1、理论力学题解1-3 已知曲柄 , 以匀角速度 绕定点 O 转动, 此曲柄借连杆 AB 使滑动 B 沿直线OAr运动.设 , , .求连杆上 C 点的轨道方程及速度.xCBaAB解: 设 C 点的坐标为 ,则xycosinirya联立上面三式消去 得,22(1/)4xyr整理得轨道方程 22224()(3)axa设 C 点的速度为 ,即v22 2sinsinvyrra考虑 A 点的速度 co2cAa得 coss2rra所以 2s4incosi()cv1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度 转动,并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动,图中的为一已知常数.试求小环的速度 及加速度dva解:
2、小环 C 的位置由 坐标确定xtanx22secdv22tanxaxd解法二:设 为小环相对于 AB 的速度, 为小环相对于 OL 的速度, 为小环相绕 O 点转动的速度,v1v2v则 12又设 OL 从竖直位置转过了 角,则, 2sinxd2cosdx22()cossvd2212tantx所以, 小环相对于 AB 的速度为 ,方向沿 AB 向右.()vd沿滑杆 OM 滑动的速度为 ，方向沿 OM 杆向上。21x求加速度用极坐标横向加速度2221xdav22()cosxd第一章第五节例题一解：坐标向上为正时，速度 也向上为正，而实际速度向下，则有 阻力x vx，动力学方程 ，满足初始条件的解为
3、fmkvkg2(1)ktgxhe坐标向下为正时，速度 也向下为正，实际速度向下，则有 阻力 ，y vyfmkvy动力学方程 ，满足初始条件的解为kg（ ）2(1)tgye0yh可以看出 xyh第一章第五节例题二解：双曲正切函数 ，双曲余弦函数()ket()2kech反双曲正切函数 （ ）1()ln2thkk 11()ln()2xxedchxthd C12 1()l1xtxx 1-10 一质点沿着抛物线 运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的 倍.如2ypx 2k此质点从正焦玄( )的一端以速度 出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率 .,u解: 设条件为, , nak2vdvsdvatt上面
4、三式联立得 2dv两边积分 , 0(2)vukd 2kvue由 可得 2ypxyp在正焦玄两端点 和 处, , .可看出,两点处抛物线得切线斜(,)2A()B1AyB率互为倒数,即 ,代入得kvue1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后 的甲板,蓬高 .但当轮船2m4停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前 ,如果雨点的速率为 ,求轮船的速率.38/s解: 设相对于岸的速度为 ,雨相对于岸的速度为 ,雨相对于船的速度为 则0vvrv0rv速度三角形与三角形 ABC 相似,得02314BCvA所以 08/ms方程 的解320yph解: 作变换 ,原方程变为2z6320pzh设
5、 , , , 则642Rph21/3()AR21/3()BpRA32i实根 21/321/31yBph两个虚根: ,23y对于该题,只取实根.1-38 已知作用在质点上的力为 , ,1213xFayz2123yFaxyz其中 都是常数,问这些 应满足什么条件才有势能3123zFaxyz,()ij ,ij存在?如果这些条件满足,试求其势能.解: 由 得: 0,(1,23)ijjia121233123()()xyzdVdFxayzdxayzdaxyzd12132300023121()()( zazxyzxc000(5)()(6)xyzVFdFdzd1-39 一质点受一与距离 3/2 次方成反比得引
6、力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达 时的速度 和自 静止出发到达 时的速率 相同.a1va/4a2v解: 依题意有 ,两边积分3/21dmtx, 13/20va1va再积分 ,243/201avddx21m可知 12v1-43 如果质点受有心力作用而作双纽线 的运动时，则2cosra4273mahFr试证明之。解：比耐公式2()duFhm而 代入得221cosura4523du427mahFr1-44 质点所受的有心力如果为 23()r式中， 及 都是常数，并且 ，则其轨道方程可写成 。试证2h1cosarek明之。式中 ， ， （A 为积分常数） 。2hk2ka2ke解：比耐公式
