1、反比例函数与几何图形的综合性问题（答题时间：30 分钟）1. （江苏苏州）如图，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为（3，4） ，顶点 A 在 x 轴的正半轴上。反比例函数 y kx（x 0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为（ ）A. 12 B. 20 C. 24 D. 322. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作正方形 ABCD，点 D 在双曲线 （k0）上。将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单ky位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. （贵州省
2、黔东南州）如图，直线 y=2x 与双曲线 y= 在第一象限的交点为 A，过点 A 作2xABx 轴于 B，将 ABO 绕点 O 旋转 90，得到ABO ，则点 A的坐标为（ ）A. （1.0） B. （1.0）或（1.0） C. （2.0）或（0，2） D. （2.1）或（2，1）4. 如图，等边三角形 OAB 的一边 OA 在 x 轴上，双曲线 y 在第一象限内的图象经过 OB 边3x的中点 C，则点 B 的坐标是（ ）O x y B AC A. （1， ） B. （ ，1） C. （2， ） D. （ 23，2）3335. （四川宜宾）如图，直线 与双曲线 交于点 A，将直线 向右平移xy
3、4)0(xky xy429个单位后，与双曲线 交于点 B，与 x 轴交于点 C，若 ，则 k= )0(k 2BO。6. （重庆市（A） ）如图，菱形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点B、 C 均在第一象限，OA2，AOC60，点 D 在边 AB 上，将四边形 ODBC 沿直线 OD 翻折，使点 B 和点 C 分别落在这个坐标平面内的点 B和点 C处，且 CDB60。若某反比例函数的图象经过点 B，则这个反比例函数的解析式为 。O A B C x y 7. 如图，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 在 x 轴上，BCA=90，AC=BC=2 ，反比例函数 y
4、=（x0）的图象分别与 AB，BC 交于点 D，E。连接 DE，当BDEBCA 时，点 E 的坐标为 3。8. 如图， 1P,xy， 2,xy， P,nxy在函数 10x的图象上， 1POA，21A， 32， 1PAn都是等腰直角三角形，斜边 1OA、 2、 3，n都在 轴上（n 是大于或等于 2 的正整数） ，则点 3的坐标是 ；点 n的坐标是 （用含 n 的式子表示） 。yxP1 P2 P3A3A2A1O9. （湖北省十堰市）如图，已知正比例函数 y=2x 和反比例函数的图象交于点 A（m，2） 。（1）求反比例函数的解析式；来源:gkstk.Com（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于
5、反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）若双曲线上点 C（2，n ）沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状，并证明你的结论。10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x0）的图象和矩形 ABCD 在第一象限，xkyAD 平行于 x 轴，且 AB=2，AD =4，点 A 的坐标为（2，6 ） 。（1）直接写出 B、C、D 三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式。来源:学优高考网11. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，正方形 OABC 的边 O
6、A、OC 分别在 x 轴、y轴上，点 B 的坐标为（2，2），反比例函数 （x0，k0）的图象经过线段 BC 的中点 D。y（1）求 k 的值；（2）若点 P（ x， y） 在该反比例函数的图象上运动（不与点 D 重合），过点 P 作 PRy 轴于点 R， 作 PQ BC 所在直线于点 Q，记四边形 CQPR 的面积为 S，求 S 关于 x 的解析式并写出 x 的取值范围。12. 如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC的边长为 2。（1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标。反比例函数与几何图形的综合性问题1. D 解析：过 C
7、 点作 CDx 轴，垂足为 D，根据点 C 坐标求出 OD、CD、BC 的值，进而求出B 点的坐标，即可求出 k 的值。过 C 点作 CD x 轴，垂足为 D。点 C 的坐标为（3，4） ， OD=3，CD=4 。OC= 。OC=BC=5。点 B 坐标为（8，4） ，22345O反比例函数 y= （x0）的图象经过顶点 B，k=32 。k所以应选 D。2. B 解析：观察图形，由坐标系中正方形的特点，抓住图形的旋转对称性是解题的关键。 来源:gkstk.ComA、B 是直线 y=3x+3 与 x 轴，y 轴的交点，AC x 轴，A（1，0） ，B（0，3）点 D 在反比例函数 y= （k0）的
8、图象上，由正方形的旋转对称性可得 D（4，1） ，kxC（3， 4）k=4，y= ，x由平移的性质可知当点 C 向左平移到反比例函数图象上时，点 C 的纵坐标不变仍是 4，当 y=4 时，x=1，即平移后点 C 的坐标是（1，4）点 C 向左平移了 2 个单位， a=2，故选 B。3. D 解析：联立直线与反比例解析式，求出交点 A 的坐标，将 ABO 绕点 O 旋转 90，得到ABO，利用图形及 A 的坐标即可得到点 A的坐标。联立直线与反比例解析式得： ，消去 y 得到：x 2=1，解得：x=1 或1，y=2 或2，A（1，2） ，即 AB=2，OB=1，根据题意画出相应的图形，如图所示，
