1、第 22 章二次函数一、知识梳理1. 二次函数的概念：一般地，形如 (abc，是常数， 0a)的函数，叫做二次函数。2. (1) 二次函数基本形式： 2yax的性质：(2) 2yaxc的性质： (3) 2yaxh的性质： (4) 2yaxhk的性质：a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质0a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a3.二次函数图象的平移(1) 将抛物线解析式转化成顶点式 2yaxhk，确定其顶点坐标 ；(2)保持抛物线 2yax的形状不变，将其顶点平移到 ，处，具体平移方法如下：(3)平移
2、规律:在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k值正上移，负下移” 4.二次函数 2yaxbc的性质(1) 当 0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时， y随 x的增大而减小；当时， y随 x的增大而增大；当时，y有最小值(2) 当 0a时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随 x的增大而增大；当时， y随 x的增大而减小；当时， y有最大值5.二次函数解析式的表示方法(1)一般式： (a， b， c为常数， 0a)；(2)顶点式： ( ， h， k为常数， )；(3)两根式： ( 0， 1x， 2是抛物线与 x轴两交点的横坐标).6.二次函数与一元二次方程：一元二次方程
3、2axbc是二次函数 2yabc当函数值 0y时的特殊情况.图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 x轴交于两点 120AxB， ， ， 12()x，其中的 12x， 是一元二次方程 20axbca的两根 当 时，图象与 轴只有一个交点； 当 时，图象与 x轴没有交点.二、题型、技巧归纳类型一： 二次函数的平移 【主题训练 1】(枣庄中考)将抛物线 y=3x2向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,那0a么得到的抛物线的解析式为( )A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3 【自主解答】选 A.由“上加下减”的平移规律可
4、知,将抛物线 y=3x2向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线 y=3x2+3 向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2) 2+3.归纳：二次函数平移的两种方法1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h) 2+k 是由 y=ax2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.类型二：二次函数的图象及性质 【主题训练 2】(十堰中考)如图,二次函数 y=ax2+bx+c (a0)的图象的顶点在第一象限
5、,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:ab4a;0-1 时,y0.其中正确结论的个数是( )A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 【自主解答】选 B.对称轴在 y 轴右侧,- 0, 0,b 24a,正确;当 x=1 时,图象在 x 轴上方,a+b+c0;把x=-1,y=0 代入 y=ax2+bx+1,得 b=a+1,图象的开口向下,a-1 时,函数图象有部分在 x 轴上方,与 x 轴有交点,有部分在 x 轴下方,所以 y0,y=0,y4ac;abc0;2a-b=0;8a+c0,即 b24ac,是正确的.抛物线的开口方向向上,a0;抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴,c0,
6、a 与 b 异号,则 b0,是正确的.抛物线的对称轴 x= =1,b=-2a,2a+b=0,是错误的.当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,又b=-2a,4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c0,是错误的.抛物线的对称轴为直线 x=1,在 x=-1 与 x=3 时函数值相等,由函数图象可知 x=-1的函数值为负数,x=3 时的函数值 y=9a+3b+c0;抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴下方部分的横坐标满足 ax2+bx+c0 B.c0 C.b2-4ac0 D.a+b+c04. 4.(陕西中考)已知两点 A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线 y=ax2+bx+c(a0
7、)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若 y1y2 y 0,则 x0的取值范围是( )A.x0-5 B.x0-1C.-50;bac;若-1y2y 0,抛物线开口向上,且对称轴不可能在 A 点的左侧;若对称轴在 B 点或其右侧,此时满足题意,则有x03;若对称轴在 A,B 两点之间,当 y1=y2时,有 x0=-1,当 y1y2时,应有 x0 ,即 3x0-1,综上可得 x0的取值范围是 x0-1.535. 【解析】对称轴 x= 1，所以 b2a，即 2a+b0，故正ba确；抛物线开口向下，a0，与 y 轴交于负半轴，c0，对称轴 x= 0，b0.根据图象无法确定 a 与 c 的大小，故不2
8、正确；因为1mn1， 1，而对称轴 x= n2b21，所以 ，即 m+n ，故正确；因为 x=1 时，ba a+b+c0，而 2a+b0，2a+b+a+b+c0，所以 3|a|2|b|+|c|=3a2bc=-(3a+2b+c)0，即 3|a|+|c|2|b|，故正确. 答案：6. 【解析】令 y=0，得： 解得：x 1=5，x 2=-1(不合题意，2809 ，舍去)，所以羽毛球飞出的水平距离为 5 m. 答案：57. 【解析】(1)由题意,可设 y=kx+b(k0),把(5,30000),(6,20000)代入得 30kb,10 ,268解 得，所以 y 与 x 之间的关系式为:y=-10000x+80000.(2)设每月的利润为 W,则 W=(x-4)(-10000x+80000)=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x2-12x+32)=-10000(x-6)2-4=-10000(x-6)2+40000.所以当 x=6 时,W 取得最大值,最大值为 40000 元.答:当销售价格定为每件 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元.