7、 将 F 代入得2()dum，式中22dukh2hk其解为20cos()A2 0021cos()1cos()kharAek式中 ，2kha2ke将基准线转动一角度，可使 得01cosrek2-1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为 ，所对的圆心角为 。并证明半圆a2片的质心的距离为 43a解：取对称轴为 轴，则质心比在对称轴上。设密度为x 02cos2sin3aCrdax对于半圆片，取 ，2i/42Cx或者直接积分2302()/aCdxa2-2 如自半径为为 的球上，用一与球心相距为 的平面，切出一球形帽，求此球ab形帽的质心。解：方法一球形帽可看作由许多圆薄片沿 Z 轴叠成，其质心坐标 0
8、cxy2 32cos1242/cs3o/cs(in)(sco)(s1(os)3()crbc brrrdzdzr方法二取任一垂直于 OZ 轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。 2()dmVsdzrzd242 231()() ()rrrbb bc rzzdzdr2-3 重为 的人，手里拿着一个重为 的物体。此人用与地平线成 角的速度向前Ww跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度 水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳u的距离增加了多少？解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为 ，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为0co
9、sv，则v00(cos)()sWwWwvugg人抛出重物后，做以 为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离000sinsincvxv两式联立得 0iwuWg讨论：若抛出物体时速度是相对人后来的速度即 ，则上面第一个方程变为v0()()cosvuvgg结果是 0inwxW一个例子：人重 60 公斤，物重 2 公斤，起跳速度 ，抛物速度 ，则5/ms10/s0.12xm2-13 长为 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此l时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。解：【方法一】设链条的线密度
10、为 ，则 时刻下落的链条质量为 ，此时链条所受的t ()2lmy重力为 ，根据牛顿第二定律有()2lmgydvlgt作变换 代入上式,ydvt()2lvdg两边积分 ，200()lvygd132vgl【方法二】设链条的线密度为 ，当链条往下移 ，重力做的功为0yWgdy238l lm，1lvg12vgl216 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解：变质量动力学方程 ()dmvugtt设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度 ，代入上式得0ut设雨滴半径 的增长率为 ， ，式中 为 时雨滴的半径，雨滴的质rratt量，式中为 密度34m3dvgtat其解 3
11、4()()atc设 时， 的0tvc434()gatt问题：轴为竖直而定点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度 绕轴转动。一质量为 的小m环套在此金属丝上，并可沿金属丝滑动。是研究其运动。抛物线方程 24xay建立动参考系 ，则o动能 221()Tmx势能 Vgy运动微分方程 22(1)()044xdxdxmgatata对上式积分一次222()()Ct再积分一次 120 02/()/4xcnxgtaa一个自由度下，应用虚功原理求平衡问题半径为 的光滑半球形碗固定在水平桌面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，另一端r在碗外，在碗内长度为 ，试证棒长为c24()crl解：主动力 ， ，体系平衡时，由虚
