1、 3.1.1 方程的根与函数的零点一、教学目标：知识与技能（1 ）了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握函数零点存在性判定定理。（2 ）培养学生自主发现、探究实践的能力。过程与方法：经历“类比 归纳应用”的过程，通过研究具体二次函数，探究函数存在零点的判定方法。从具体的二次函数到抽象函数，从而得出函数的零点定义及其相关定理。在认知过程中培养学生分析问题，探究实践的能力，并渗透相关的数学思想。情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值，树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，并初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。鼓励学生通过观察类
2、比提高发现、分析、解决问题的能力，同时培养学生自主探究，合作交流的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。二、重点难点 重点：函数零点的概念难点：函数零点存在性判定定理三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质. 四、教学过程环节（一）：设问激疑，创设情景问题 1：求下列方程的根(1) (2) (3)0652x01435x062lnx【设计意图】由熟悉的二次方程到不熟悉的高次方程或对数式方程，使学生认识到有些方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲 环节（二）：启发引导，形成概念问题 2：下列二次函数的图象
3、与 x 轴交点和相应方程的根有何关系？(1) 与32xy032x(2) 与 1(3) 与2xy2x【设计意图】通过对二次方程三类根的存在情况分析培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础问题 3:二次函数 ( 0)的图象与 x 轴的交点与相应一元二次方程cbxay2( 0)的根有何关系?02cbxa判别式 ac4200方程 ( 0)的根0bxa函数 ( 0)的图象cy2a函数图象与 轴的交点x结论一:二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。【设计意图】把从具体二次方程得出的结论推广到一般二次方程的情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维
4、方法 ,培养学生的归纳能力给出函数零点的定义： 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。一元二次方程方程的根二次函数函数的图象（简图）图象与 轴x交点的坐标230x23yx2121032x32xy辨析练习：判断下列说法的正误: 函数 的零点是：23yx(1)（-1,0） （3,0） (2)x=-1 (3)x=3 (4)-1 和 3【设计意图】利用辨析练习，来加深学生对函数零点概念的理解目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点的坐标.同时引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“转化”和“数形结合” 的数学思想，这也是解题的关键 函 数 y=f(x
5、)有 零 点 方 程f (x)=0有实根 函 数 y=f(x)的 图象与 x 轴有交点环节（三）：初步运用，示例练习例 1：求函数 的零点)1lg()f变式练习：求下列函数的零点（1） （2 ）65)(2xf 1)(xf【设计意图】巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况进一步掌握函数零点的概念，并对其进行应用体会方程与函数的关系 环节（四）：讨论探究，揭示定理探究 1：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？ 观察函数 f(x)的图像回答问题： 1、在区间(a,b)上 (有/无)零点；f(a)f(b) 0（填“”或“ ”） 2、在区间(b,c)上 (有/无)
6、 零点；f(b)f(c) 0（填“ ” 或“”） 3、在区间(c,d)上 (有/无) 零点；f(c)f(d) 0（填“ ” 或“”） 猜想：若函数在区间a,b 上图象是连续的，如果有 成立，那么函数区间(a,b)上有零点。结论二：如果函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且满足 f(a).f(b)0，即 f(2)f(3)0， 说明 这个函数在区间(2,3)内有零点。 由于函数 f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点。 【设计意图】与例 1 相比，学生不能够做出其图像，重点在与引导学生思考如何应用定理来解决超越方程或更复杂的方程的根的问题，接着让学生利用计算器完成对应值
7、表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识. 环节（六）：知识应用，尝试练习1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根（1） （2 ）2x(x2)3；0532x（3） （4）5 x2 2x3 x2 5.x2.利用函数的图象，指出函数零点所在的区间：（1 ） f(x)= x 33x+5；（2 ） f(x)=2x ln(x2)3；（3 ） f(x)=ex1+4x 4;（4 ） f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.【设计意图】练习 1 是从学生熟悉的二次方程着手来加深学生对新知识的理解并完善思维过程，再将梯度拔高进入联系 2，可使学生更深刻地理解
8、数形结合思想在解题中的地位和应用，同时让学生体会数学与计算机科学的联系，提高学生学习数学的兴趣。 五、课堂小结学生自主小结六、课后作业课时练与测七、教学反思1、逐层铺垫，降低难度本节课实际上是数学分析中的介值定理下放中学课程，如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法。如反例、条件的变换与结论的关系等等，对学生今后学习和分析数学问题很有帮助。2、恰当使用信息技术恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程. 3、采用“启发引导讨论探究 概括归纳”教学模式精心设置问题链，要给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会。以提高学生的学习兴趣，体会、掌握基本数学思想方法，掌握“三基”，提高初步探究能力为主。
