1、Chapter4杆系结构的有限元分析原理,本章主要内容,4.1有限元分析的完整过程 4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换,4.1有限元分析的完整过程,E1=E2=2E7Pa,A1=A2=2cm2,l1=l2=10cm,P3为10N作用下二杆结构的变形。,问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解基本变量为：,完整的求解过程,1）离散化该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出 节点编号和
2、单元编号。单元1：i=1，j=2单元2：i=2，j=3,2）单元分析单元位移模式：u(x)=a0+a1x单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2从而得,回代得 写成矩阵形式为,其中Ni，Nj是形函数。,形函数矩阵,根据几何方程可得应变的表达写成矩阵形式为简记为,几何函数矩阵或者是应变转换矩阵,根据物理方程可得应力的表达写成矩阵形式为简记为,应力矩阵或者是应力转换矩阵,势能的表达,写成矩阵形式为,刚度矩阵,节点力列阵,3）离散单元的装配在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分,4）边界条件的处理处理边界条件是获取可能位
3、移场，将左端的约束条件，即u1=0代入 上式可以得到简化的势能表达式,5）建立刚度方程由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位 移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位 移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶导数）有,6）求解节点位移将结构参数和外载荷代入上式有求解得（单位m）,7）计算单元应变,8）计算单元应力,9）计算支反力对于单元势能的表达，对其取极值有具体地对于单元1，有其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节 点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。,以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于
4、复杂结构，其 求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征， 所以可以在计算机上编程而自动实现。讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为节点的位移和节 点力之间的关系，也称为单元的平衡关系，由此可以求出每一个单元 所受的节点力。,讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚度矩阵按照节 点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整 体刚度矩阵。其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述的总体平衡 关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先 处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。,4.2有限元分析的基本步骤及表
5、达式,1、物体几何区域的离散化 2、单元的研究（所有力学信息都用节点位移）来表达3、装配集成 4、边界条件的处理并求解节点位移 5、支反力的求取以及其它力学量（应力、应变及位移三大物理量）的计算,4.2有限元分析的基本步骤及表达式,4.3杆单元及其坐标变换,4.3.1局部坐标系中的单元描述,5.25m,3.75m,24m,F,6m,3m,F,24m,E=3E7pa,=0.2836kg/m3,F=100N,4.3杆单元及其坐标变换,4.3.1局部坐标系中的单元描述,E=2E10pa,F=60kN,A=250mm2,150mm,150mm,F,1.2mm,4.3杆单元及其坐标变换-局部坐标,由于杆
6、单元只有两个节点位移，故可以设杆单元的位移模式为之包含两个待定常数的形式,u(x)=a1+a2x,根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。,回代得 写成矩阵形式为,其中Ni，Nj是形函数。,根据位移条件有u(0)=u0， u(l)=ul，从而得,根据几何方程得根据物理方程得从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组，进行结果分析,4.3.2杆单元的坐标变换,规定：杆端位移和杆端力取在截面形心上，
7、符号以与单元系坐标正向相同为正，相反为负。下面讨论整体坐标系下与局部坐标系下的转换关系式。整体坐标系单元杆端位移和杆端力仍定义在截面形心上，符号以与坐标正向同向为正反之为负。,局部坐标系 整体坐标系,4.3.2杆单元的坐标变换-平面问题,其中是一个单位正交矩阵，单位正交矩阵的逆即等于其转置。,从上图可以得出，整体坐标系逆针旋转角后与单元系相重合。,写成矩阵形式为,根据,得,其中,单刚的性质： 是对称矩阵。 是奇异矩阵。 坐标变换并不改变矩阵的奇异性质。,对于单元2：取i=1，j=2，则 ，故,对于单元1：取i=3，j=1，则c=1，s=0，故,对于单元3：取i=2，j=3，则c=0，s=1，故
8、,整体编号，对号入座得总刚,杆单元的坐标变换-空间,整体和局部的坐标转换关系与平面问题一致。,4.4梁单元及其坐标变换,由于单元有四个位移分量，可设梁单元的位移模式v(x)为包含4个待定常数的三次多项式：,根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。,式中,根据梁的平面假定可知梁单元的轴向应变为：,这里利用平面假设（变形后横截面仍保持平面，与纵线正交）如图：,从而可以由单向虎克定律得出单元的轴向应力：,由虚功原理可以推得,组装总刚仍用后处理法，“对号入座，子块搬家”的方法。如：,对于单元1，我们取i=1，j=2。故,对于单元2，取i=2，j=3。故,由于I
9、1=2I2=2I，按照“整体编号， 对号入座”的原则，得总刚为,对于此，列出总刚度方程为,考虑到边界条件，修正后的刚度方程为,解之得,4.5平面刚架的有限元法,小变形情况下，可以把平面刚架单元看成是发生轴向位 移的杆单元和发生挠度和转角的梁单元的组合。,4.5平面刚架的有限元法,单元位移模式 （1）平面桁架的单元位移模式（2）平面梁的单元位移模式,其中：,综合平面桁架和平面梁单元，得到平面刚架单元的单元位移模式。,以下简记为,单元的应力和应变,杆单元的轴向应变：梁单元的轴向应变：,综合平面桁架和平面梁单元，得到平面刚架单元的应力和应变。,简记为：,局部坐标系下的单元刚度矩阵 局部坐标系服从右手法则，考虑如图所示的典型单元。利用虚功原理得局部坐标系下的单刚， 其中每个元素都有明确的物理意义,从上图可以得出，整体坐标系逆针旋转角后与单元系相重合。,写成矩阵形式为,坐标变换（平面）,其中T是一个单位正交矩阵，单位正交矩阵的逆即等于其转置。,简记为,从而得对称矩阵。奇异矩阵。分块性质。,坐标变换（空间）,纯轴向拉压,纯扭转,xoy面内弯曲,xoz面内弯曲,将对应各部分刚度矩阵进行组合以完成完整的单元刚度矩阵,其中分别表示局部坐标轴对整体坐标 轴的方向余弦。将所有的物理量 写在一起，就得到,