12、功原理得0xFymg0W上式中如选 为广义坐标，得出 这与广义坐标的变分独立性相矛盾，故不能选 为yy y广义坐标。选 为广义坐标，则，(2cos/)inrl2cos(/)csrl，0y(s0而 ， 得棒长cos/2r2in4/rc4()l取直角坐标为广义坐标，如 ，因为 则(),xy,dxy()0xyydWFQ广义力 yxy独立，平衡方程为 ，即0yQ0xydF两种特殊情况当 ， 时，平衡方程简化为 ；0xFy dy当 ， 时，平衡方程 改写为 ，即 。yx0xyF0xydFyx解释个质点组成的力学系统，有 个自由度，选取一组广义坐标 设去取值范围ns 12(,)sq给出的 维区域为 。主动
13、力作用点（质点）的矢径为 ，sDR,1i srin 虚位移 1,siirqn只有在 定义域 的交集 中成立。一般有(1,;,)irnsq iD*,i。从而产生虚位移和广义力的定义域就是广义坐标的值域的误解。考虑两种*sDR情况（1） 平衡位置 ，虚功原理化成 ；0*qD10sWQ（2） 平衡位置 ，但 ，诸 中至少有一个在平衡00*(,;,)irnsq 位置 不存在。所选广义坐标虽能表达质点系的平衡位置，但在平衡位置的虚位0q移却不能用广义坐标变分的线性组合来表达。即 不成立。1,siirqn在平衡位置不是 ，而是 不存在。0yQy若取 为广义坐标，则 ， ， 的奇点方程为y()rxij()d
14、xrijydx，平衡点是虚位移和广义力的奇点。22480cLr（论述该问题的文献：大学物理，200 年 5 月和 2002 年 4 月）设力 在球坐标系中沿坐标轴方向的分量为 ， ， 。若取三个球坐标 为广F rF(,)r义坐标，试证其三个广义力为 。sinrQ证明： rFeFe虚位移 （2 分）sirre虚功 （2 分）nrWF而虚位移又可以写成 （2 分）rQ两式比较得 （2 分）sinrF质量分别为 和 的两个质点用一长为 的不可伸长的细线连接并挂在一定滑轮上，试1m2l用拉格朗日方程求体系的运动微分方程。解：力学体系有一个自由度。取 到滑轮固定点的距离 为广义坐标1mx体系势能为 （2
15、 分）12()Vmgxlrx体系的动能（2 分）21()T拉格朗日函数2112()()LVmgxmglrx分别对广义坐标和广义速度求偏导数， （3 分）12()x12()L代入拉格朗日方程的体系运动微分方程（3 分）1212()()mg一个质量为 的圆环，从一个倾斜角为 的斜面上无滑动地滚下来。试用拉格朗日方程求环的运动微分方程。解：力学体系有一个自由度。取环到斜面顶点的距离 为广义坐标x体系势能为 （2 分）()sinVmglx体系的动能（2 分）2221Trx拉格朗日函数2()sinLVmgl分别对广义坐标和广义速度求偏导数， （3 分）xi代入拉格朗日方程的体系运动微分方程（3 分）2s
16、ing质量为 的小环 P，套在半径为 的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内mr以匀角速度 绕圈上某点 O 转动，已知体系的拉氏函数为22222(1/)coscosLrmrmr式中 为 P 与圆心 的连线和通过 O 点的直径间所夹的角。试用哈密顿正则方程求关于 的运动微分方程。解：体系拉格朗日函数为22222(1/)coscosLmrrmrmrcsp（2 分）2(cos)r由勒让德变换得哈密顿函数（3 分）22 211s(cos)pHLpmrpmr代入正则方程得 （3 分）2()sincosinHrpp 整理得： 即 =常数 （2 分）2sinmr2i0试用保守系的拉格朗日方程求单摆
17、的运动微分方程并在小角度摆动时解出该方程。解：取悬线和铅垂线的夹角 为广义坐标，则其动能和势能分别为（2 分）21()Tl(1cos)Vgl拉格朗日函数为 2(cs)LTml， （2 分）2mlsinl代如保守系的拉格朗日方程得 （2 分）2si0gl小角度摆动时变为 （2 分）0gl其解为 ，其中 为振幅， 为初位相。 （2 分）0cos(/)t质量为 的质点，被限制在水平固定的光滑直线上滑动，另一质量为 的质点用一长为1m m的轻杆和 相联。此杆只能在通过固定直线的铅直平面内运动，设此二质点只受l1m重力作用。解答下列问题：（1）若选 和 为广义坐标，则体系有没有循环坐标？若有，找出来，并
18、求出相应x的守恒量；（2）用拉格朗日方程求出体系运动微分方程。解：如图，设质点 的坐标为 ，质点 的坐标为 ，动能和势能分别为1m(,0)x2m(cos,in)xl（2 分）2 2212sins()(i)Tllxx（1 分）2sinVmgl拉氏函数（1 分）221 2()(sin)simLTxllxmgl（1）拉氏函数中不含 ，是循环坐标，则有=C=常数 （2 分）12()sinxpl（2）求体系运动微分方程 2siLmllx椭圆标准方程21xyab离心率 ，面积2eSab周长 /22041sin4(,)2LaetdaEe 式中 46222315(,)()()2Ee设 ，则ab2468()1)5134L或.5()ab42()6Lab
