1、奥数十三讲牛吃草问题二典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用的四个基本公式，分别是：设定一头牛一天吃草量为“1”1 草的生长速度=（对应的牛头数吃的较多的天数相应的牛头数吃的较少的天数）（吃的较多的天数吃得较少的天数）2 原有草量=牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数3 吃的天数=原有草量（牛头数草的生长速度）4 牛头数=原有草量吃的天数+草的生长速度由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想
2、办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天 新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地，这地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有的草量，进而解答问题。这类题的基本数量关系是：1（牛头数吃的较多的天数相应的牛头数吃的较少的天数）（吃的较多的天数吃得较少的天数）=草地每天新长出的草2 牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数=原有草量解决多
3、块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。思维拓展例 5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可供 19 头牛吃 24 天，现在有若干头牛在吃草，6 天后，4 头牛死亡，余下的牛吃了 2 天将草吃完，问原来有牛多少头？【 分析 】“牛吃草 ”问题 的特点是随 时间 的增 长 ，所研究的量也等量地增加。解答 时 ，要抓住 这 个关 键问题 ，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛
4、吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天，现有一群牛吃了 4 天后卖掉 2 头，余下的牛又吃了 4 天将草吃完。这群牛原来有多少头？25 头。设每头牛每天的吃草量为 1 份。每天新生的草量为：（239-276）（20-10）=15 份，原有的草量为（27-15）6=72 份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8 天内吃草量 72+158+24=200 份。所以这群牛原来有 2008=25 头例 6 有三块草地，面积分别为 5 公顷，6 公顷和 8 公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14天。第三块草地可供 19 头牛吃多
5、少天？【 分析 】 由 题 目可知， 这 是三 块 面 积 不同的草地， 为 了解决 这 个 问题 ，首先要将 这三 块 草地的面 积统 一起来。巩固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供 10 头牛吃 40 天，供 15头牛吃 20 天。可供 25 头牛吃天。 （ ）A. 10 B. 5 C. 20A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为 1 份。每天新生的草量为：(1040-1520)（40-20）=5（份） 。那么愿草量为：1040-405=200（份） ，安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供 25头牛吃：200（25-5）=10（天） 。2.一块草地上的草以
6、均匀的速度生长，如果 20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而 14 只羊则要 10 天吃光。那么想用 4 天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。 （ ）A. 22 B. 23 C. 24B 假设 1 只羊 1 天吃草的量为 1 份。每天新生草量是：（1410-205）（10-5）=8（份）原草量是：205-8560（份）安排 8 只羊专门吃每天新长出来的草，4 天时间吃光这块草地共需羊：604+823（只）3画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时
7、间是 8 点分。 （ ）A. 10 B. 12 C. 15C 假设每个人口每分钟进入的观众量是 1 份。每分钟来的观众人数为（39-55）（9-5）=0.5（份）到 9 时止，已来的观众人数为：39-0.5922.5（份）第一个观众来到时比 9 时提前了：22.50.545（分）所以第一个观众到达的时间是 9 时-45 分=8 时 15 分。4. 经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或 可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（ ）亿人。70 设 1 亿人 1 年所消耗的资源为 1 份那么地球
8、上每年新生成的资源量为：（80300-100100）（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：701=70（亿人）5. 快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中车追上自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用（ ）小时。12 自行车的速度是：（2010-246）（10-6）=14（千米/小时）三车出发时自行车距 A 地：（24-14）6=60（千米）慢车追上自行车所用的时间为
9、：60（19-14）=12（小时）6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用 24 根抽水管抽水，6 小时可以把池中的水抽干，那么用 16 根抽水管， （ ）小时可将可将水池中的水抽干。18 设 1 根抽水管每小时抽水量为 1 份。（1）进水管每小时卸货量是：（218-246）（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量为：218-12872（份）（3）16 根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72（16-12）=18（小时）7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用 9 辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用 8 辆汽车，16 小时可以把
10、它们运完。如果开始只用 3 辆汽车，10 小时后增加若干辆，再过 4 小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。19 设每两汽车每小时运的货物为 1 份。（1）进水管每小时的进水量为：（816-912）（16-12）=5（份）（2）码头原有货物量是：912-12548（份）（3）3 辆汽车运 10 小时后还有货物量是：48+（5-3）10=68（份）（4）后来增加的汽车辆数是：（68+45）4-3=19（辆）8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供 16 头牛吃 20 天，可供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少
11、天？8 天 （1）按牛的吃草量来计算，80 只羊相当于 804=20（头）牛。（2）设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（1620-2012）（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：1620-1020120（份）（5）最后求出 10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120（10+604-10）=8（天）9. 某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30 小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10 小时水位降
12、到安全线。现在抗洪指挥部要求在 5.5 小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？4 个 设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为 1 份。（1）水库中每小时增加的上游河水量：（130-210）（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：130-0.53015（份）（3）在 5.5 小时内共要泄出的水量是：15+0.55.517.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.755.54（个） （采用“进 1”法取值）10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的 2 倍去追乙车，5 小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3 小时后能追上。那么甲车以现在
13、的速度去追，几小时后能追上乙车？15 小时设甲车现在的速度为每小时行单位“1” ，那么乙车的速度为：（25-33）（5-3）=0.5乙车原来与甲车的距离为：25-0.557.5所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5（1-0.5）=15（小时）1、 有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二 块草地可供 12 头牛吃 14 天。 问：第三块草地可供19 头牛吃多少天？2、 牧场上的牧草每天均匀生长，这片草地可供 17 头 牛吃 6 天，可供 13 头牛吃 12天问多少头牛 4 天把草地的草吃完 ?3、 有牧
14、场，21 头牛 20 天可将草吃完， 25 头牛则 15 天可将草吃完，现有牛若干头，吃 6 天后卖了 4 头，余下的牛再吃 2 天则将草吃完， 问原有牛多少 头?4、 22 头牛，吃 33 公亩牧 场的草 54 夭可吃尽， 17 头 牛吃同样牧场 28 公亩的草， 84 天可吃尽请问几头牛吃同样牧 场 40 公亩的草， 24 天可吃尽 ?5、 某火车站检票口，在检 票开始前已有些人排队，检票开始后每分钟有 10 人前来排队检票，个检票口每分钟能 让 25 人检票进站如果只有个检票口，检票开始 8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么 检票开始后多少分 钟就没有人排队?6、 甲、乙、丙三个
15、仓库，各存放着同样数量的大米，甲仓库用皮带输送机台和 12 个工人 5 小时把甲仓库搬空，乙 仓库用皮带输送机台和 28 个工人 3 小时把乙仓库搬空丙仓库有皮带输送机 2 台，如果要 2 小时把丙仓库搬空，同 时还需要多少名工人?7、 牧场上片牧草，可供 27 只羊吃 6 天；或者供 23 只羊吃 9 天，如果牧草每周匀速生长，可供 21 只羊吃几天?8、 片牧草，每天生长 的速度相同 现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或者可供 80只羊吃 12 天如果 l 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 lO 头牛与 60 只羊起吃可以吃多少天?9、 陕北某村有块草场，假 设每天草都均匀生长， 这 片草场经过测算可供 100 只羊吃200 天，或可供 150 只羊吃 100 天 问：如果放牧 250 只羊可以吃多少天 ?放牧这么多羊对吗?为防止草场沙化，这片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草场沙化就应该使草场的草永远吃不完)10、 一块草地可供 58 头羊吃 7 天，或供 50 头羊吃 9 天，如果这片草地的生长量每天相等，这片草地最多能养活多少 头羊？
