考)如图，小明在 M 处用高 1 米(DM1 米)的测角仪测得旗杆 AB 的顶端 B 的仰角为 30，再向旗杆方向前进 10 米到 F 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60
9、，请求出旗杆 AB 的高度(取 1.73，结果保留整数)3解：BDE30，BCE60，CBD60BDE30BDE.BCCD 10 米在 RtBCE 中，sin60 ，即 ，BEBC 32 BE10BE5 米3ABBEAE5 110 米3答：旗杆 AB 的高度大约是 10 米7(贺州中考)根据道路管理规定，在管理某段笔直公路上行驶的车辆 ，限速 40 千米/ 时，已知交警测速点 M 到该公路 A 点的距离为 10 米，MAB45，MBA30( 如图2所示)，现有一辆汽车由 A 自 B 方向匀速行驶，测得此车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为3 秒(1)求测速点 M 到该公路的距离；(2)通过计
10、算判断此车是否超速( 参考数据： 1.41， 1.73， 2.24)2 3 5解：(1)过点 M 作 MNAB 于 N，AM 10 ，MAN45.2由 sinMAN ，得 .MNAM 22 MN102MN10 米点 M 到该公路的距离为 10 米(2)由(1)知 ANMN10，在 RtMBN 中，MBN30，由 tanMBN ，得 .MNBN 33 10BNBN10 .3ABANNB1010 27.3(米) 3汽车由 A 点到 B 点的平均速度为：27.339.1(米/秒)9.1 米/秒32.76 千米/时40 千米/时，该车没有超速03 综合题8(昆明月考)如图，山坡上有一棵树 AB，树底部
11、 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 6 米，3山坡的坡角为 30.小宁在山脚的平地 F 处测量这棵树的高，点 C 到测角仪 EF 的水平距离CF1 米 ，从 E 处测得树顶部 A 的仰角为 45，树底部 B 的仰角为 20，求树 AB 的高度(参考数值：sin200.34，cos200.94，tan200.36)解：底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 6 米，山坡的坡角为 30，3在 RtBDC 中，DC BC cos306 9(米) 332CF 1 米，DF9110(米)GE10 米AEG 45 ，AGEG 10 米在 RtBGE 中，BGGEtan20100.363.6( 米)
12、，ABAGBG103.66.4( 米)答：树高约为 6.4 米第 2 课时 与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点 1 利用方向角解直角三角形1如图，某人从 O 点沿北偏东 30的方向走了 20 米到达 A 点，B 在 O 点的正东方，且在 A 的正南方，则此时 AB 间的距离是 10 米( 结果保留根号)32(百色中考)有一轮船在 A 处测得南偏东 30方向上有一小岛 P，轮船沿正南方向航行至B 处，测得小岛 P 在南偏东 45方向上，按原方向再航行 10 海里到 C 处，测得小岛 P 在正东方向上，则 A、B 之间的距离是(D )A10 海里 B(10 10) 海里3 2
13、C10 海里 D(10 10)海里33(昭通中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛 ，妈妈在孤岛 P 处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)小船从 P 处出发，沿北偏东 60方向划行 200 米到 A 处，接着向正南方向划行一段时间到 B 处在 B 处小亮观测到妈妈所在的 P 处在北偏西 37的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米(精确到 1 米)?(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75， 1.41， 1.73)2 3解：过 P 作 PCAB 于 C.在 RtAPC 中，AP 200 m，ACP 90，PAC 60，PC 200sin60200 100 (m)
14、32 3在 RtPBC 中，sin37 ，PCPBPB 288(m)PCsin371001.730.6答：小亮与妈妈相距约 288 米知识点 2 利用坡度(角)解直角三角形4(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高 BC6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1 ，则 AB3的长为(A )A12 米 B4 米3C5 米 D6 米3 35如图，在坡度为 12 的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离) 是 6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 3 米56(昆明中考)如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD 的过街天桥，若天桥斜坡 AB 的坡角BAD 为 35，斜坡 CD
15、 的坡度为i11.2(垂直高度 CE 与水平宽度 DE 的比)，上底 BC10 m，天桥高度 CE5 m，求天桥下底 AD 的长度(结果精确到 0.1 m，参考数据： sin35 0.57，cos35 0.82，tan35 0.70)解：过 B 点作 BFAD 于点 F.四边形 BFEC 是矩形，BF CE5 m，EFBC10 m.在 RtABF 中，BAF 35，tanBAF ，BFAFAF 7.14( m)BFtan35 50.70斜坡 CD 的坡度为 i11.2 ， ，ED1.2CE1.2 56( m)CEED 11.2ADAFFEED 7.1410623.1423.1( m)答：天桥下
16、底 AD 的长度为 23.1 m.02 中档题7(铜仁中考)如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 60的方向，轮船从 B 处继续向正东方向航行 200 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 30的方向已知在小岛周围 170 海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？( 1.732)3解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：由题意，得ABD30，ACD 60，CABABD.BCAC 200 海里在 RtACD 中，设 CDx 海里，则 AC2x，AD x.AC2 CD2 （2x）2 x2 3在 RtABD 中，AB2AD2 x
17、，BD 3x.3 AB2 AD2 （23x）2 （3x）2又BDBCCD，3x200x，解得 x100.AD x100 173.2.3 3173.2 海里170 海里，轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险8(遵义中考)如图，一楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i1 ，山坡坡面上 E 点处有一3休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC25 米，与亭子距离 CE20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高(注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点 E 作 EFBC 的延长线于点 F，EHAB 于点 H.在 RtCEF 中，i tan ECF ，
18、EFCF 13ECF30.EF CE10 米，CF10 米12 3BHEF 10 米，HEBFBCCF(2510 )米3在 RtAHE 中，HAE 45，AHHE (25 10 )米3ABAHHB(3510 )米3答：楼房 AB 的高为(3510 )米303 综合题9(南充中考)马航 MH370 失联后，我国政府积极参与搜救某日，我国两艘专业救助船A、B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图，可疑漂浮物 P 在救助船 A 的北偏东 53.5方向上，在救助船 B 的西北方向上 ，船 B 在船 A 正东方向 140 海里处(参考数据：sin36.50.6，cos36.50.8，tan 36.50.7
19、5)(1)求可疑漂浮物 P 到 A、B 两船所在直线的距离；(2)若救助船 A、救助船 B 分别以 40 海里/时，30 海里/ 时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达 P 处解：(1)过点 P 作 PHAB 于点 H.根据题意，得PAH9053.536.5，PBH45，AB140 海里设 PHx 海里，在 RtPHB 中，tan45 ，BHx.xBH在 RtPHA 中，tan36.5 ，xAHAH x.xtan36.5 43又AB140， xx140，解得 x60，即 PH60.43答：可疑漂浮物 P 到 A、B 两船所在直线的距离为 60 海里(2)在 RtPHA 中，AH 6080，PA 100.43 602 802救助船 A 到达 P 处的时间 tA100402.5(小时)；在 RtPHB 中，PB 60 ，602 602 2救助船 B 到达 P 处的时间 tB60 302 (小时) 2 22.52 ，救助船 A 先到达 P 处2
