1、数学建模入门 讲座,1.3.2 双层玻璃的功效问题北方城镇的窗户是双层的，这样做的目的是使室内保温，试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。模型准备：本问题与热量的传播形式、温度有关.检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果热传导物理定律，即厚度为 的均匀介质，两侧温度差为则单位时间内由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量 与 成正比，与 成反比，即其中， 为热传导系数。,数学建模入门 讲座,模型的假设根据以上定律做如下假设 （1）室内的热量传播只有传导形式（不考虑对流、辐射） （2）室内温度与室外温度保持不变（即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数） （3）玻璃
2、厚度一定，玻璃材料均匀（热传导系数是常数）。,数学建模入门 讲座,模型构成 如图1-4所示，其中的符号表示为：玻璃厚度；室内温度；室外温度； 靠近内层玻璃的温度；靠近外层玻璃的温度； 图1-4玻璃之间的距离；玻璃热传导系数；空气热传导系数；,数学建模入门 讲座,对中间有缝隙的双层玻璃，由热量守恒定律应有：穿过内层玻璃的热量等于穿过中间空气层的热量，等于穿过外层玻璃的热量，所以根据热传导物理定律，得 消去不易测量的 ，有 其中对中间五缝隙的双层的双层玻璃，可以视做厚度为2d的单层玻璃，故根据热传导物理定律，有而 即有,数学建模入门 讲座,此式说明双层玻璃比单层玻璃保温。为得到定量结果，考虑s的值
3、，查资料有常用玻璃 静止的干燥空气 ， 若取最保守的估计，有 由于 可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效，在最保守估计下它是 h 的函数，下面从图形考察它的取值情况。 从图1-5中可知，此函数无极小值，且当h从零变大时， 迅速下降，但h 超过4后下降变慢，从节约材料方面考虑 h不宜选择过大，以免浪费材料，如果取 ,有,数学建模入门 讲座,这说明在最保守估计下，玻璃之间的距离约为玻璃厚度的4倍时，双层玻璃比单层玻璃免热量损失可达97% 。 简评 本问题给出的启示是：对于不太熟悉的问题，可以根据实际问题涉及的概念着手去搜索有利于进行数学建模的结论来建模，此时建模中的假设要以相应有用结论成立的条件给
4、出。此外，本题通过对减少热量损失功效的处理给出了处理没有函数极值的求值问题的一个解决方法。,数学建模入门 讲座,1.3.6 公平席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如人大代表或职工学生代表的名额分配、其他物质资料的分配等，通常分配结果的公平与否以每个代表所代表的人数相等或接近来衡量.目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即某单位席位分配数=某单位人数比例 乘 总席位按尚需公式进行分配，如果一些单位的席位分配数出现小数，则先按席位分配数的整数分配席位，余下席位按所有参加席位分配单位中小数的大小一次进行分配，这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题。某学院按有甲、
5、乙、丙三系并设20个学生代表，其最初学生人数及学生代表席位如表1-1所示,数学建模入门讲座,表1-1学生席位情况,数学建模入门讲座,后来由于出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位有所变化，如表1-2所示：表1-2 转系后学生席位情况,数学建模入门讲座,由于总代表席位为偶数，时使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而不能达成一致意见，为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个.表1-3为重新按惯例分配席位的情况.表1-3 增加一个席位后的席位分配情况,数学建模入门讲座,这个分配结果导致丙系比增加席位前少一席位的情况，这让人觉得席位分配明显不公平，这个结果也说明按惯
6、例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题.模型构成先讨论由两个单位公平分配席位的情况，具体如表1-4所示,数学建模入门讲座,表1-4 单位A、B分配席位情况 要满足公平，应该 但这一般不成立，注意到等式不成立时，有若则说明单位A吃亏（即对单位A不公平）； 若 ，则说明单位B吃亏（即对单位B不公平）.,数学建模入门讲座,因此，可以考虑算式 来衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点),如某两个单位的人数和席位为算得 ；另两个单位的人数和席位为算得 虽然在两种情况下都有 ，但显然第二种情况比第一种公平.下面采用相对标准对公式给于改进
7、，定义席位分配的相对不公平标准公式如下：若 定义为对单位A的相对不公平值。若 ，,数学建模入门讲座,定义 为对单位B的相对不公平值.由定义知，对某单位的不公平值越小，该单位在席位分配中越有利.因此，可以使用不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平.下面讨论通过使用不公平值的大小来确定分配方案.设单位A的人数为 ，已经有席位数为 ，单位B的人数为 ，已经有席位为 ，再增加一个席位，分别分配给单位A和单位B，有如下不公平值,数学建模入门讲座,用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有 则增加的席位应给A，此时对不等式 进行简化，可以得出不等式 引入公式 于是知道增加的席位分配可以
8、由 的最大值决定，它可以推广到多个祖的一般情况.用 的最大值决定席位分配的方法称为Q的值法.对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为：(1)先计算每个组的Q值，即 （2）求出其中最大的Q值 （若有多个最大值任选其中一个即可）；,数学建模入门讲座,（3)将席位分配给最大值 对应的第I组，这种分配方法很容易编程处理.模型求解先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配.本问题的整数名额共分配了19席，具体为：甲 10.815 乙 6.615丙 3.570对第20席的分配，计算Q值为,数学建模入门讲座,因为 最大，所以第20席应该给甲系.对第21席的分配，计算Q值为因为 最大，所以第21席应该给丙系.最后的席位分配为:甲11席，乙6席，丙4席.简评 若一开始就用Q值分配，以 逐次增加一席，也可以得到同样的结果.本题给出的启示是：对涉及较多的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般规律，这也是科学研究的常用的方法，请对一般情况编程.,
