1、三年级 数学 学科导学案课题：回顾与思考 （第 2 课时）主备人：关庆新 审核人：九年集备组 授课人：关庆新 备课时间：3.27 来源:学优高考网 gkstk【学习目标】 课标要求：通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出问题，分析问题的能力；目标达成：1在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法.2在探索活动中通过合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力.习流程： 第一环节：问题开放如图：已知在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过 D 作 DEAC 于点E，CD ，ACB30 .3请同学们尝试提出问题.分析本题改编
2、自一道课后练习题，题目的信息量非常丰富，由于问题的开放性，学生可提出问题的角度很多，如垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.如：问题 1：求证点 D 是 BC 的中点；问题 2：求O 的半径；问题 3：求点 O 到 BD 的距离；问题 4：求证 DE 是O 的切线；学生提出问题后，分组并进行求解或证明.问题 1：求证点 D 是 BC 的中点；来源:学优高考网 gkstk分析本题涉及圆的基本概念与性质，通过连接 AD，构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一，即可得证. 本题辅助线的构造方式是有关圆问题讨论的常用方案，
3、本题也较好地体现了转化的思想方法.类似地，学生还可以提出：求证 AD 平分CAB.问题 2：求O 的半径；分析利用含 30 角的直角三角形边角关系，勾股定理，等边对等角等方法，便可求得半径.本题较好地体现了圆与三角形知识的综合应 用.类似的，学生还可以提出：求 DE、 AE、 AD 的长 度，解题思路类似.问题 3：求点 O 到 BD 的距离；分析本题通过作 OFBD,构造垂径定理基本模型，结合勾股定理便可求得结论.教师点拨：以上几个问题主要涉及圆的基本概念与定理，请同学们谈一谈学习这部分内容的知识线索？圆具备轴对称性和旋转对称性，利用轴对称变换的方法我们探索垂径定理及其逆定理，然后用推理证明
4、的方法进行证明；用旋转变换的方法我们探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，然后加以证明；我们还用推理证明的方法研究了圆周角与圆心角的关系.教师点拨：虽然圆这部分涉及的知识非常丰富，但只要我们把握了学习的基本线索，相关的概念、定理便易于理解、掌握.本章还研究了与圆有关的位置关系，请同学们继续就有关内容提出新的问题？问题 4：求证 DE 是O 的切线分析本题主要考察直线与圆的位置关系，证明方法多种，涉及知识面较丰富，是一个很有价值的问题.为此，本题先由学生独立完成，再进行分组讨论，讨论、比较不同的证明方法，总结规律.证法 1：由于已知点 D 为圆上一点，要求证 DE 是O 的切线，根据切线得判定定
5、理，可构造辅助线 OD， 并证明半径 ODDE.具体方法如下：连接 DO、AD，因为 AB 是直径，所以ADB 90 ，即1490 ；又因为DEAC，所以4C90 ，可得1 C30 .因为 ABAC ，所以1342FBC30 ，故390 B60 ；又因为 ODOA，所以2360 ，所以ODE1290 ，即半径 ODDE，从而得证 DE 是O 的切线.教师点拨：这种证法的亮点在于准确把握了证明直线与圆相切的一种常用的辅助线作法，构造半径 OD，通过证明 ODDE，从而得证 DE 是O 的切线.还有其它证明方法吗？证法 2：可以通过证明 ODAC，由ODE =DEC =90 ，证明 DE 是O 的
6、切线.具体方法如 下：连接 DO，因为 OB=OD，AB=AC，所以5= B，C=B，故5C，所以 ODAC ；又因为DEAC ，所以ODE DEC90 ，即半径 ODDE，所以 DE 是O 的切线.教师点拨：本题结合了平行线的性质与判定，使证明方法更简洁了，可见在几何证明过程中，知识综合应用的优越性.证法 3：还有更简洁的方法！由于 BO=AO，BD=CD ，利用三角形中位线即可得证ODAC，便易证 DE 是O 的切线.分析通过一题多证，从多角度构建起知识的联系与拓展，进一步丰富的几何知识体系的构建.教师适时进行点拨，结合本题总结归纳直线与圆的位置关系的有关知识以及与切线有关的常用辅助线作法
7、.第二环节：变式练习变式：如图，已知O 的直径 AB2，ABC30 ，BC2 ，D 是 BC 的中点，试判断点 D 与O 的位置关3 系.请判断下列解题过程是否正确？解：连接 OD、AD,AB 是直径 来源: 学优高考网 gkstkADB 90 AO =BOOD =AOAB21点 D 在圆上5分析本题考查点与圆的位置关系，基本的思想方法是转化为点到圆心的距离与半径比较，即把“形”的关系，转化为“数”的关系.该题解题过程为看似利用“直径所对的圆周角是直角”以及“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”便可获得结论，然而仔细分析题目条件却发现ADB 并没有条件确定圆周角，条件不完备，解法错误.本题应利
8、用勾股定理计算出 OD 的长度，再与半径比较作出判断.解：连接 OD，作 OFBC 于点 F在 RtBOF 中 ，B30 ，OF OB21BF 32OD 是 BC 中点，BC 2 ，BD BC213DF BD BF在 Rt DOF 中，DO 1232OFDODOB点 D 在圆上第三环节 课堂小结1通过开放问题情景，从多角度提出问题，逐步培养提出问题，解决问题能力；2 圆的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建.来源:学优高考网来源:学优高考网四、教学设计反思本课借用一道课后作业题作为研究对象，请学生从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新组织起来.由于问
9、题的开放性，学生提问的角度有许多，包括垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.通过教师引导，学生参与提问，并尝试解决的方式，充分调动学生学习的积极性，体现了学习的自主性.学生编制题目时，需要思考回忆本章知识的线索，对照过去的问题，是一种主动参与，思维是开放的.通过这样的参与，有F助于学生对所学知识的进一步理解与掌握，有助于把章节知识内化到学生原有的认知体系中，并获得新的意义建构，符合新课程教学的基本理念.课堂上学生还可以提出了许多精彩的问题，如求弧长问题、求圆心角问题等，但由于时间所限，部分题目只能留待课下继续完成，面对当前课改提出的探究式教学、开放式教学模式，如何掌控时间的分配，如何引导学生学会发问，如何对学生提出的开放性问题进行有效点拨，如何优化资源的使用等都是值得进一步研究与思考的课题.
