1、第二章 匀变速直线运动的研究第 3 节 匀变速直线运动的位移与时间的关系1.了解位移公式的推导过程，理解公式的含义，知道位移对应 v-t 图象与坐标轴围成的面积.2.会利用公式 x v0t at2和匀变速直线运动的 v-t 图象解决有关问题12.3.了解匀速直线运动的 x-t 图象的意义、特点，了解匀变速直线运动的 x-t 图象的特点.一、匀速直线运动的位移做匀速直线运动的物体在时间 t 内的位移 x v-t，在速度图象中，位移在数值上等于 v-t 图象与对应的时间轴所围的矩形面积.二、匀变速直线运动的位移1.由 v-t 图象求位移：(1)物体运动的 v-t 图象如图 2 甲所示，把物体的运动
2、分成几个小段，如图乙，每段位移每段起始时刻速度每段时间对应矩形面积.所以整个过程的位移各个小矩形面积之和.图 2(2)把运动分成更多的小段，如图丙，各小矩形的面积之和，可以更精确地表示物体在整个过程的位移.(3)把整个过程分得非常非常细，小矩形合在一起形成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移.(4)结论：匀变速直线运动的 v-t 图象与 t 轴包围的面积代表匀变速直线运动相应时间内的位移.2.位移与时间关系式： x v0t at2.12考点一、匀变速直线运动的位移公式及有关计算1.位移公式 x v0t at2的推导12如图 2 所示，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近
3、”的微分思想可得 v-t 图象与时间轴所围成的“面积”表示位移.如图 4 所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为 S (OC AB)OA.12图 4与之对应的物体的位移 x (v0 v)t.12由速度公式 v v0 at，代入上式得 x v0t at2.122.对位移公式 x v0t at2的理解12(1)适用条件：匀变速直线运动.(2)公式 x v0t at2为矢量式，其中的 x、 v0、 a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般12选初速度 v0的方向为正方向：匀加速直线运动， a 取正值；匀减速直线运动， a 取负值.若位移为正值，位移的方向与规定的正方向相同；若位移为负值，位移
4、的方向与规定的正方向相反.(3)两种特殊形式：当 a0 时， x v0t(匀速直线运动).当 v00 时， x at2(由静止开始的匀变速直线运动).123.用 v-t 图象求位移图线与时间轴所围成的“面积”表示位移.“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和.典型案例质点做直线运动的位移 x 与时间 t 的关系为 各物理量均采用国际单位制单位 ，则该质点 A. 前 2 s 内的位移是 5 m B. 前 1 s 内的平均速度是 6 C. 任意相邻的 1 s 内位移差都是 6 m D. 1 s 末的速度是 6 【答案】 C针对练习 1
5、小物块以一定的初速度自光滑斜面的底端 a 点上滑，最远可达 b 点， e 为 ab 的中点，如图所示，已知物体由 a 到 b 的总时间为 ，则它从 a 到 e 所用的时间为 A. B. C. D. 【答案】 D【解析】采用逆向思维，根据 ， ，因为 e 为 ab 的中点，则： ，可知 a到 e 的时间为： 【点睛】采用逆向思维，结合位移时间公式求出 eb 和 ab 的时间之比，求出 e 到 b 的时间，从而得出 a 到 e 的时间解决本题的关键掌握匀变速直线运动的位移时间公式，以及掌握逆向思维在运动学中的运用，基础题针对练习 2物体的位移随时间变化的函数关系是 ，则它运动的初速度和加速度分别是
6、 A. 0、 B. 、C. 、 D. 、【答案】 D【点睛】根据匀变速直线运动的位移-时间关系公式 ，即可知道初速度和加速度的大小解决本题的关键掌握匀变速直线运动的位移-时间公式针对练习 3汽车由静止开始做匀加速直线运动，经 10s 速度达到 ，求：汽车加速度的大小内汽车通过的位移大小【答案】 由静止加速到 ，根据 得：由静止加速到 ，根据 得：答： 汽车加速度的大小为内汽车通过的位移大小为 100m考点二、位移时间图象( x-t 图象)1.对 x-t 图象的理解(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负表示速度的方向.(2)截距：纵截距表示物体起始位置，横截距表示物体开始运动的时刻.
7、(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇.2.几种常见的位移时间图象(1)静止物体的 x-t 图象是平行于时间轴的直线，如图 6 直线 a.(2)匀速直线运动的 x-t 图象是一条倾斜的直线，如图直线 b，斜率表示速度.(3)匀变速直线运动的 x-t 图象是抛物线，如图曲线 c，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度.图 63.注意：(1)无论是 v-t 图象还是 xt 图象都不是物体的运动轨迹.(2)v-t 图象和 x-t 图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动.典型案例两质点 A， B 从同一地点开始运动， 图象如图所示，则下列说法正确的是A. A 做直线运动， B 做曲
8、线运动B. 两质点在 4s 末速度相等C. 两质点在前 8s 的路程相等D. 两质点在前 8s 的位移大小相等【答案】 C【解析】 图像表示物体直线运动的图像，故 AB 都做直线运动，故 A 错误；由途知两质点在 4s末斜率不相等，速度不相等，故 B 错误；前 4s 两物体沿同一方向运动，位移相等，即前 4s 路程相等；后 4sA 以原来速度做匀速直线运动， B 返回到起点，后 4s 路程相等，所以两质点在前 8s 的路程相等，故 C 正确；由图知前 8s B 的位移为零， A 的位移 40m，故 D 错误。针对练习 1甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移 时间图象如图所示
9、，由图象可以得出在 内 A. 甲、乙两物体始终同向运动B. 4s 时甲、乙两物体间的距离最大C. 甲的平均速度等于乙的平均速度D. 甲、乙两物体间的最大距离为 6m【答案】 C针对练习 2如图所示是 A， B 两个质点在同一条直线上做直线运动的 图象，下列说法正确的是A. 时刻，两质点相遇B. 时刻，两质点的速度相等C. 时刻，两质点的加速度都为正D. 从 0 到 时刻，质点 A 比质点 B 慢些【答案】 A针对练习 3如图所示是 A、 B 两物体从同一地点出发运动的 图象，已知 A 做匀速直线运动， B 做匀变速直线运动。则在 时间内，下列说法正确的是A. 两物体在 时刻速度大小相等 B.
