1、(三)函数与导数(1)1(2018江南十校模拟)设 f(x)x ln x ax2(3 a1)x.32(1)若 g(x)f (x)在1,2上单调，求 a 的取值范围；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围解 (1)由 f(x)ln x 3ax 3a，即 g(x)ln x3ax 3a，x (0 ，)，g(x) 3a，1xg(x)在1,2上单调递增， 3a0 对 x1,2恒成立，1x即 a 对 x1,2恒成立，13x得 a ；16g(x)在1,2 上单调递减， 3a0 对 x1,2恒成立，1x即 a 对 x1,2恒成立，13x得 a ，13由可得 a 的取值范围为 .( ，1
2、6 13， )(2)由(1)知，当 a0 时，f(x )在(0，) 上单调递增，x(0,1)时，f(x )0 ，f(x)单调递增，f(x)在 x1 处取得极小值，符合题意；当 01，13 13a又 f(x )在 上单调递增，(0，13a)x(0,1)时，f(x )0，(1，13a)f(x)在(0,1)上单调递减，在 上单调递增，(1，13a)f(x)在 x1 处取得极小值，符合题意；当 a 时， 1，f(x )在(0,1)上单调递增，13 13a在(1，) 上单调递减，x(0 ，)时，f(x)0，f (x)单调递减，不合题意；当 a 时，00，f (x)单调递增，(13a，1)当 x(1 ，)
3、时，f(x)0)，ax a xexx当 a0 时，f(x )0 时，令 f(x) 0 得 axe x0，即 xexa，又 yxe x在(0，)上是增函数，且当 x时，x ex，所以 xexa 在(0，) 上存在一解，不妨设为 x0，所以函数 yf(x )在(0 ，x 0)上单调递增，在(x 0， ) 上单调递减，所以函数 yf(x )有一个极大值点，无极小值点综上，当 a0 时，无极值点；当 a0 时，函数 yf(x )有一个极大值点，无极小值点(2)因为 aN * 0，由(1)知，f(x) 有极大值 f(x0)，且 x0 满足 x0 a，e可知 f(x)maxf(x 0)aln x 0 ，e
4、x要使 f(x)0，所以 ln x0 0，11.7 11.8且 yln x 0 在(0 ，)上是增函数1x0设 m 为 yln x 0 的零点，1x0则 m(1.7,1.8) ，可知 00，a0，m( x)单调递增；当 x(e，)时，m( x)1 时，h(x)f(x)g(x)0 恒成立，即 ln xe x2ax2ae0 恒成立，令 t(x)ln x ex2ax2ae，t(x ) e x2a，1x设 (x) e x2a，(x)e x ，1x 1x2x1，e xe， 0，(x)在 (1，)上单调递增，即 t(x )在(1，)上单调递增，t(x )t(1)1e2a，当 a 且 a1 时，t( x)0
5、，1 e2t(x)ln xe x2ax2ae 在(1，) 上单调递增，t(x)t(1)0 成立，当 a 时，1 e2t(1)1e2a0，1ln 2a存在 x0(1 ，ln 2a)，满足 t(x 0)0.t(x )在(1，)上单调递增，当 x(1 ，x 0)时，t( x)0 不恒成立实数 a 的取值范围为( ，1) .(1，1 e2 4(2018福建省百校模拟)已知函数 f(x)x 1ae x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 x1，x 2 是 f(x)的两个零点，证明：x 1x 24.(1)解 f(x) 1ae x，当 a0 时，f(x )0，则 f(x)在 R 上单调递增当 a0，得
6、xln ，( 1a)则 f(x)的单调递减区间为 .(ln( 1a)， )(2)证明 由 f(x)0 得 a ，1 xex设 g(x) ，则 g( x) .1 xex x 2ex由 g(x)0，得 x2.故 g(x)ming(2) 1 时，g( x)0，不妨设 x14 等价于 x24x 1，4x 12 且 g(x)在(2，)上单调递增，要证 x1x 24，只需证 g(x2)g(4x 1)，g(x 1)g(x 2)a，只需证 g(x1)g(4x 1)，即 ，1143exx即证 (x13) x 11h(2)0，h(x)在(1,2)上单调递增，h(x)4 得证5(2018长沙模拟)设函数 f(x)x
7、 ln(x )1 x2(1)探究函数 f(x)的单调性；(2)当 x0 时，恒有 f(x)ax 3，试求 a 的取值范围；(3)令 an 6nln (nN *)，试证明：a 1a 2a nax3；0， 1 6a9a )()当 a0 时，h( x)0，同理可知 f(x)ax3，综上，a 的取值范围是 .16， )(3)证明 在(2)中，取 a ，19则 x 时，x ln(x ) x3，0，33) 1 x2 19即 x3ln( x )x，取 x 2n，19 1 x2 (12)an 6nln n，19(12) (12)2n 1 (12)4n (14)则 a1a 2a n .141 (14)n1 14 13
