1、第一章 不等关系与基本不等式,1 不等式的性质,1.实数大小的比较 (1)求差比较法. aba-b0; aba-b0; a=ba-b=0. 判断两个实数a与b的大小归结为判断它们的差a-b的符号,至于差究竟是多少则是无关紧要的. (2)求商比较法.,名师点拨 要比较两个实数的大小,通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号,至于确切值是多少无关紧要).在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中,常会涉及一些具体变形,如:因式分解、配方法等.对于具体问题,如何采用恰当的变形方式来达到目的,要视具体问题而定.,【做一做1】 比较大小:x2+3 3x(其中xR). 即x2+33x. 答案
2、:,2.不等式的性质 (1)性质1:如果ab,那么bb. (2)性质2:如果ab,bc,那么ac. (3)性质3:如果ab,那么a+cb+c. 推论:如果ab,cd,那么a+cb+d. (4)性质4:如果ab,c0,那么acbc;如果ab,cb0,cd0,那么acbd. 推论2:如果ab0,那么a2b2. 推论3:如果ab0,那么anbn(n为正整数).,【做一做2】 若ab,则下列结论一定成立的是( )C.2-a1-b D.(a-b)c20 解析:因为ab,所以a-b0.又c20,所以(a-b)c20. 答案:D 【做一做3】 已知-2a-1,-2b4,则a-b的取值范围是 . 解析:因为-
3、2a-1,-2b4,所以-4-b2, 所以-6a-b1. 答案:(-6,1),思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立. ( ) (2)同向不等式具有可加性和可乘性.( ) (3)若两个数的比值大于1,则分子上的数一定大于分母上的数. ( )答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析先对两式求差,再变形进行比较,但要注意对参数a取值范围的讨论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟 求差法比较大小的基本步骤 (1)求差:有的可直接求差,有的需转化后
4、才可求差; (2)变形:目的是判断差的符号,通常进行通分、分解因式、配方、分子(分母)有理化等变形,有时还要根据字母的取值范围进行讨论以判断差的符号; (3)判断:若a-b0,则ab;若a-b0,则ab等; (4)得结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1比较a3+b3与a2b+ab2的大小关系,其中a,b均为负数. 解a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b0,(a-b)20. 所以(a-b)2(a+b)0. 故a3+b3a2b+ab2.,探究一,探究二,
5、探究三,探究四,思维辨析,【例2】 已知abc0,比较a2ab2bc2c与ab+cbc+aca+b的大小. 分析用求差比较法不易变形,所以用求商比较法.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟 利用求商法比较两个式子的大小时,作商之后的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形,这是最重要的一步.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2设a,bR+,且ab,试比较aabb与abba的大小.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例3】 (1)已知a,b,c满足cd,则“ab”是“a-cb-d”的( ) A.充分不必要
6、条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析:(1)因为c0,(2)因为cd,所以-d-c.所以当ab时能够推出a-db-c,但不一定有a-cb-d,例如:a=3,b=2,c=4,d=1.但当cd,且a-cb-d时,必有ab,所以是必要不充分条件. 答案:(1)C (2)B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟 判断与不等式有关的命题真假的基本方法 (1)直接运用不等式的性质:把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断; (2)利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性:当直接利
7、用不等式性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断; (3)取特殊值:即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.但要注意,说明一个命题为假时,可以用特殊值法,而说明一个命题为真时,只能用所学知识进行严格证明,不能用特殊值法.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3下列命题为真命题的是 .(填序号) 答案:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析由已知条件中的不等式结合不等式的性质进行推理,直至推出欲证不等式. 证明因为a-b0. 又因为cd0,所以c-ad-b0,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟 利用不等式
8、的性质证明不等式的注意点: (1)注意观察欲证结论与已知条件之间的联系,选择相应的不等式性质进行证明; (2)注意不等式性质的成立条件,在进行变形时,要做到等价变形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,纠错心得 利用不等式的性质求代数式的取值范围时,应严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,若是由两个变量的取值范围求其差的取值范围,则一定不能直接作差,而要转化为同向不等式后求和.此外,还要注意取值范围中等号能否取到.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变
9、式训练若1a3b5,则2a-3b的取值范围是 . 解析:因为1a3,所以22a6. 又3b5,所以-15-3b-9. 所以-132a-3b-3. 答案:(-13,-3),1,2,3,4,5,1.若x1y,下列不等式不成立的是( ) A.x-11-y B.x-1y-1 C.x-y1-y D.1-xy-x 解析:利用不等式的性质易得选项B,C,D均成立,只有选项A不成立. 答案:A,1,2,3,4,5,A.m0n B.nm0 C.mn0 D.mn(m-n)0答案:D,1,2,3,4,5,A.(-2,2) B.(-2,0) C.(-,0) D.(-,)又-=+(-),且,所以-2-0. 答案:B,1,2,3,4,5,4.已知-2a-1,-3b-2,则a-b的取值范围是 ,a2+b2的取值范围是 . 解析:因为-2a-1,-3b-2,所以2-b3. 所以0a-b2. 因为1a24,4b29,所以5a2+b213. 答案:(0,2) (5,13),1,2,3,4,5,