10、时刻 A 的速度大于 B 的速度C. A 的平均速度小于 B 的平均速度 D. 两物体间的距离先增大后减小【答案】 D【解析】根据位移时间图象的斜率等于速度，可知， 时刻 A 的速度小于乙的速度，故 AB 错误；根据纵坐标的变化量等于位移，则知 时间内两物体位移大小相等，时间也相等，则平均速度的大小相等，故 C 错误；由图中纵坐标可以直接确定位置坐标，则由图可知，两物体间的距离先增大后减小， 时刻相遇，故 D 正确。考点三、 追及、相遇的特征（1）追及问题初速度 类型 图像 说明匀加速追匀速匀速追匀减速匀加速追匀减速初速度小者追初速度大者匀加速追匀加速( a2 a1) t t0以前，两物体间距
11、离加大 t t0时，两物体相遇前相距最远：x0+ x t t0以后，两物体间距离减小能追上且只有一次初速度大者追初速度小者匀减速追匀速开始运动后两物体间距离开始减小，能否追上取决于速度相等时即 t t0时刻两物体的位移关系当 x x0时，物体恰能追上且只能追上一次，这也是避免相撞的临界条件匀速追匀加速匀减速追匀加速匀加速追匀加速( a1 a2)当 x x0时不能追上，此时两物体间距离最小： x0- x当 x x0时能追上两次，若在 t1时刻 x1 x0，发生第一次追及，则 t2时刻发生第二次追及，且 t2-t0 t0-t1温馨提示 x 是开始运动后至速度相等时后面物体比前面物体多通过的位移 x
12、0是两物体间的初始距离 v1是前面物体的初速度， v2是后面物体的初速度 0 t 时刻两物体间的距离 d x1+x0- x（2）相遇问题同向运动的两物体的相遇问题，即追及问题。相向运动的物体，当各自运动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇。不在同一直线上运动的物体，当同一时刻运动到同一位置时两物体相遇。典型案例如图所示，一辆长为 13m 的客车沿平直公路以 的速度匀速向西行驶，一辆长为 18m 的货车由静止开始以 的加速度由西向东匀加速行驶，已知货车刚启动时两车车头相距 200m，求：货车启动后经多长时间两车车头相遇？两车错车 即车头相遇到车尾刚好分开 所用的时间【答案】 设货车启动后经
13、过时间 ，两车开始错车，此时货车的位移 ，客车的位移 且有 解得：设货车从开始启动到错车结束所用的时间为 ，此时货车的位移 ，客车的位移 且有 解得： 所以两车错车的时间为 答： 货车启动后经 10s 两车车头相遇；两车错车 即车头相遇到车尾刚好分开 所用的时间为 1s车的时间，而从开始启动到错车结束所用的时间可根据 中的求解方法去求解该题是相遇问题，主要抓住时间相等和位移之间的关系求解，难度不大针对练习 1如图所示，水平地面上 A， B 两物体相距 在水平拉力和地面摩擦力的作用下正以 的速度向右匀速运动，而物体 B 在地面摩擦阻力的作用下正以 的初速度向右匀减速运动，加速度大小为 ，则 A
14、追上 B 所经历的时间是A. s B. s C. s D. s【答案】 B根据速度时间公式求出 B 速度减为零的时间，结合位移公式求出 A、 B 的位移，判断此时有无追上，若没有追上，再结合位移公式求出继续追及的时间，从而得出总时间本题考查了运动学中的追及问题，抓住位移关系，结合运动学公式灵活求解，知道 B 速度减为零后不再运动，所以首先要进行判断针对练习 2辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以 的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶并开始计时 经 警车发动起来，以加速度 做匀加速运动，试问警车追上货车的时间及警车追上货车之前，两车间的最大距离分别为( )A. ，36 m B.
15、 15s，40 m C. ，40 m D. 15s，36 m【答案】 A针对练习 3同向运动的甲乙两质点在某时刻恰好通过同一路标，以此时为计时起点，此后甲质点的速度随时间的变化关系为 ，乙质点位移随时间的变化关系为 试求：两质点何时再次相遇？两质点再次相遇之前何时相距最远？最远的距离是多少？【答案】 由甲质点速度随时间变化关系 得，甲做匀变速直线运动， ， ，则甲的位移随时间的变化关系为：由乙质点位移随时间变化关系为：若甲乙再次相遇，两者位移相等，则有：由 得， ， ，由题意得两质点 5s 时再次相遇由乙质点位移随时间的变化关系为： ，乙做匀变速直线运动，有： ， ，则乙的速度随时间变化关系为：则甲质点的速度随时间的变化关系为由题意得当两质点速度相等时，两者相距最远，由 得，则两质点两次相遇之前 相距最远的距离由 ，代入数据得，两质点的最远距离为： 答： 两质点 5s 时再次相遇；两质点再次相遇之前 时相距最远，最远距离为 本题考查了运动学中的追及问题，关键抓住位移关系，结合运动学公式灵活求解，知道速度相等时，相距最远