9、可得 AB=AB=AB=2，OB=OB=OB=1，根据图形得：点 A的坐标为（2，1）或（2，1） 。故选 D。4. C 解析：过点 C 作 CHOA 于点 H，由点 C 在双曲线 y 上，又三角形 OAB 是等边三3x角形可得点 C 的坐标是（1， ） ，由点 C 是 OB 的中点可得点 B 的坐标是（2， ） 。故选 C。3 235. 12 解析：首先求出平移后直线的解析式，然后将直线 y34与双曲线 两解析)0(xky式联立方程组求出点 A 的纵坐标，平移后的直线解析式 6 与双曲线 两解析x式联立方程组，求出点 B 的纵坐标，根据相似三角形对应边成比例的性质可得 A、B 的纵坐标的比等
10、于 AO：BC，然后列出方程求解即可。6. y 解析：连接 AC，四边形 OABC 是菱形，CBAB，CBAAOC60。3xBAC 是等边三角形。BCBA。现将四边形 OABC 沿直线 OD 翻折，使点 B 和点 C 分别落在这个坐标平面的点 B和 C处，BDB D，BCBC ，DBCABC60。B DC60，DC B60。DCB是等边三角形。BC BD 。BDB CBCBA ，从而知道 A 和 D 重合。四边形 OABC 与四边形 OABC关于 x 轴对称。B，B两点关于 x 轴对称。过点 B 作 BE x 轴于点 E，四边形 OABC 是菱形，OAABOC2，BDEAOC60。AEABco
11、s601，BEAEtan60 3，则 OEOAAE3。点 B 的坐标为（3， ） ，那么点 B的坐标为（3， ） 。3设经过点 B的反比例函数的解析式是 y ，则有 ，k 。故答案为 ykx33。3xO A B C x y B C DE 7. （ ， ） 解析：如图，BCA=90，AC=BC=2 ，反比例函数 y= （x0）的图3象分别与 AB，BC 交于点 D，E，BAC=ABC=45，且可设 E（a， ） ，D （b， ） ，3C（a ，0） ， B（a ，2 ） ， A（a2 ，0） ，易求直线 AB 的解析式是：y=x+2 a。又BDEBCA，BDE=BCA=90，直线 y=x 与直线
12、 DE 垂直，点 D、E 关于直线 y=x 对称，则 = ，即 ab=3。又点 D 在直线 AB 上， =b+2 a ，即 2a22 a3=0，3b解得，a= ，点 E 的坐标是（ ， ） 。8. 32,； 1,nn解析：过点 P1 作 P1Ex 轴于点 E，过点 P2 作 P2Fx 轴于点 F，过点 P3 作 P3Gx 轴于点 G，根据P 1OA1， P 2A1A2， P3A2A3 都是等腰直角三角形，可求出 P1，P 2，P 3 的坐标，从而总结出一般规律得出点 Pn 的坐标。本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出
13、 P1，P 2，P 3 的坐标，从而总结出一般规律，难度较大。9. 解析：（1）设反比例函数的解析式为 y= （k0） ，然后根据条件求出 A 点坐标，再求出 kx的值，进而求出反比例函数的解析式；来源:学优高考网 gkstk（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）首先求出 OA 的长度，结合题意 CBOA 且 CB= ，判断出四边形 OABC 是平行四边形，再证明 OA=OC 即可判定出四边形 OABC 的形状。解：（1）设反比例函数的解析式为 y= （k0） ，xA（m，2）在 y=2x 上，2=2m，m=1，A（1，2） ，又点 A 在 y= 上，
14、kxk=2，反比例函数的解析式为 y= ；2x（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围为1x0 或x1；（3）四边形 OABC 是菱形。证明如下：A（1，2） ，OA= = ，由题意知：CBOA 且 CB= ，CB=OA，四边形 OABC 是平行四边形，C（2，n）在 y= 上，2xn=1，C（2，1） ，OC= = ，OC=OA，四边形 OABC 是菱形。点拨：本题主要考查了反比例函数综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题。10. 解析：先根据矩形的对边平行且相等的性质得到 B、C、D 三点
15、的坐标，再从矩形的平移过程发现只有 A、C 两点能同时在双曲线上（这是一种合情推理，不必证明），把 A、C 两点坐标代入 y= （x0）中，得到关于 a、k 的方程组从而求得 k 的值。xk解：（1）B（2，4） ，C（6，4） ，D （6，6） （2）如图，矩形 ABCD 平移后得到矩形 ABCD， 设平移距离为 a，则 A（2，6a） ，C （6，4a）点 A，点 C在 y= 的图象上，xk2（6a）=6（4a） ，解得 a=3，点 A（2，3 ） ，反比例函数的解析式为 。来源:学优高考网 gkstk6yx点拨：把线段的长转化为点的坐标，在求 k 的值时，由于 k 的值等于点的横坐标与纵
16、坐标之积，所以直接可得方程 2（6a）=6（4a） ，求出 a 后再由坐标求 k，实际上也可把 A、C 两点坐标代入 y= 中，得到关于 a、k 的方程组从而直接求得 k 的值。xk11. 解析：对于（1） ，根据题中已知条件求出 D 的坐标，进而求出 k 的值；对于（2） ，需要先分别画出图形，再根据题中的条件求得解析式。解：（1）依题意知点 B 的坐标为（2，2），得 CB 的长为 2，且 D 点纵坐标为 2，又因为 D为 BC 的中点， D 点的坐标为（1，2） ，代入 解得 k2。xy（2）分点 P 在点 D 的下方和上方，即 x1 和 0x1 两种情况讨论：如下图 1，依题意得，点 P 的坐标为（x， ） ，所以 PR=x，PQ=2 ，2x2所以，S=PRPQ= x（2 ）=2x 2（x1） 。图 1 图 2如上图 2，依题意得，点 P 的坐标为（x， ） ，所以 PR=x，PQ= 2，x2x所以，S=PRPQ= x（ 2）=2 2x（00）kxxy=k=4，反比例函数的解析式为 y= 。4x（2）设正方形 ADEF 的边长为 a，则 D（2+a，a） ，代入反比例函数解析式 y= （x0）4得：4=（2+a）a，又 a0，解得：a=1+ 5点 D 的坐标为（ +1， 1）
