1、(二)直线与圆锥曲线(2)1(2018洛阳模拟)已知抛物线 C：yx 2，点 A，B 在抛物线上，且横坐标分别为 ，1232抛物线 C 上的点 P 在 A，B 之间( 不包括点 A，点 B)，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.(1)求直线 AP 的斜率 k 的取值范围；(2)求|PA|PQ |的最大值解 (1)由题意可知 A ，B ，( 12， 14) (32， 94)设 P(xP，x )， 0，12当 b0)的焦距为 2c，离心率为 ，圆x2a2 y2b2 12O：x 2y 2c 2，A 1，A 2 是椭圆的左、右顶点， AB 是圆 O 的任意一条直径，A 1AB 面积的最大值为
2、2.(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；(2)若 l 为圆 O 的任意一条切线，l 与椭圆 C 交于两点 P，Q，求|PQ|的取值范围解 (1)设 B 点到 x 轴距离为 h，则 2 |A1O|hah，1AS12A12易知当线段 AB 在 y 轴时，hmax|BO| c， a c2，1ABSe ，ca 12a2c，a2，c 1，b ，3椭圆 C 的方程为 1，圆 O 的方程为 x2y 21.x24 y23(2)当直线 l 的斜率不存在时，求得| PQ|3；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm ，直线为圆的切线，d 1，|m|1 k2m 2k 21，联立Error!得(4k
3、2 3)x2 8kmx4m 2120，判别式 48(3 k22)0，由根与系数的关系得Error!弦长|PQ| |x1x 2|1 k2 ，43 1 k2 3k2 24k2 3令 t4k 23 3，则|PQ | .3 (1t)2 2t 3 (3，463综上，|PQ| .3，4633(2018江西省重点中学协作体联考) 已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，短轴x2a2 y2b2 32为 MN，点 P(4,0)满足 15.PM PN (1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线 l 与椭圆交于点 A， B，是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，
4、请说明理由OA OB PA PB 解 (1) (4，b)(4，b)16b 215，PM PN 所以 b1，又 ，所以 a24，ca a2 b2a2 32从而椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)当 l 不为 x 轴时，设 l：xmy4，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)联立 l 与 C 的方程可得(m 24)y 28my120，所以 y1y 2 ，y 1y2 ，8mm2 4 12m2 4 x 1x2y 1y2(x 14)(x 24)y 1y2OA OB PA PB (1)(1m 2)y1y24m( y1 y2)16 16.12 20m2 12 1m2 4因为 为定值，OA OB P
5、A PB 所以 ，12 201 121 4解得 ，此时定值为 .239 803当 l 为 x 轴时， A(2,0)，B(2,0) 4 12 .OA OB PA PB 239 803综上，存在 ，使得 为定值 .239 OA OB PA PB 8034(2018宿州质检)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e ，以椭圆32C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 .5(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若经过点 P(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，是否存在直线 l0：xx 0(x02)，使得A，B 到直线 l0 的距离 dA，d B满足 恒成立，若存在
6、，求出 x0 的值；若不存在，请说dAdB |PA|PB|明理由解 (1)设椭圆 C 的标准方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2 ，c a，ca 32 32又4 4 ，a2 b2 5a 2b 25，由 b2a 2c 2 a2，14解得 a2，b1，c .3椭圆 C 的标准方程为 y 21.x24(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l0 为任意的 xx 0(x02)都满足要求；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1) ，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)(不妨令 x11x2)，则 dAx 0x 1，d Bx 0x 2，|PA| (x11)，|PB| (1x 2)，1
7、k2 1 k2 ，dAdB |PA|PB| ，x0 x1x0 x2 1 k2x1 11 k21 x2 x1 11 x2解得 x0 .2x1x2 x1 x2x1 x2 2由Error!得(14k 2)x28k 2x4k 240，x1x 2 ，x 1x2 ，8k21 4k2 4k2 41 4k2x0 4.8k2 81 4k2 8k21 4k28k21 4k2 2综上可知，存在直线 l0：x 4，使得 A，B 到直线 l0 的距离 dA，d B满足 恒成立dAdB |PA|PB|5(2018四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点 F(1,0)，过直线 l：x2 左侧的动点 P 作 PHl 于点
8、 H，HPF 的角平分线交 x 轴于点 M，且|PH| |MF|，记动点 P 的轨2迹为曲线 .(1)求曲线 的方程；(2)过点 F 作直线 m 交曲线 于 A，B 两点，点 C 在 l 上，且 BCx 轴，试问：直线 AC 是否恒过定点？请说明理由解 (1)设 P(x， y)，由题意可知 |MF| PF|，所以 ，|PF|PH| |MF|PH| 22即 ，化简整理得 y 21，x 12 y2|x 2| 22 x22即曲线 的方程为 y 21.x22(2)由已知可得直线 m 的斜率不为 0，可设直线 m 的方程为 xny1，联立Error!消去 x，得(n 22) y22ny 10， 0 恒成立，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 C(2，y 2)，则 y1y 2 ，y 1y2 ，x 1ny 11，2nn2 2 1n2 2直线 AC 的斜率为 k ，y1 y2x1 2直线 AC 的方程为 yy 2 (x2) ，y1 y2x1 2即 y ，y1 y2x1 2x 2 y2x1 2y1 y2又 y2x1 2y1 y2 y2ny1 1 2nn2 2 2y2 ，y2 nn2 22( nn2 2 y2) 12直线 AC 的方程为y ，y1 y2x1 2(x 2 12) y1 y2x1 2(x 32)直线 AC 过定点 N .(32，0)
